Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Учитывая, что и = — де,, е, =- пз з[п В+ пз соз О, из уравнения Эйлера тК = пги+ гч получим (2) (3) (4) (5) (6) Исключая огз 3 из (1)., (3) с помощью (4), (6), получим компоненты силы М: 1з Хз = та —, оггогз, где 1', =- 1з + таз, 1' =- 1+ таз. Подставив эти выражения в (4), (3)., получим уравнения, содержащие только активные силы: тиа ( — агз + огзагз) = м2 — та(ог~ + а/зйз) =- — тК' з[пе+ д~з; та(аг2+огзогз) = — тд созй+ Хз.
Из уравнения Эйлера для момента импульса найдем систему 1ы2 + (огзагз13 — йзог21) = — ар!3, 1аг2 + (йзаг11 ы1ог313) = 0~ 1зогз = агУы 11 1з1 Мз = —, [тД. сов 6+ таюзюз(1 — — ) + таогзйзз~, ! ° 2 13623 = та аггыз., 1'ог2 — — — тпда сое 6 + юзйз1 — о22а231з, 1ог2 = юз (аз!3 — йз1). (7) (8) (0) 6.2] Уравнения Эйлера 259 Из этих уравнений следует первый интеграл (1 ш! + 1и!2 + 13и!3) + тД'а 3!Пи =- Я. Рассмотрим теперь движение диска с начальными условиями Зз(0) = =- О, д(0) =- О., !()(0) = и!о, д(0) = — л12, которые соответствуют качению в вертикальной плоскости по прямой со скоростью ио .— — ыоа. Для исследования устойчивости положим д = к!!2 -~- х (]х] << 1), !р' = и!о + е; ]е] ]Зв] « и!о.
В этом сззучае !в! х, !вз Зв, 323 — и!о+ е ! !э — О. Оставляя в (7)-(9) только члены первого порядка малости, получим систему (10) е = О,. 1З2 = !во1зх+ М,, 1 х = трах 1зв2оф, следовательно, 1 й+ ( ' ыо — тра! х = ыо — М,. 1 1313 — — 1 Если 1313!воз > тд'а1! то движение диска устойчиво относительно возмущений. Для диска (13 =- 21, 1 = таз!'4) получим роз > да/3, для обруча — из > да14. Компоненты реакции 1 Х! -— — та —,х!р, и!2 .= те созх — тах ., д!3 = —, ~ — тдх + тамо (1 — — ) 'р~ Из (10), (11) получим х =.
— ',' ' + А сов(И+ о),. 1~1 — 32313 А 11'я~ 1 92 1313 2 шва 11~ !во соз (кг + о). Для диска кз = 4 (За!о — д1а) 15, для обруча к2 = 2 (4шоз — д !!а). Таким образом, при незначительном отклонении диск движется не по прямой, а в окрестности окружности радиуса 11'Йз!!(1зтд]х(0)]). 6.2.13. Осесимметричное тело вращается вокруг оси, которая жестко связана с некоторым движущимся объектом.
Угловая скорость относительного движения равна постоянной величине фо. Ориентация оси определяется углами Эйлера д и !р. Определить момент сил реакции при известном маневре объекта. Решение. Согласно условию задачи закон движения тела известен: скорость центра масс тела т .— т(1), и = й(1), зз = зв(8), !) = ф(3).
[Гл. 6 Динамика твердого тела 260 Из первого уравнения Эйлера находим равнодействующую сил, прило- женных к вращающемуся телу (см. задачу 6.2.10), Р = гп — + т [йт]. ди аг Момент сил реакции относительно центра масс представим в виде Л, = 1Й, + (1з — 1) йзйз + йзФ1з, 12 = — 1йз (13 1)йзйг 11111з~ 1з = 1зйз + 4 1з В большинстве практических приложений скорость центра масс и ориентация объекта изменяются адиабатически медленно: [Й„[ « йг, [й[ « [~о[, [уг[ << [у]й[. В этом случае 1 [ЙМо], где Мо = (О, О, 1зфо) вектор собственного момента импульса тела.
Следовательно, при движении объекта по криволинейной траектории Р = т [йт], Ь = [ймо]. Вектор Ьз =- — [ЙМо] называют гироскопическим моментом сил, действующих на объекг со стороны вращающегося тела [85, 142, 143]. Например, при движении по окружности со скоростью и угловая скорость объекта и гироскопический момент й [ г к] л — [Мо [тГ]] . В случае движения мотоцикла (уМо .— - 0) гироскопический момент Ь„, = и (МоР) /(тиз). Для одномоторного самолета (г'Мо = 0) имеем Ь,, = — У (Мои),1(тиз). Пусть горизонтально расположенная ось гироскопа массы т закреплена на двух подшипниках в точках а и Ь, со стороны которых действуют силы реакции 1Х1, и Хм Поместим начало подвижной системы координат К' в центр масс гироскопа. Сумма моментов всех сил относительно центра масс Х =- [г„Я ] + [гзЯз]. Полагая гв =.
— г, = с, получим 1 = [с (1чз — 1ч,)]. Представим Мо в виде Мо = = сМо/с. Следовательно, ЫМо/е11 = [йМо], (Мо/с) [йс] = [с (1эд— — Ы,)]. Отсюда следует важный результат й — (Хь 1Ч )с 1 (1) Лда Сумма моментов сил, действующих со стороны оси гироскопа на подшипники Ь =- — [йМо], или 1 . = ЛХо [сй]/с. Вводя единичный вектор пз = с/с, полезно представить 1 .
в виде 1, = (,Уайза) [пзй]. 6.2] Уравнения Эйлера 261 0 =- тй+ Х + Хь Хо — Хь =- 0 получим Хь =. Х, .= — тй/2. Соотношение (1) представляет собой основной результат теории быстровращающихся гироскопов: если к оси гироскопа приложить пару сил, то он приобретает угловую скорость й или наоборот — при повороте гироскопа изменяются силы реакции. 6.2.14 — 6.2.15. Гироскопический момент.
Ось ротора турбины расположена вдоль оси корабля и закреплена двумя подшипниками в точках а и Ь на расстоянии 1 друг от друга (рис. 6.2.14). 6.2.14. Корабль выполняет поворот по окружности радиуса Л с угловой скоростью й = йпм Угловая скорость вращения турбины оо )) й. Найти силы давления на подшипники при движении корабля. Решение. Момент сил реакций Х, и Хь, действующих на ось турбины Ь = (1/2) [пз (Хь — Х )]. Поскольку Мо = Моиз, то имеем систему уравнений [йВ] = ти+ Хь+ Х„й = —, (1) (Хь — Х )1 2Мо из которой находим 1 / 2 Хъ ь = — [т [йИ] — та+ — Мой). 2 [, (2) Подставляя в (2) К = Лиги К = й [йпз] = ййпз, получим 11 1» 1 Хь = ( — тл — — оой — — тй Л 0 2 Х = [ — тд+ — оой, — — тй В, 0). Г1 1о 1 [,2 Т ' 2 Силы давления на подшипники Рь н = — Хь .
Гироскопический момент Ьл —— — [Мй] = 1зоойпе, создаваемый парой сил давления на подшипники, приводит к смещению носа корабля вверх и кормы вниз. Аналогичный эффект возникает при плоском развороте одновинтового самолета. В разделе физики, известном как «Физики шутят», упоминается о розыгрыше, автором которого был выдающийся американский физик-экспериментатор Роберт Вуд. Перед поездкой он укрепил в чемодане гироскоп.
Вышел из вагона, запустил гироскоп с помощью ремня и подозвал носильщика. Когда они огибали угол, чемодан стал разворачиваться в вертикальной плоскости и вырвался из рук испуганного носильщика. 6.2.15. Найти гироскопический момент и силы давления, возникающие при килевой качке с угловой скоростью й = й(г) пз. Решение. Полагая в (2) задачи 6.2.14 й = О, получим Хь(1) = ( — тл, — — о оой, О), Х (1) =- ( — л, — 'оой, 0).
Отметим, что при движении объекта с постоянной скоростью из уравнений Динамика твердого тела [Гл. 6 262 Гироскопический момент 1 я(1) = [Мй) = — 1зыйпз, порождает выну- жденные колебания оси корабля в горизонтальной плоскости. т х Рис. 6.2.14 Рнс. 6.2.16 6.2.16. Используя метод усреднения, определить движение быстрого осесимметричного волчка с закрепленной точкой. Решение. Пусть К вЂ” радиус-вектор центра масс, проведенный из точки закрепления. В отсутствие поля тяжести из уравнения Эйлера М = [Кто) находим М = Мо.
Ось волчка нутирует вокруг постоянного вектора М с угловой скоростью й„= М/1. Угол ег на рис. 6.2.16 определяется соотношением соя ег =. Мв! 1зФа. Следующее приближение описывает движение вектора М с угловой скоростью ео. Для определения ео усредним (1) по периоду нутации: М (К) = — 1 соя ее. М (2) Подставляя (2) в (1), получим уравнение М = — — соя ее [нМВ т1 М из которого находим ео = — т1М г соя егн. Следовательно, вектор М прецессирует с угловой скоростью ео.
6.2.17. Задача Фейнмана [175, с. 170[. Тонкий диск запустили вверх с подкруткой так, что плоскость диска параллельна вертикальной плоскости. Найти частоту колебаний диска вокруг вертикальной оси. Решение. Поскольку момент силы тяжести равен нулю, то из уравнений, полученных в задаче 6.2.10, следуют три интеграла: 1яшг .= Мз, 1ыя ягп 6+ Мз соя 6 = Мя, — (ог~~ + ыя) = сопяС. 6.3] Уравнения Пагранжа 263 В обозначениях задачи 6.2.10 начальные условия 0(0) = я/2, оз(0) = О, 0(0) = Во, 1а(0) = шзо. Следовательно, Мз = 1зшзо Мз = 0 1оз зтзВ + 1зшю соз В = О, — (Вз + Заз з]пзВ) = — Вз. (2) Подставляя ~р из (1) в (2), получим уравнение — 0 + и(В) = — Во, и(В) = — ( ) с13 О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
