Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 48
Текст из файла (страница 48)
ЬЕ+ ЗЛЫ вЂ” еЬЯ. 6.5.5. В вертикальной плоскости расположены два проводника (рис. 6.5.5). По неподвижному проводнику течет ток силой,4. Концы другого проводника, по которому течет ток 1, прикреплены к одинаковым пружинам. Найти частоту линейных колебаний проводника в окрестности положения устойчивого равновесия. 6.5] Электромеханика Р = тд' — 2й (х — 1о) + до 1,1оо 2к (а — х) ' обращается в нуль при г )о 4 о1 г до~~о 4кй 1 хо 1 = — [1г+агй 2 Поскольку ( — ) =2й ' ')О, ( — „) = — 2й ' '<О, то устойчивое положение равновесия соответствует значению хг.
Ча- стота линейных колебаний При с « а — 1д частота 6.5.6. Заряженное кольцо в переменном магнитном поле. По поверхности тонкого диэлектрического кольца радиуса а равномерно распределен заряд Ф Кольцо может вращаться вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости кольца. Поместим кольцо в соленоид так, чтобы ось совпадала с осевой линией соленоида. Индукция магнитного поля В,(г) = Во, 1 < О; В,(1) = В(г), 1 ) О.
Найти угловую скорость кольца ог(1). Решение. Определим положение кольца углом поворота гр. Угловая скорость кольца го = гр. Движению поверхностного заряда на кольце соответствует ток силы l = аааг, где а = гггг(2ка) линейная плотность заряда. Лагранжиан кольца А = — 1гр~+ аагрФ(8), где 1 =- таз, Ф(1) = яа В(1).
Из уравнения Лагранжа находим первый интеграл 1гр+ ааФ(1) = С, — г гр + — В(1) =- С'. Решение. Пусть й — жесткость пружины, 1о — - длина в ненапряженном состоянии, т — масса подвижного проводника длиной ю Предположим, что неподвижный проводник находится на расстоянии а ) 1г =- =. 1о + тагг2к от оси гь Ограничимся далее изучением плоскопараллельного движения проводника. В этом случае его положение определяется координатой х (рис. 6.5.5). Сила, действующая на проводник Динамика твердого тела [Гл.
6 322 Пусть а2(1) = 0 при 1 < О. Тогда С' = дВе /2т, а2(1) = (Е/2т) [Во— — В(1)1. Если В(1) = О, то кольцо приобретает постоянную угловую скорость. При изменении индукции магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, силовые линии которого представляют собой окружности с центром на оси соленоида. Касательная компонента напряженности поля Е = — (а,12) с[В/г[г. В результате на поверхностный заряд кольца действует сила, вращающая диск.
6.5.7. Электромагнитная пушка. Двухпроводная идеально проводящая линия, расположенная в горизонтальной плоскости, подключена к источнику ЭДС. Вдоль линии В В может двигаться проводящая перемычка. Вся система находится в однородном магнитном поле. Найти решение уравнений Лагранжа. Решение. Пусть т масса пере- 0 мычки, 1 ее длина, В сопротивление. Положение перемычки определяется координатой х. Для вычислеРис. 6.5.7 ния магнитного потока введем вектор и, перпендикулярный плоскости контура.
Задание вектора и определяет одновременно положительное направление на контуре (показано направленной линией на рис. 6.5.7). Лагранжиан системы Ь =- — тх + — Цх) Я + В1Щ, 2 1 '2 где 1 (х) -- коэффициент самоиндукпии замкнутого контура. Уравне- ния Лагранжа тх = — — + В1Ч, С)2 дй 2 дх — ( Щ + В1х) = — — ВЯ + б. д ~й (2) Рассмотрим два случая. 1) Магнитный поток внешнего поля В1Х зна- чительно превышает поток 24 собственного поля тока. Исключая из (1), (2) С2, находим тй тх+х=и., т= 22, и= Вггг ' В1 Следовательно, х = и (1 — е ~~) + иое 22», /(8) = — (б — иеВ/) е где ее =- х(0). Очевидно, 7 =- О, х =- и сила тока и скорость перемычки при установившемся движении.
При ие < и ток течет в положительном направлении. 6.5] Электромеханика 2) В = О, мы имеем электромагнитную ускоряющую систему (рельсотрон). Из уравнения (1) следует 4И' гпх =- 4х И 142 2 Перемычка движется под действием сил давления, создаваемых магнитным полем. Пусть р объемная плотность энергии магнитного поля проводящей линии. Тогда дИ'/дх = рЯ, где Я площадь бокового сечения перемычки. Подставляя гп = раей (р -- плотность материала перемычки), получим ускорение а = р/рд. Величину рд называют эффективной толщиной.
Положим рд =- 10 кг/м~. Значению р = = 400 атм соответствует В =- 10 Тл. При этих условиях а = 4. 10э м/с 4 10е8. Скорость и =- 10 км(с достигается на длине Я = 125 м. Время разгона 2,5.10 з с. Перемычка массы т = 2 кг приобретает энергию 100 МДж. Получим теперь закон изменения энергии системы —. суммы кинетической энергии перемычки и энергии магнитного поля и = - + - 1,(х)1 .
2 1 2 2 2 Умножим (1), (2) на щ 3 и сложим полученные соотношения. Поскольку в еП /дх = еП,1еИ, аЫ 1~,41, 1 Н1' сИ 2 4х 2 пг то закон изменения энергии приобретает вид уье 12Д 6.5.8. Космическая электростанция. В последнее десятилетие возрос интерес к применению тросов в качестве элементов космических систем. Значительный интерес представляют тросовые системы, взаимодействующие с магнитным полем Земли — проводящий трос можно использовать как элемент двигателя или генератора (148).
Два спутника, вращающиеся по круговым орбитам радиусов г1 —— .= г — 1/2, тз = т+1~2, соединенны изолированным проводящим тросом длиной 1 « 5, т =- а + 6, где а радиус Земли, 6 расстояние от поверхности Земли до центра масс связки (рис. 6.5.8). Плоскость орбиты лежит в плоскости магнитного экватора. Магнитное поле почти однородно в пределах кольца, по которому движется трос: В(г) — Ве(а~г), где Вв =- 4,2 10 ' Тл. При контакте концов троса с ионосферной плазмой возникает замкнутая цепь электрического тока, текущего по изолированному тросу и вдоль силовых линий магнитного поля, сближающихся у полюсов в области слоя Е плазмы с высокой проводимостью. Найти систему уравнений, определяющих динамику тросовой системы.
[Гл. 6 Динамика твердого тела 324 .4г Решение. Рассмотрим ограни- ченную задачу, предполагая, что вО трос находится на прямой, проходя- щей через центр Земли. Положение / \ / троса задается вектором 1 направ- /11 / 0 ленным отрезком АгАг. Пренебре- В гвя неоднородностью поля тяжести I l в области 1, запишем силу приг тяжения в аиде Р = — тг7а~г/т~, l где т -- масса спутников, г /; =- (х д О) — радиус-вектор центра // масс с началом в центре Земли.
СиО ла сопротивления, действующая на связку в верхних слоях атмосферы, Рис. 6.ое.8 Ге = — 1ер(т)Яи». Здесь Я общая площадь сечения спутников в плоскости перпендикулярной скорости, р(т) -- плотность воздуха, к коэффициент порядка единицы. На трос действует также сила Ампера Рл =,7 [1В(т)), где,У вЂ” сила тока, протекающего через трос. Из второго закона Ньютона получим уравнение движения центра связки; т — = — таа — е — Яр(т) и»+,7 [1В(т)1г Й» г г Полная система, содержащая три неизвестных функции х, й и д, должна быть дополнена уравнением, следующим из закона Ома и закона электромагнитной индукции ,УВ = е+ [»В(т)',1, (2) где В полное сопротивление электрической цепи.
Оценим ЭДС индукции. Приращение магнитного потока через кольцо ЬФ = иВ1Ы, где и = и1 (агт) ~~~, и| = (да)'гг — - первая космическая скорость. Следовательно, в тросе наводится ЭДС, равная разности потенциалов точек Аг и Аг. е = иВ1 =- Ве(а/т)~~~1и~ ( рис. 6.5.7). Полагая 1.=- 20 км, т = а+ 6, 6 =- 400 км, получим е 5000 В. Запишем теперь закон сохранения энергии.
С этой целью образуем скалярное произведение (1) с», затем умножим (2) на д и сложим полученные выражения. В результате находим — = — Яр(т) и +,7е —,1 В, дЕ з г аг где Е(1) — — ти~,12 — тхаг(т — полная энергия. Рассмотрим движение связки по некоторой спиралеобразной траектории, близкой к окружности радиуса т(1) со скоростью и(1), равной местной первой космической скорости и(1) =- ~аг/т. Тогда полная энергия Е(г) = — тиг/2, а из (2) следует уравнение (4) 7Я = е — и1 В(т). 6.5] Электромеханика 32о Подставляя Е(Ь) в (3), имеем тпй =- В р(г) и —,Уе + 3 В. (5) Исключая 1 из (5), получим уравнение тб = Яр(г)и + и — — В(г)], В (г)Р й й (6) В = — тй + — Щ + ЯВЬ,(х) — тях, -2 1 э где Ь, Я = Ф вЂ” поток магнитной индукции через плоскость, ограниченную кольцом, В = яаэ площадь кольца.
Уравнение Лагранжа ВЬ. тй — — ЯЯ = — тп'. дх из которого следует, что при е .=- 0 величина скорости растет, хотя сила сопротивления и сила Ампера направлены в сторону, противоположную вектору скорости ч. Действие этих сил приводит к уменьшению высоты полета связки. Полная энергия согласно (3) убывает. Подставляя и = а/г пы п1 = (яа) ~х и 6 = — (а/г)~~~и1/(2а) г в (4), (6), получим систему уравнений для определения функпий г(о), 1(1). 6.5.9. Кольцо в постоянном неоднородном магнитном поле. На рис. 6.5.9 изображены силовые линии магнитного поля вблизи верхнего торца соленоида. Магнитное поле обладает осевой симметрией: индукция магнитного падя в точке Р(х, р, х) зависит от координаты х и расстояния г от оси х до точки Р.
Вектор В в точке Р имеет осевую В, = Ь(х) и радиальную В„= — (г/2) о]Ь,/Ых компоненты. Тонкий проводник в форме кольца расположен в плоскости, Вг перпендикулярной оси х, центр кольца может перемешаться по оси х. Масса кольца — т, радиус — а, сопротивление кольца — В, коэффициент самоиндукции В. Получить уравнения движения кольца и закон сохранения полной энергии. 0 Решение. При движении кольца возникает ЭДС индук- х ции — по кольцу протекает ток силой 1 =- Я.
Положительное Рис. 6.5.9 направление тока указано стрелкой на рис. 6.5.9. Лагранжиан системы [Гл. 6 Динамика твердого тела Па каждый элемент кольца Ы действует сила ь1Уг, = —,УВ,Ы и радиальная сила, приводящая к деформации кольца. Очевидно, гкомпонента полной силы, действующей на капьпо, Р, =- УЯ УЬ,Уе[г = = — 2ка.УВ,. Второе уравнение Лагранжа имеет вид — (У4+ ЯЬ,) = — ЯН, — ~ У4+ ЯЯ = — Я(с[6,/дг) Ь. (2) Из (2) следует, что ЭДС, индуцируемая в кольце, е = — е1Фу'Ш = — Я (е[Ьг /е[г) г. Закон изменения полной энергии Н = 5 —, + ег —. — У = — тд + — У4 + тбг 2 1 '2 (3) дг О<) 2 2 имеет вид гУНУ~Н = —,У~В. А.
Пусть У, = О. Подставляя еу из (2) в (1), получим уравнение решение которого определяет функцию г(1). Отметим, что при 5 > О компонента силы Ампера Р, ( Π— кольцо притягивается к соленоиду; при 5 ( О компонента силы Ампера Р'г > О. В. Рассмотрим сверхпроводящее кольцо, полагая Н = О. В этом случае имеем первый интеграл (4) УА„1+ ВЬ, = Фо. Подставляя Я из (4) в (3),получим уравнение первого порядка — тд + — [Фо — ЯЬ,! + тд'я = Но. 1 ° 2 1 о 2 2Ь 6.5.10.
Кольцо в переменнном магнитном поле. Тонкое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси г, центр кольна может перемещаться по оси г (рис. 6.5.9). г-компонента индукции магнитного поля 6(1, г) =,7(1) У(г), У(г) -- известная функция, в'(1) = = lо сов иг1, 1 > О. Получите уравнения движения кольца. Решение. Пусть масса кольца — т, радиус — а, сопротивление — Н, самоиндукция кольца -- У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
