Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(2) В системе покоя осесимметричного тела К' компоненты тензора поляризуемости 'уп = 'узз = ор~~до, 'узз = озр ~~до Соответствующие функции Грина обозначим Сп = Сзз = С(т), Сзз = Сз(т) Вектор (6.5.8) ~г =- (р — й) Во(вп й~, — соей~, 0). (3) Подставляя (3) в (6.9), получим магнитный момент в системе покоя проводника: р[ = ~ сИ' [й — р(1')) С(4 — ~') Во вп [й8' — ~р(1')), р',ф = О, р.', = 1 а'[й-ФИ')1 Сз(~-~') Во соя[И' — р(4')). (4) Из (2), (4) находим момент силы Вз = Вод ~ М [й — ~р(Х')) (С(й — 8') вп(йй — <р) вп[йХ' — <р(С')[+ +Се(4 — ~') сов(йй — |р) сов[йМ' — д(8')[). (5) Основной вклад в интеграл вносит окрестность точки В = ~. Произведем в (5) замену переменной 1' =- 4 — т и опустим быстроосциллирующие слагаемые.
В результате имеем Лз 2 Во [й р(ХН Г Мт [С(т ) + Сз (т)) сов [йт р( )т = — Во (й — Ф) Ве [С(й — ч') + Сз(й — ФН (6) Динамика твердого тела [Гл. 6 340 аа'1' ' 10 аа 1l С(.) = ~, 1 бдо 7Р Я = г — 3'ооЬ, — 1 Сз= —, го= го ' Сз» С(оо). Пусть момент силы трения Ма = — й1у. Решение уравне- ния движения 1~р' =- — В (й — ф) — Ы р 2 2го о с начальным условием ф(0) = 0 имеет вид (7) Ф(з) = г1 — Ото,р1г1 21то 1 1 2 1ЭИг ( — е 2 т =-, =- — та.
При значениях 1» т((1+ Лт) угловая скорость <р(1) э й1(1+ 1зт). В. В случае вытянутого зллипсоида вращения на рис. 6.5.18 с блинами полуосей а =- Ь « с фурье-образы функций Грина С(ш) = 2С3(ог), — 1 . 10 10ро Сз(из) = —, тз = гз зшйз; гз = 2 53 2гз' ' '' аа Р' 7И Момент силы Ампера 3 2 (й ° ) С 3Во (й Зз) гл 3 2 о ~Р 3 2 ( 2 (й ° )2121 Характерный интервал времени перехода к стационарному режиму т = = 21го13Воз, 1 = зпсг1'5. При значениях Вз « йгз, 1 » т угловая скорость ф — э й. 6.5.19.
Движение частицы в поле цилидрического конденсатора. Сферическая диэлектрическая частица движется между обкладками цилиндрического конденсатора радиусов Йз и Й2, к которым приложено напряжение Уо. Найти решение уравнений движения. Решение. Компоненты вектора напряженности электрического паля в цилиндрических координатах Е(г, гр, 2) = ( — 11о)г, О, 0). Из (6.5.10) получим потенциальную энергию частицы Иг(В) = — — оИЬ = — — 2, К = ог'Оо, о = Зео 2 'йт ' г-~-2' И = 4каз/3 — объем частицы, а — радиус частицы. На частицу действуют сила тяжести., сила сопротивления Стокса Го = — бк21а о1г/о11, 21 =- 1,.8 10 кг!(м с) и., согласно (6.5.4а), Р„(1, В., оз) = —; Е = ( — —,, О, 0). А.
Найдем угловую скорость вращения одисказ — сплюснутого зллипсоида с длинами полуосей а =- Ь » с. В этом случае (151) 6.5] Электромеханика 341 Из второго закона Ньютона получим уравнение «1 г а«г т — = Р+ тп — 6к«1а —. «й ««« (2) тг — = М 2 «~ф «И 4 х т —. = — тд', а« (3) (4) где М вЂ” проекция момента импульса на ось х. Уравнение (3)-- следствие сохранения проекции момента импульса частицы на ось х. Начальные условия г(0) = го«ф(0) = О, г(0) = О, ъ (0) = чо. Для качественного анализа характера движения запишем закон сохранения полной энергии епоперечногок движения в плоскости хй 1 «1г — гн( — ) + И' ~(г) = Е« И'еф(г) ' г ( К) Границы области движения определяются неравенством Е > И«ф(г).
Если Д = Мз/(тК) > 1, Е > О, то область движения ограничена 1 1,«2 кольцом г1 < г < Л~, г« = [К (3 — Ц/2Е~ . В случае «3 < 1 область движения при значениях полной энергии Е < 0 ограничена кольцом а < г < гьч гз = [К (1 — «3)/2Е~), гэ < йз. Найдем теперь уравнение траектории. Переходя в уравнении (2) к новому аргументу 1 — э ф и учитывая (3), последовательно находим «1г «1г «1ф дг М М д /11 «Н «1ф М «4ф тга т 4ф «,г/' , „(,) (5) Вводя переменную и =- 1/г, получим из (2), (5) уравнение, совпадаю- щее с уравнением гармонического осциллятора «1а йф2 а +(1 — — )и=О, (6) Г1редположим, что интервал времени движения частицы до столкновения с электродами значительно меньше величины т/(6к«1а).
Тогда можно пренебречь силой сопротивления. Направим ось х цилиндрической системы координат г, ф, х вертикально вверх. Из (1) получим уравнения [Гл. 6 Динамика твердого тела 342 1 .о Вф ф доОо г [ дх 2 ' 2гг ) в-~-т' о Уравнения Лагранжа имеют вид додо М тх = 2л(вл-х) ' родоах 2я(в+ х) (2) Исключая О из (1)г получим уравнение ивх 1 /рlой')~ (,я х)' тйв Г, 2к /' где Д = МЯ/(тК) = гИз/(тггГ1гоо). А.
гб > 1. Решение уравнения (6) и = А соя (й,ф + о), где А, а произвольные постоянные, й, = (1 — 1/В) г~. 'Граектория представляет собой незамкнутую кривувую г(ф) = 1/[А соя(й,ф + гг)), го =- = 1/А соя гг. Частица достигает внешнего злектрода при значении ф = = фз, удовлетворяющем условиям йз соя(й,фз+ег) = го соя ег, йгфз+ + гг < гг/2. Б.
Д < 1. Решение уравнения (6) и = — С с[г(Пуф+ у), где йу =- = (1/Д вЂ” 1)где. Уравнение траекгории г(ф) = 1/ [С сЬ (Пуф+ у)~ г го = = 1/С соя.у. В. (1 =- 1. Решение уравнения (6) — спираль Котса 1/г = аг + азф, г(ф) =- 1/(аг + азф), го =- 1/аг. 6.5.20. Две параллельные металлические полосы., расположенные в горизонтальной плоскости, соединены перемычкой ОС, содержащей резистор (рис.
6.5.20). По полосам как направляющим может перемещаться проводник. Вся система находится в магнитном поле, создаваемом током в длинном проводе, находящемся в горизонтальной плоскости на расстоянии в от ОС. Найти зависимость скорости проводника от хкоординаты. Решение. Пусть,7о — сила тока в проРнс. 6.5.20 воде, гг — - расстояние между направляющими полосами, т — масса проводника. Система имеет две степени свободы. Обозначим х-коордннату центра масс проводника, Π— заряд, протекший в положительном направлении в интервале времени (Ог г). Лагранжиан системы 6.5] Электромеханика Выберем начальные условия х(0) = 0 х(0) = ро. Переходя к перемен- ной х = ю(х), получим решение уравнения (3) п(х) = па— 8+ и Рассмотрим три случая.
А. Пусть оо > и. Тогда при х» е получим предельное значение скорости проводника с(х) — ~ юо — и, и силы тока Я вЂ” ~ О. В. Если по = и, то при х » е скорость проводника п(х) -~ О. С. Если па ( и., то проводник остановится., на расстоянии хе = = епо!(и — со) от начала координат. Найдите решение уравнения (3) при начальных условиях х(0) = ха, ха » е, х(0) =- — юо. Глава 7 л'РАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 7.1. Канонические уравнения и канонические преобразования Скобки Пуассона (СП) функций 7(х., р)., д'(х, р) определены соот- ношением ду дд д1 дл д*. др. др.
д*. Канонические преобразования (КП) х., р — ~ х', р', реализуемые производящими функциями (ПФ), имеют вид [7, 23, 86 — 89] 1. Р = Р'1 (х, х', «), р =- 2. Р= Рт(х, р',1),р= (7.1.1) (7.1.2) 3. Е .= Еэ(р, х'., 1),х =- (7.1.3) 1 дР4 д Р р 4. Р = Р4(р, р', 1), х =- (7.1.4) В новых переменных гамильтониан Н'(х', р'., 1) = (Н(х., р, 1) + — ), (7.1.5) где з =- (х., р)., з' =. (х'., р'). 7.1.1. Лагранжиан математического маятника 1 =- д~,12 — ы~ (1— — сов ~р). Найти гамильтониан, выбирая в качестве обобщенной координаты х = 2 э1п |р/2. Ответ. Н(х, р) = рэ (1 — хэ/4) /2+ иэхэ/2. 7.1.2. Записать гамильтониан и уравнения движения свободной частицы в электромагнитном поле. Решение. Обобщенный импульс рь = тх + е/сА„., гамильтониан 1 е 2 Н(х, р, 1) = — (р — — А) + е~р.
дР'г д*: др, дх др'в др джей дР'г Р дх дрэ д'' р дрз Р.— д~ Уравнения движения х„= [х, Н] = = — (р — — А) =— иеи дН 1/ е др т(, с р = [р, Н] = — = — иа — е дН е дАо дэо Дифференцируя (1), находим е др е дА„ тй = — Р вир — е с дл„ с дг (2) Поскольку дАв дА Рр= — =е в В дя„ дго 1 дА. др с д8 дл„ то из (2) следует уравнение тг = еЕ+ — [гВ].
с 7.1.3. Записать гамильтониан и уравнения движения свободной частицы в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Й(1). Решение. Лагранжиан частицы 1 (х, х., 1) = — гп (х+ [Йх]) — Н(х). Определяя обобщенный импульс р = т (х+ [Йх]), получим гамильто- ниан Н(х, р, Ц = — (р — т [Йх]) — — [Йх]~ + (7(х) = = — — Й [хр] + Н(х). 2т Уравнения Гамильтона х =- [я, Н] = Р" — [Йх] р = [р -, Н] = [ Й] — д„ 7.1.4. Заряженная частица, движущаяся с постоянной скоростью, сталкивается с неподвижным атомом водорода. Записать гвмильтониан в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью радиуса-вектора частицы [90].
Решение. Поместим ядро (протон) атома водорода в начало координат. Пусть г радиус-вектор электрона,  — Ь+ п1 закон движения 7.1] Канонические уравнен л и канонические преобразован л 345 [Гл. 7 Ураененил Гамильтона частицы зарядом Яе, Ьн = О. В инерциальной системе н = (и., О, 0), Ь = (О, Ь, 0). Угловая скорость вектора е = 1ь,ГН равна й = [Ьн]/Нз. Искомый гамильтониан = р 2 1 ео о аеео Н = — — [гр] ]Ьп] —., — —— 2гн а' ~ ~ 5':та~а'' Направим ось х неинерциальной системы по вектору е, а ось х совме- стим с вектором Й. Тогда асеев Н = — + пг(ху — ух) —, — —— Й " Я вЂ” 2 Я1Я В дипольном приближении у о ои ео аееох 2 Н =- — + гп(ху — ух) — — —— 2т Гго т Гго 7.1.5.
Лагранжиан системы 1 Й(Ч Ц) 2 ИОД(д) Ц д + 1Н( 7) Ч |о(Ч)~ два КОД Найти гамильтониан. Решение. Канонический импульс д7, пн = д о = ь'а~ гГ + гн д'7. Если г[е1,,„,,] 7'. -О, то, умножая (1) на обратную матрицу д"" = дшду ] = (д г)„„, получим г[а = да"т„— дан~",„. Гамильтониан Н(д, и) = — д" (я — У')н(я — У') +1а(д).
1 н„ 7.1.6. Най ги геодезические на поверхности постоянной отрицательнои кривизны с метрикой ам — — 1, дат — — ехр (2д~), д'гь = О, .г ~ й. 1 Решение. Перейдем к новым координатам у = е о, х = дт. В новых переменных метрика приводится к конформному виду дгь: пгг =- = — еза =- (1/у),. 4 го =- во =- О,. называемому метрикой модели Клейна геометрии Лобачевского [7]. Лагранжиан ° 2 ° 2 х -~-у 2 2у Обобщенные импульсы и гамильтониан частицы х' р*= 2 у у Каноническая система у у р„, р, 0, р„— -у(р.+ р„) 2 2 2 з х=у р, имеет два решения у=с й ри — — — е, и.
=0., х = с., х=агпг+Ь, у=пей 1, р = —, ро —— — — зЫ, а' " а где а, Ь, с — постоянные. Геодезические представляют либо лучи, параллельные оси у, либо окружности радиусом а с центром в точке (Ь, О). 7.1.7. Ограниченное движение системы с двумя степенями свободы описываетсЯ гамильтонианом Н =- Р~ /2+О „х х„1'2., Ум — -- в1., Узз ——- = ыз~, Нш = Нв = ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
