Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 46
Текст из файла (страница 46)
)у — величина сил реакции, действующих в сечении стержня. Из второго закона Ньютона следует «п18 = »» — г» + р12., ™28 = )«82»'12., Мха — «" 1 + Раи е-1-122 « — 1»2«-к Р СМ«н ~ ~хх-2 « — 1»2«е Из этих уравнений находим Х =- (та1»т) г1 — (т1,»т) ра — Р»э. Если М,»т » (г»»1)э, то последним слагаемым можно пренебречь. В этом случае искомое напряжение х (1 — х) СМт 1 (г — 1»»2 -ь х) Я(т — )~1»4) где Я вЂ” сечение стержня. Функция р(х) достигает максимального значения р „= (2ра»»1) (г — гэ — (11»2)э) при х = гэ — (11»2)з — т+ ч 1/2.
6.4.8. Два одинаковых, скрепленных шара образуют тело массы т., взаимодействующее с планетой массы М. Планета и шары движутся по круговым орбитам относительно центра масс системы. Найти величину силы реакции в точке соединения шаров. Решение. Реально задача состоит в выяснении условий существования спутников планет., которые могут быть разорваны гравишционными силами, действующими со стороны планеты. Впервые эту задачу поставил в 1848 1. французский математик Э. Рош.
Предел Роша-- расстояние, на котором разность сил притяжения, действующих на каждую нз «половинок» спутника со стороны планеты, начинает превосходить силы, притягивающие обе «половинкии, Рассмотрим задачу в системе отсчета с началом в центре масс С трех тел (рис. 6.4.8). Пусть г1» га -- радиусы-векторы первого и второго шаров., га — радиус-вектор планеты. Обозначим через Г1 (Рэ) силу притяжения, действующую на первый (второй) шар со стороны планеты, Р12 (г'21) — силу притяжения, действующую на первый шар со стороны второго (на второй — со стороны первого)., Я1 (Яэ) -- силу реакции, действующую на первый шар (на второй шар).
Из второго 6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом иоле тяготения 309 Рис. 6.4.8 закона Ньютона находим т.. т.. — гз = Хз+га+ Гш, — г/ = Х1+Р~ +Рш, (1) (2) Мго =. — с1 — с2. Пусть г радиус-вектор центра масс скрепленных шаров, 4 вектор МФ длины 1, а —. вектор Рда, тогда (3) г1 = г — а, гз .= г+ а, М т т+М ' М+т (4) Поскольку планета и шары движутся по круговым орбитам, то с = [со (и/с)) = — о/ с, а = — о/ а, где со угловая скорость вектора ~. Учитывая (3), (4), получим из (1), (2) уравнения т г/ М 1 1 ~, с/ т СтМ вЂ” а/ 1+ а) = — /'1/+ — . + 2 т-сМ ) 4 (2а)а 2(/-Га)е ' т а( М ) С т С тМ 2 т с М 4 (2а)~ 2 (/ — а)~ (6) / / / / / / / ! ! ! 1 Л, / / ! ! С / / Р 1 ! 1 / / / / / / Динамика твердого тела [Гл.
6 310 Складывая (5) и (6), найдем ттМ 1гта — г гг. (1 — а ) Вычитая (5) из (6), получим г'«' = С( — ) — С г е[М (31 + а ) + т (1 + а )]. Предположим, что площадь сечения в месте соприкосновения шаров равна Я. Тогда напряжение материала контакта 8а'[М(31гтаг) тт(1гтаг)] [ (1) = ° ~1 2т1(1 — а ) ° г г г ~~по — ~ (4 ) а,) Пусть т « М. Тогда функция о(1) существенно упрощается: о) =, [1 — 24е( — ) ], здесь р„, р, плотности планеты и шаров. При 1» Е функция ег(1) стремится к постоянному значению ао, равному напряжению, создаваемому притяжением шаров. При значении 1 = 1о, 1о = Я[24 — ) — 2,88й( — ) (7) амы « а < 12, аппо — 10 г Е кбр,р Границы запретной зоны (предел Роша) определяются выражением (7). Наибольший интерес представляет вычисление предела Роша для системы «Земля — Луна».
В этом случае р„= 5,5 10г кг/мг, й = =. 6380 км, р, — -- 3,34 10з кг/мз, а = 0,27Я, Е 10~~ Па -- модуль Юнга горных пород. Подставляя числовые данные, находим а „„- - 50 км, 1о = 3,41«. Любопытно, что наша оценка близка к результату точного расчета., равного 1о =- 18 300 км — Зй. функция ег(1) обращается в нуль.
В области В+ 2а < 1 < 1о функция принимает отрицательные значения и убывает с уменьшением й При 1 =- Л+ 2а она достигает значения его(1 — 24ри/р«) — растягивающее напряжение превосходит величину сжимающего напряжения. Для разрыва шаров достаточно, чтобы относительное удлинение «перемычки» превысило — 10 з, т. е. при значении [о.[ ) 10 г Е перемычка разрушится гравитационными силами, действующими со стороны планеты. Это условие приводит к неравенству 6.5] Электромеханика Фотоснимки, сделанные космическим аппаратом «Вояджер»., показали, что поверхность ближайшего к Марсу спутника — Фобоса — исчерчена параллельными бороздами.
Они могли возникнуть вследствие гого., что находящийся сейчас на расстоянии 9450 км от Марса Фобос приблизился к пределу Роша. При плотности Фобоса — 2 10з кг~'мз предел Роша соответствует расстоянию от 10400 км. Недавно мы стали очевидцами крупнейшей за всю историю цивилизации космической катастрофы в Солнечной системе 16 иншя 1994 г. комета Шумейкер-Леви столкнулась с Юпитером. Она была открыта 24 марта 1993 г. Годом раньше она близко подошла к Юпитеру и была разорвана приливными силами примерно на 20 осколков, растянувшихся на миллионы километров вдоль траектории. Поэтому последний осколок упал 22 июля.
Размер наиболее крупного осколка порядка километра. 6.5. Электромеханика Электрическое и магнитное поля индуцируют в жидких и твердых телах (проводниках., диэлектриках и магнетиках) токи, дипольный и магнитный моменты. В результате взаимодействия токов и наведенных моментов с неоднородным переменным полем на жидкость или твердое тело действуют электромагнитные силы. Появляются качественно новые возможности управления движением тел.
Такие задачи возникают во многих областях современной техники и технологии — при создании бесконтактных подвесов, новых видов транспорта, устройств для сепарации, транспортировки и упаковки деталей, очистки воды от диэлектрических примесей — нефти, мазута [45, 144-145]. Широко ведутся работы в области ферродинамики по созданию приборов и устройств, использующих содержащие ферромагнитные частицы жидкости, движущиеся в электромагнитом поле ]146].
Другое направление исследований связано с созданием систем пассивной и активной стабилизации спутников, тросовых космических систем в режимах тяги или генерации электроэнергии в магнитном поле Земли ]147, 148]. В рамках релятивистской электромеханики показано, что черная дыра, вращающаяся в магнитном папе, играет роль батареи, преобразующей энергию вращения в массу покоя и энергию выбросов в магнитосфере квазаров и активных ядрах галактик ]149]. Последние работы открыли новую перспективную область исследований, связанную с разработкой микро- и мезоустройств (от греч.
шевов средний, промежуточный) для научных и прикладных целей: микромоторов., микроманипуляторов для управления дисководом или конструктивными элементами роботов, микронасосов, микроцентрифуг, датчиков ускорения ]150]. Лагранжиан системы проводников. Для анализа электромеханической системы, содержащей резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности с подвижными элементами, генераторы напряжения, соединенные с подвижными или неподвижными проводниками, большие преимущества представляет лагранжев формализм. В качестве [Гл. 6 Динамика таердоео тпепа 312 обобщенных координат, определяющих положение проводника а в пространстве, выберем радиус-вектор центра масс Гь~ [ и углы Эйлера а~„'~ (и =- 1, 2, 3).
На участках проводников, соединяющих соседние узлы в замкнутом контуре, необходимо выбрать положительные направления. Функция Я (1)., определяемая как количество заряда, протекшего через поперечное сечение проводника а в положительном направлении за интервал времени [О, 8],играет роль обобщенной координаты, связанной с обобщенной скоростью силой тока,7 соотношением Я, = /,.
Положительное направление на контуре однозначно задает вектор внешней нормали к внешней поеерхтости, натянутой на контур, который необходимо ввести при вычислении потока магнитной индукции. При выборе обобщенных координат и токов следует учесть, что заряд изолированной части цепи сохраняется, в каждом узле выполняется условие соленоидальности токов.
Лагранжиан электромеханической системы представляет собой сумму лагранжиана механической системы, лагранжианов электрического поля зарядов конденсаторов, магнитного поля токов в проводниках и лагранжиана взаимодействия зарядов и токов с внешним электромагнитным полем. Энергия магнитного поля играет роль акинетическойв энергии, энергия электрического поля— апотенциальнойв энергии.
В СИ имеем Х'а6(Ча~ ЧЬ," Г) ЯаЯ6 С 6 (Ча; Ч6; 1) ЯаЯ6+Ьмех+2-вв; а,6 а,6 (6.5.1) где Ь,6 = 1.6 — коэффициент взаимной индукции проводников а и Ь, Ь„-- коэффициент самоиндукции, Саь — симметричная матрица коэффициентов электростатической индукции, Ь (г, Ч, Ч) — лагранжиан подвижных элементов схемы, Ч, — параметры, определяющие пространственную конфигурацию подвижных элементов [44[. Лагранжиан взаимодействия Ьвв = Щ, Фв~(Ча, 1) — Яа 6оваа(Ча, 8). (6.5.2) а а где Фее~(Ч, 6) — поток магнитной индукции внешнего магнитного поля, 6о' "(Ч„1) потенциал внешнего электрического поля. Джоулевы потери и сторонние ЭЛС учитываются введением обобщенных сил в уравнениях Лагранжа (6.5.3) В СИ единица емкости -- фарад (Ф), индуктивности — генри (Гн), напряженности электрического поля — В/м., индукции магнитного поля — тесла (Тл).
Электрическая постоянная ео = 10 ~/36к Ф/м, магнитная постоянная да = 4х . 10 ~ Гн/м, еееео = с 6.5] Электромеханика Сила Ампера, действующая на проводник во внешнем магнитном поле дФ""' Е,.—,1 =. фЛВ]. Величина М„=,УдФ' "/до„(п — 1, 2, 3) является проекцией момента силы Ампера на базисные векторы пг = еэ, пг = ее, пз = еэ системы координат, которую необходимо ввести для задания углов Эйлера ог =- = Ф, ог = д, оз = г(' Силу Ампера и момент силы Ампера можно представить в терминах магнитного момента проводника р] ] = — ] амх' [г',](г')] — г — ~]г'е]1] = 1~ ЙЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
