Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Из (3) находим С1 — з(4 сов~ д1+ ое~ (4) 5.2.3. Длина нити математического маятника изменяется по закону 1(1) = 1е+ис. Найти точное решение уравнения движения в окрестности положения равновесия. Исследовать случай и « ~/д1. Решение. Лагранжиан, описывающий движение в области р « 1, Ь = — т1 ~р — — гпе.1х 1 2 ° 1 з 2 2 Переходя в уравнении Лагранжа к переменной 1, получим а (1зиз ~~') + Решение этого уравнения в области 1 > О е(Е = — [Ал ( — е) + Вн, ( — е)~, где l~(х), %~(х) функции Бесселя и Неймана первого индекса. В случае и « тlф можно воспользоваться асимптотикой 2 / Зн1 2 . / Зн1 ,7~(х) — г — сов[ х — — ), ,Ж~(х) — г — в[п(х — — ).
нх (. 4)' нх (, 4) Тогда решение приобретает вид ~р(1) — С1 з!4 соз ~ (и 4Е Мт ие г Усредняя (1) по периоду, получим (г ~) = а ~ (см, задачу 1.5.7). Поскольку Е = — СтвМ/(2а), то — .=- 2Š— . аЕ М аг М (2) где С, у произвольные постоянные. Таким образом, можно получить аппроксимацию функций Бесселя 7„(х) в области х» и. 5.2.4.
Планета движется вокруг звезды по эллиптической орбите. Масса звезды вследствие излучения медленно уменьшается. Найти адиабатический инвариант системы [16[. Решение. Из закона изменения полной энергии находим 5.2] Системы с медленно изменяющимися параметрами 231 ]Е] « й]Е], ]В] « й]В], й = —. Найти скорость ведущего центра. 5.2.7. Магнитная бутылка. Частица движется в постоянном неоднородном аксиально-симметричном магнитном поле в окрестности оси симметрии системы некоторой конфигурации проводников, зкомпонента напряженности поля на оси системы — функция В(с).
Найти адиабатический инвариант. Решение. Из первой пары уравнений Максвелла ЖиВ = О следует, что напряженность магнитного поля имеет компоненту В,. В цилиндрической системе координат 1 дтВ„дВ, т дт дс + Из второй пары уравнений го1В уравнение 1 д дА — — т + т дт дт =- О, полагая В =- го1 А, получим дА, А„ дс т В приосевой области [17] А (т, з) = — В(з) — — + .. т' а'В( ) 2 15 Компоненты напряженности дА„т дВ В,=- — т = — — — — +..., дс 2 с1с 1 д В, = — — (тА ) = В +... т дт Уравнение силовой линии дг/с]е = В/В, где е длина дуги.
Следовательно, ест)с]з = В„/В,. Отсюда находим уравнение силовой линии т Ат(т, з) = сопз1. А. Для витка с током радиуса а, расположенном в плоскости з = 6 с центром на оси с, функция В(з) = 1аД2сйз), где Вз = аз+ (з — 6)з, ! — сила тока. В. В случае магнитной бутылки В(з) = Ь (1+ зз/262 +...). Из (2) находим адиабатический инвариант Е(Мз = С. Учитывая это соотношение, найдем адиабатические инварианты Ма и МЬ. Следовательно, орбита планеты остается подобной. 5.2.5.
Предполагая,что гравитационнаяпостоянная С медленная функция времени, найти адиабатические инварианты планеты, движущейся по эллиптической орбите вокруг звезды. Ответ. ЕС ~ = С, Са = См СЬ = Сз. 5.2.6. Частица движется в однородных переменных электрическом и магнитном полях, удовлетворяющих условиям [Гл. 5 Нелинейные нолебанил 232 Уравнения движения е/. 1 тх = — (рВ+ — уВ г), е(, 2' е/. 1 ту = — — (хВ+ — хВ х), с(, 2 (2) тй = — — (ху — ту) В~.
2с Из последнего уравнения находим тг е .г — = — (ху — ху) В. аг 2 2с (4) Используя интеграл энергии гпи ь гпг г ° г 2 2 (5) представим (4) в виде а пгиь е — — — — — (ху — ху) В. аг 2 2с (6) Заметим, что (6) следует независимо из (1), (2). Представим х., у в виде иг Зь х = хе+ — з1пг(г, у = уо+ — сов ф, й ' ' П (7) где хе, уе, и ь -- медленно изменяющиеся функции. Подставим (7) в (6) и усредним по периоду 2я/П.
В результате из уравнения 6 ти„тиь В г г а'1 2 2 В получим адиабатический инвариант г =- С. 2В (8) Существование инварианта приводит к интересным следствиям. Под- ставляя (8) в (5), найдем уравнение Если функция В(х) возрастает, то в точке хо, определяемой условием Š— С В(ео) =- О, частица отразится составляющая скорости й изменит знак. Поверхность х = со, непроницаемая для частиц, называется 5.2] Системы с медленно изменяющимися параметрами 233 магнитным зеркалом. В магнитной бутылке область движения частиц ограничена условием ]с] < 6 2~ — — 1).
5.2.8. Частица движется в постоянном неоднородном магнитном поле. Найти решение уравнений движения в первом приближении метода усреднения. Решение. Скорость заряда удобно разложить по ортам В дт 'Г = —,. тв Р ", г1 ]тот]' В' де' Здесь т — орт, направленный но касательной к силовой линии магнитного поля, орт то направлен по главной нормали к силовой линии, р — радиус кривизны., е — расстояние., отсчитываемое вдоль силовой линии. Уравнение силовой линии с]г/с]е =- В(г)/В(г).
В однородном магнитном поле частица движется по винтовой линии, ось которой параллельна вектору В. Скорость частицы г = ъ1+ от. Радиус окружности й = ис/й, й = еВ/тс. Если поле является слабонеоднородным (сс]'17В] « В), то качественно картина движения почти не меняется, однако появляется возможность дрейфа частицы в направлении, перпендикулярном вектору В. В связи с этим решение уравнений движения гпг' = — ]гВ(г)~ будем искать в виде (2) г = го+К.
Здесь го — радиус-вектор ведущего центра, К(1) — описывает поперечное по отношению к силовой линии движение частицы в окрестности точки го(1): ол и~ К = — яп фт1 + — соофтш й й К = из соофт1 — и: :яп батю Скорость ведущего центра го = и+ дт. Заметим, что К(1) является быстроосциллирующей функцией с частотой й, а и и о изменяются адиабатически медленно: ]и] « й]п], ]Л] « й]о]. Подставляя г в (1) и разлагая В(г) в точке го, получим т (го + К) = — с((го + К) (В(го) + (К~7) В + )~ (3) После усреднения (3) по фазе быстрого движения найдем уравнение тго =- — [го В(го)] + — ((К(К и) В]).
[Гл. 5 Нелинейные Нолебан л 234 Вычитая (4) из (3), получим тК = — [КВ] + — [го(Ку)В]. Рг = — ([В (КС7) В];) = — ( [К ([тК] С7) В],) =- в т тие =- В егые етн'7, Вг(йвВе) =- — В ~.В. Здесь учтено, что (В~В,) = и~~ бее/2, е рле ь — бьнбге бгпбгеп е[гиВ =- О, Вг г7гВ~ =- В'7;В. Следовательно, уравнение (4) приобретает вид ° г г т[п+ вт+ — тг) = — [пВ(го)] — '7В.
р Г с 2В (б) Найдем адиабатический инвариант задачи. Умножая (5) на Й., получим после усреднения тиг . тиг . ти, аВ ае 2 2В 2В ае следовательно, г ииг 2В (7) Теперь из (б) в проекции на орт т найдем е аВ тв =— 2В дв (8) Умножая далее (8) на в и учитывая (7), получим первый интеграл .г +сВ = Е. 2 В дрейфовом приближении (п .= О, Я =- 0) из (6) следует выражение для скорости ведущего центра г г тс в тил с п = — — — тг + — [т (7 В]. еВ р 2 Вг Вычислим теперь среднее значение второго слагаемого в (4). Подстав- ляя В. = (тс/еВ) [тВ]г находим 5.3. Движение в быстроосциллируюгцем внешнем поле 5.3.1.
На частицу, движущуюся в потенциальном поле У(д), действует быстроосциллирующая сила Я(сС., 1) с частотой ос )) То' (То характерный масштаб времени движения в поле У(О)). Найти уравнение движения частицы по «сглаженной» траектории [23, 81, 82]. Решение. Решение уравнения движения Мс] = — — + Я(с1, 1) д1с дсс ищем в виде суммы медленно изменякнцейся функции С и быстроосци.п- лирующей функции и: о = с + и.
Поскольку ос» Т;,, то амплитуда вибраций мала и, следовательно, ]С]» ]и]. Поэтому уравнение (Ц можно представить в виде М(с+й)=- — ( —,+и с +...)+Я(~.,1)+и — +... (2) дУ д 1с' дС2 дб др' ' ' ': д~ Усредняя (2) по периоду 2яссьс, найдем = — „(- —.,) дУ дскб (3) Оставляя в (2) быстроосциллируюшие слагаемые, .получим уравнение Мй= г,с(с, 1)+..., из которого находим с и = — ~ Я(С, с) с(с. Поскольку дскб с1 ( дС;] . ( дскб и — = — и ~ сй — — и ~ сС» —, дб дс ~ дб ~ дб ' то среднее значение Следовательно., уравнение (3) можно представить в виде 5.3] Движение в быеспрооециллирующем внешнем поле 235 [Гл.
5 Нелинейные нолебан л (4) с е (а =- есо-~,— ' Цщесс, е~ (5) 1, =. — тСзсщ+ т~ (Π— евсее сов ьЛ) сов се, 2 Уравнение движения а~ ~=-- — +Ю(Р, ~) дН дссс Н = — тф сов ссс, с„с = т1еоисз сов оЛ з1п ср. Эффективная потенциальная энергия г ееьс с . 2 (с',4,(ср) = — тдl соз ссс — ( ) зсп ссс ( 2Ыо) Из уравнения дсс',ф,Сдссс = О найдем возможные положения равновесия с ссео Х рс = О, сев = х, сов сссз л = — 2 ( еоы Вычисляя й'Н,ф /еоыт = тф ~сов ссс+ — ( ) соз2се 2Ь.1 находим, что Если ьс ) ьс2 ®ев) ьсс, то положение исз = х является устойчивым.
Эта ситуация соответствует так называемому динамическому равновесию. Таким образом, действие быстроосциллирующей силы проявляется в изменении потенциальной энергии. Вклад второго слагаемого в (5), квадратично зависящего от амплитуды переменной силы, существенно влияет на поведение системы в критических точках. 5.3.2. Точка подвеса маятника, прикрепленная к невесомому стержню, движется в вертикальном направлении по закону е = ес созиЛ, ы» ссссо = асс. Найти эффективную потенциальную энергию и положения устойчивого равновесия маятника.
Реисение. Лагранжиан системы (см. задачу 2.2.4) 1 /вашт Частота колебаний шл = оса — ( ) — 1. Интересно, что при ос = 2 (,ссоо) = 2 (1ссва) оса частота колебаний оса = осо. 5.3.3. 'Уравнение Матье. Найти приближенное решение уравнения Матье 4 х + (д + 2и сов 2в) х =. 0 дв~ в окрестности значений ~1с~, ~и! << 1 в первой зоне устойчивости [139, 1401 с 2 Ответ: х = и 1+ — сов2в~, + Баш = О, да = (д+ — ). 5.3.4. На частицу, движущуюся в потенциальном поле 1С(с1), действует быстроосциллирующая сила ц(д, .1) =- Яс(д) совйс1 + -~- Яз(с1) сов йз1, где йс, Пз » То с (То хаРактеРный масштаб времени движения в поле сс'(д)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
