Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Учитывая решение задачи 6.3.28, получим кинетическую энергию системы К = — 1~ Р1+ — 1~ (1рз+ З21 соз о22)+ — 1оа (р1 шпрз) + + 2 ! (Рз+Р1 з1п з22)+ 2 !о (Рз+1Р1 созрз) . 121 2 2 2 1 (3) 2 Подставляя н = — дез, получим потенциальную энергию системы !! =- тзде11ез -— — тяз соз ~рз. Лагранжиан гироскопа Ь = К вЂ” !1. 121 Вычисляя производные М, = и,!др1 М.,' = д1,1дрз, Е = Р1д!1ду21 + ззздЬ1дйз+ Фзд!1д1рз — йо найдем первые интегралы Мз — — 1о (1Рз+ З21 соз Рг); 12) (2) Е = — 19~<р~1 + — 1~ ~ (<р~ + ~р~ соз <рз) + 1 ° 2 + — 1о (З21 з1пэ22) + 1 (1рз+ А з1п 'Рз) + 69 ' ' 2 1 121 2 2 2 г + ро М2 971 сОз Дз гпн 3 соз З22 ° (3) 2!о Если моменты инерции всех рамок положить равными нулю, то уравнения (1) — (3) соответствуют уравнениям движения симметричного волчка.
Исключая из (3) 1р1, получим уравнение о22 = Е(рз), правая часть которого содержит рациональную алгебраическую дробь. Наличие рамок приводит к новым эффектам. Из уравнений (1), (2) находим М Мз соз 222 (4) [1 т 1 соз З22 + (1о т 1 ) з1п З22; М, = [191+ 11 1 соз 1рз+ (! + 11 1) яп 1рз) 1Р1+ + 1о (1рз + З21 соз З22) сов 1Р2: (1) [Гл. 6 Динамика твердого тела 292 еоОО =- (О, О, Д, ьг~~~ = (В, 22 яйпд, й соя В). Рис. 6.3.30 Пусть !о — осевой момент инерции диска и рамки, 1, 1з — главные моменты инерции маятника.
Лагранжиан системы 1, =- — ~р~+ — (Вз + ~р~ яйпзд) + — ущ соязВ+ тп! соя В, 2 2 2 где ! — расстояние от оси тйй до центра масс маятника. Найдем первые интегралы: Л12 = (1о + 1 гйп В+ 1з соя д) А Е = — — о Зщ + — (Вз + Зг~ яйпзВ) + †р~ сояз — т ! соя д. (2) 2 2 2 о Исключая ~р из (1), (2), получим уравнение М2 Е = — дз+ и,, и, = — т8! сояд+ з (3) 2 " ' 2(1о+ ! яшзд+ 12 соязВ) Положение равновесия маятника найдем нз уравнения дие/дд = О. Поскольку в реальной установке 1з « 1о, то ди, р, Яз! .В Мз! соя2В !г!з! яш 2В (!о , '1 Яш В) (!о 61 Я2п В) .2 2+, .2 З.
д'и, д2В =- тя! сояд В окрестности положения равновесия В,„=- 0 решение уравнения (3) В(!) = А соя(а2!+ ег), ог~ = (™ — — 2). Угловая скорость прецессии гироскопа меньше скорости прецессии симметричного волчка с закрепленной точкой. 6.3.30. Маятник Пошехонова. Маятник может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, закрепленной на рамке, расположенной в вертикальной плоскости. Рамка установлена на диске, который может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 6.3.30).
Найти частоту линейных колебаний маятника и угловую скорость вращения диска. е Решение. Система имеет две степени свободы. В соответствии с решением задачи 6.3.28 положим П = О, рз =. 22, 222 =- В. Згз = О. Угловые скорости внешней рамки и маятника Уравнения Лагранжа 293 Угловая скорость диска м (1а -> 1А2 соаг (а12 т е1)) представляет собой периодическую функцию, максимальное значение которой Мз,)1е значительно превосходит минимальное значение Мз/(18 + 1А ). При прохождении маятника через положение равновесия наблюдается скачок угловой скорости диска. 6.3.31. Гирокомпас.
Гирокомпас представляет собой гироскоп с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 6.3.31). Гирокомпас установлен на широте Л, ось ротора направлена на север. Величина угловой скорости вращения Земли — Й. Исследовать линейные колебания оси гирокомпаса в окрестности положения устойчивого равновесия. Решение. Единичный вектор е1 направлен на север по касательной к меридиану. Вектор угловой скорости вра1цения Земли Й лежит в плоскости, перпендикулярной вектору ег.
Система имеет е ег две степени свободы. В соответствии с решением 1 задачи 6.3.28 положим Й1 —— - Й сов Л, Йг = О, Йз —— = Й 81пЛ, д1 = уг, 'рг = у); агз = О. Угловые ез скорости рамки и ротора Рис. 6.3.31 агг = Й1 8'пФ а18 = Ф+ Йз <1) . ГО а1 = Й1 сов аг, <1) а1, =- ф+ Й1 совр, 12) агг = — Й1 81п Зг соа ~ + (ф + Йз) 81п вц 12) а~з = (Зг + Йз) соз е + Й] 81п 1р 81п 1)1. )г) 1 =- — 16) ~(22+ Йз) + (Й1 сов зг)~) +— 2 2 + 1(( ° +Й )2+(Й 18~) (Й1 81пуг)2+ 81пу) ~+ 1а(1) +Й, соь р) . Первые интегралы .дй .д1 Е = У) —, + 1() —. — Ь, ду) д)), Мз = д1, д9 ' Мз — — 18 (1р + Й1 соз ег) ., Пусть 11~ = 18~8 — — 16), 122 —— - 18~ главные моменты инерции рамки, 111 — 1а, 122 — 112 .— 1 главные моменты инерции ротора. Лагранжиан системы [Гл.
6 Динамика твердого тела 294 Е = 2 (100+ 1) р'+ 2 1о4'— — — [(1о ~ + 1) я1п~яг+ (1о + 100) соя~у~ йз + С, (2) с = -- (1 ' + 1) й,'. 2 Исключая Ы из (2), получим уравнение Š— — — Ф'+ 1) р'+ 11(р) (3) а 11(р) = с+ и' — и,'й, 21о — — [1~ ~ соя гг + (1о ~ + 1) я1п ~р ~ й,. дб Найдем положение равновесия оси гирокомпаса из уравнения — = О, др = Изйз я'пяг ( 1 + 1о +1)й1 я'пФ сояР. д[1 00 з Обычно РеализУетсЯ Условие Из» 1о йм 1йм ТогДа в окРестности 00 устойчивого положения равновесия ~р = 0 решение уравнения (3) ог(1) =.
А соя(ого+ о)., ог~ = Ось гироскопа колеблется перпендикулярно плоскости меридиана. 6.3.32. Гироскопическая стабилизация. На рис. 6.3.32 изображен вагон однорельсовой дороги. Устойчивость вагона обеспечивается гироскопом с осью ротора, закрепленной на рамке, которая может врашаться вокруг оси, жестко связанной с корпусом вагона.
Массы вагона и ротора гп, тз, расстояния от рельса до центра масс вагона и оси рамки — г, гз, расстояние от оси рамки до центра масс ротора — я. Найти решение уравнений линейных колебаний системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Решение. Система имеет три степени свободы. В соответствии с решением задачи 6.3.28 свяжем неподвижный базис, задаваемый векторами пь.. и базис, образованный векторами езн преобразованием поворота вагона на угол ф вокруг орта ез, направленному по рельсу: е, = — яшина+созда,, ез = па, ез = сояфпз+яшдпм Угловая скорость й = йьези й = (О, Д, О).
Положим яг~ = О., заз = д., 00 ~рз .=- гь Поскольку ггг =- О, то еь —— — егн й =- ы~й угповая скорость вагона. В нашем случае ез ~ = ез~ ~ =. — яш д ез ~ + соя д ез ~. Урааненил Лагранжа 295 Угловые скорости рамки и ротора Пусть 1гг = 1 — момент инерции вагона, Хгг = Хзз 1 ', 1гг (з) (г) (г) (г) (г) (г) Хс — главные моменты инерции подвижной рамки, 1зз — — 1с 1 = 1 = ХОΠ— главные моменты инерции ротора. Кинетическая энергия системы К = — 1)3г + — 1(г) [дг -(- ((3 я)п 0) г~ + — 1(г) ((3 соя 0) г + + — 1(з) [0 + ()з сов 0) ] + — 1( ) (ф — (3 я(п 0) .
Найдем теперь потенциальную энергию системы. Вектор пз направлен вертикально вверх, и =. — ипз. Радиусы-векторы центра масс вагона и ротора соответственно равны !ез и !гез + зез . Потенциальная (з) (з) (з) энергия системы ХХ =- (т(+ тз(г) дпзез + тззяпзез (з) (з) = (т(+ тзСг) д соя(3+ твэл соя(3 соя 0. Лагранжиан системы Х, = К вЂ” ГХ. Поскольку 1(г), 1( « 1(з), (г) 1, то можно пренебречь кинетической энергией рамки. Очевидно, (з) сохраняется проекция момента Мз =- Хе ф — )3 я)пд). Уравнения (з) Лагранжа имеют вид — (1~+ 1(~)~ соя  — Мз я)пд) = сй = (т(+ тз!г) д я(п)3+ тзз(( я(п(3 соя 0, (1) — (1( )О) = — 1( )(3 сояВ я(пд — МзД совВ+ тззя соя Д в(пВ. (2) М ы( ) = д, ы~( ) = (3 сов 0, ы( ) = — )г в(од, ы[ — — д сову)+)г сояд яту).
ыг — — )3 сояд сояф — д язпу). агз( ) — — ф —,3 я(пд. Линеариэуя систему (1), (2) в окрестности положения равновесия )3 = О, В, =- О, получим Хгз(3 — Мзд = те 1 дД, 1( )В = — МзД+ тззяд. (3) (4) [Гл. 6 Динамика твердого тела 296 Здесь 1зз = 1+ 1~з~, то1 = т1+ тз(1з + в), то = т + тз. Из решения характеристического уравнения следует, что положение равновесия устойчиво при условиях 31з > 1ззтзза+111то16; Я > О.
Следовательно., центр масс ротора должен находится выше оси подвижной рамки. Р У Рис. 6.3.33 Рис. 6,3.32 6.3 .33. Эллипсоид на горизонтальной шероховатой плоскости. Эллипсоид вращения с полуосями а и с > а движется без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Введем неподвижную систему координат К(к, у, г) и систему координат К'(к', у', г'), связанную с эллипсоидом. В системе К ось г направлена по вертикали вниз. Положение системы К' относительно К определяется углами Эйлера зо., О., ии На рис. 6.3.33 изображены оси системы К' при значениях углов ~р = О, д ф О, ф = О. 1(ентр масс эллипсоида находится в точке к,' = О, у~( = — р, г,' = О.
Компоненты тензора инерции в системе К' имеют вид 1п = 1ы 1зз = 1з, 1зз = 1з, 1зз = О., 1зз = О, 1гз = — я. Эллипсоид с подобным распределением массы представляет собой одну из реализаций кельтского камня (се11я) [173[. Найти решение уравнений движения в окрестности положения равновесия. Решение. Пусгь г — радиус-вектор точки касания эллипса Р и плоскости, г = кгез~ + У'ез + г'е~з, г = ОР. В системе К' УРавнение поверхности в гауссовых координатах и, и имеет вид к' = а я[п и соя и, у' =. а я[пи я[пи, г' =- с соя и. Единичные векторы, касательные к поверхности а а с Ео — — — сояи сояие, + — сояи юпиез+ — я1пиез, (а сояи)з+ (с я[пи)з., Ез = ( — я[пи., сози, 0).
6.3] Уравнения Лагранзгса 297 Единичный вектор внешней нормали и = (Е1Е2), и.= — ягпи сояоег+ — ягпи 31пп ег+ — сояиел. (1) с с, а В точке Р единичный вектор внешней нормали к поверхности п = = — ез: ез = ягод 31пг( е', +ягпд сояфег+соядез. (2) Из (1), (2) находим гауссовы координаты точки касания: е = Зя/2 — ф, ягпп =- (а/6) ягпд., сояи =-. — (с/6) сояд., 6 =- аг ягп~в+сг созга, Ы = ас/6.
Координаты точки касания г г г а а с х =- — — яш0 ягпф у = — — ягп0 соя ф 3 = — — сояд. 6 6 6 Пусть В .—.. (Л1, Вг, Ргз) радиус-вектор центра масс. Условие движения без проскальзывания приводит к нсголономным связям: скорость центра масс Й и угловая скорость ы связаны соотношением О =- К + (ыя), где я = г — г, -- радиус-вектор, направленный из центра масс в точку касания Р, г,, = — ре'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
