Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Найти уравнение, описывающее движение частицы по лплавной» траектории ((1). Ответ. а ос о — о(о+ — ((о) -;(о) у о о' . (о, — ос~~. 5.3.5. Индукция поля, создаваемого квадрупольной магнитной линзой В = Во~7ср, ср = — хуссс7. Частица влетает под малым углом к оси с системы., образованной линзами толщиной с1)2 со знакочередующейся полярностью. Найти решение уравнений движения по плавной составляющей траектории!83). Решение.
Уравнения движения частицы у'=- — ' уйз), 72 х = — лх 7(с), 71 ссз оса = —, тс ' й = — — (хх — уу) с (л), 1, (и — 1) с4 < л < (2п — 1) дсс2, йз) = — 1, (2п — 1) дсс2 < г < пА, где и = 1., 2....., Ю., сс' — число линз. Предположим, что ~х(0)~, ~у(0)~ << й(0) = п. В первом приближении с(1) =- е1, х = — х 1(е1), у = — — у 1(ос).
Если су » 1, то функция 1(е1) является быстроосциллирующей с пе- риодом Т = с1,се. Поэтому движение частицы может быть описано в терминах эффективной потенциальной энергии (см. задачу 5.3.1) с ( ) т(осоо)( з з) [~ ( )1 5.3] Движение в быстроосц лируюпСем внешнем поле 237 [Гл. 5 Нелинейные колебав л 238 Вычисляя среднее значение с ц"' ")12 =(-.".)в найдем ~l,,а(х, у) = (тсс8) (асоссссН)з (х~+ уз). Уравнения движения по плавной траектории х+й~х= — О, у+й~у=О, й= 2В 2тсй тг=гфс+еЕ + — [гВ с г сос = еЕо + — [гВо] с в виде г = х + и, где ]и[ « ]х]. Тогда (1) можно представить в виде т(х+ й) Есас(х) + (п~) Е1а~ + [ и ]Есас + е Е (х) + а дгс' + е(пс7) Е + — [хВ ]+ — [х(пс(7)В ] + — [пВ ]. (2) Усредняя (2), получим тх = г 66(х) + е ((пс7) Е + — [х(пс7) В ] + — [пВ ]), (3) тй=- (пи)гщс+ [и — ] г с~с+ еЕ + — [хВ ].
(4) а с Далее предположим., что переменное поле реализуется в резонаторе, в котором возбуждена некоторая мода частотой ы: Е (г, 1) = Е(г) созы1, В (г, 1) = В(г) сйпаМ, В(г) = — — гоФЕ(г). Опуская два первых члена в правой части (4) „получим е с' 1 и = —, [ Е сов ас1 + — [хВ] в[п асб) . тса с (6) Если частицы влетают под малым углом к оси системы, то реализуется динамическая фокусировка пучка. 5.3.6. Частица движется в электромагнитном поле, которое является суперпозицией статических полей Ео(г), Во(г) и переменного быстроосциллирующего поля Е (г, 1), В (г, 1). Найти уравнение движения частицы по плавной составляющей траектории [84]. Решение.
Ищем решение уравнения 5.3] Движение в быетрооециллирующем внешнем поле 239 Теперь подставим (6) в (3), учтем (5) и опустим члены хг/сг, в результате найдем г тх = и 50(х) — ((Е17) Е+ ]Е го1Е]). 2пио Поскольку т7Ег(2 = (Е17) Е+ (Е го1 Е], то получим уравнение х = Е~ г — '7С(х), г С(х) =, Ег(г) = — (] М Е (г, 1)~ 5.3.7. Электрон движется в поле стоячей волны с вектором напряженности электрического поля Е(г, 1) = Ео соэ йе сов ог1.
Найти уравнение движения, описывающее плавную составляющую траектории. Решение. Поскольку и « с, то время т Л/и, за которое электрон проходит расстояние порядка длины волны, велико по сравнению с периодом волны. Поэтому электрон движется в усредненном поле, обладая потенциальной энергией и(х) = '', Еог ...
~,. 4пио Уравнение движения тй = — (д(г'/дл) после замены е — 1 у: 1о = 2йе— — гг совпадает с уравнением математического маятника г . г 1 /еЕок1 Р + ига э'п гг = О; ого = — ( 2 (, тог,] 5.3.8. Прямоугольный волновод ограничен плоскостями в области 0 < л < а., 0 < у < Ь. Найти эффективную потенциальную энергию заряда в электромагнитном поле бегущей поперечно-электрической волны ТЕпь Решение. Вектор-потенциал бегущей ТЕ „-волны А1 г(1, х) = го1%' = (, —, 0), скалярный потенциал Ав = О, где Л5г — потенциал Герца: Л5' =- (О., О., И~1г](х)), И'00(х) = С сов(тп — ] сов(пп —" ] сов(ог1 — аале), Л=(т, п.=О., 1.,2, ...)., 1гл — = 1г, [Гл.
5 240 Нелинейные колебания сй „= ые — ыэ ы „=с ( — ) +( — ) ы „— критическая частота волновода, С вЂ” - константа [141[. Напря- женности электрического и магнитного полей волны дА~ Е(1., х) = —, Н(2, х) = го1 А~ Практический интерес представляет ТЕ1е-волна, для которой критическая частота не зависит от величины Ь, Вектор-потенциал и напряженность электрического поля А(1, х) = СА1 ~(х) сов(оЛ вЂ” йс), А~ ~ = (О, А, 0), А = — гйп —, Е(2, х) = СЕ~~1 гйп(ьЛ вЂ” йя), Е1~~ = (О, —, 0), где и = к1е = н/а.
Эффективная потенциальная энергия Глава 6 ДИНАМИКА ТВКРДОГО ТЕЛА 6.1. Тензор инерции. Кинематика 6.1.1. Показать, что тензор инерции тела аддитивен по отношению к частям, из которых это тело состоит. Решепие. Поскольку компоненты тензора 1ьь зависят линейно от элемента дт, то для сложного тела, состоящего из частей А, В, ..., получим 1ев(А+ В+ .
) = 1сь(А)+ 1ев(В) + 6 х р(х) (г 6гь — х,хь) 1гь(А) .= те ~ Ы х р(х) 6.1.2. Найти тензор инерции половинки тонкого диска в системе координат с началом в центре масс. Решеяие. Согласно решению задачи 6.1.1 искомый тензор 1ш = 1сь(2т) /2, где 1сь(2т) — тензор инерции диска массы 2т. В системе координат, изображенной на рис. 6.1.2, диагональные компоненты 1н(т) = ™, ~~ИУг, 1гг(т) =, ~йЯхг., 1зз =, ~йЯ(х~+Уг), где а — радиус диска. Поскольку из-за симметрии области интегрирования ~НВх = ~НЯ у~ = 1,12~аЯ (х + уг) = — ла~/4., то 1н = 1гг =- та /4, 1зз .= та~/2.
Найдем теперь положение центра масс половинки диска: а л!г 2 з г 4а хы = г ~ РЙР ~ дЭг р созэг =- ла З е Тензор инерции 1~в ) в системе координат с началом в центре масс и осями, направленными вдоль главных осей инерции, связан с тензором 1,ь соотношением 1,.„=- 1еь — т (с Бзь — сзсь), (1) где с =. ( — 4а/Зл, О, 0). Подставляя значения 1ьь в (1), получим 1(лг) 1 1(~) лга г 4 1(ж) ггга г г г г ° г и = н гг = 'гга (, 1 зз 'гга ( ) .
4 Зл а Зл [Гл. 6 242 Динамика твердого тела 6.1.3. В системе координат х, у, г тензор инерции имеет компоненты 16и Найти тензор инерции 1,'ь в системе координат х', у', г', х' †. — Л дхти где Л матрица поворота. Решение. Заменяя в выражении м 1„'з — — т(б дхьз — х' х~) а=1 координаты х' через х:х' = Л вхд, б„д = Л„иЛд б„„ получим 1' = Л.„Л,.1и.. 6.1.4. Найти тензор инерции тонкой однородной прямоугольной пластины относительно осей х, р, г (рис.
6.1.4) (АВ = а, ВС = Ь). Рис. 6.1.4 Рис. 6.1.2 6.1.5. Найти тензор инерции однородного шара. Решение. В системе координат с началом в центре шара радиуса а осевые моменты инерции "" ~,~~, ~„г+хэ) 1 т ~,~Р е э+ г) 1 з т ~,~Р ~ з+„з) Очевидно, ) аг' х =- ) д$' у~ =- ~ дЪ' г~ =. (1/3)) гт Л', поэтому 1еь = =- 2таз бы/5.
6.1.6. Найти тензор инерции однородной призмы, имеющей в основании равнобедренный треугольник. Решение. Пусть В длина призмы, Ь высота равнобедренного треугольника, а длина его основания. Найдем тензор инерции 1,„ (тп) в системе координат с началом в центре масс. С этой целью вычислим предварительно тензор инерции 1гь в системе координат с началом в вершине О основания; плоскость хй расположена перпендикулярно граням призмы и проходит через середины ребер призмы (рис. 6.1.6). 6.1] Тензар инерции. Кинематика Рис. 6.1.6 Найдем вначале координаты х,„и у центра масс в плоскости ху: учитывая уравнения прямых ОВ (у = 26хта) и ОА (у = — 26х/а), 6 ау/26 6 ау/26 умаа — ~ ]у ~ ху= 26.
х = — ) ду ~ етхх=-О., Π— 3126 Π— аут'26 Осевые моменты инерции Ьт'2 6 аут26 т62 то~ — 2 (, ]у ~ ]х (у2 + ') = 2 12 - Ь!2 Π— ут26 та тй т6 22= 24 + 12 ~ 33= 2 + та 2 Недиагональные элементы равны нулю. Искомый тензор 116 ~ связан С 116 СООТНОШЕНИЕМ 1~6 1 — — 116 — та (аоб,ь — атаь), ГдЕ а т (О, — 2/36, 0), следовательно, 111 = 18 6 + 12 Л : 122 †- 122 133 = 8 6 + 24 ттт 1 2 1 2 ттт ттт 1 2 1 2 18 Если основание является равносторонним треугольником, то 6= —,а 1 = — та + — тй, 1 = — та. ттт 1 2 1 2 ттт 1 2 2 ' 11 86 12: 33 6.1.7.
Известны скорость и ускорение точки А твердого тела. Найти скорость и ускорение произвольной точки В тена. 6.1.8. Ориентацию твердого тела относительно референциальной системы отсчета можно задать тремя углами Эйлера 3тт 6 и ф, каждый из которых связан с матрицами А, В, С. Найти угловую скорость твердого тела. [Гл. 6 Динамика твердого тела Решение. В движущейся системе отсчета тензор угловой скорости ! а! я-— -Л „Лв, где Л матрица преобразования х', = Л;ьхь, Л .= СВА. Подставляя Л в (1), получим а!' = (СВА+ СВА+ СВА)А 'В 'С '.
В тензорных обозначениях ! !(е) !(Ь) !(а) гl) аф + оя + оя (2) а!од = СагСвг! !(е) а!' =. С ЬСВ,ВгьВ ь, !(Ь) а! а = С;ВВСягВг, А,ьА; ь. !(а) Компоненты вектора угловой скорости 1 ! ~"е = 2е.од«~„я (3) Матрицы А, В, С соответственно равны Далее, найдем матрицы СС 3! ВВ г! АА' 3: — О О, О О О, — !р О О Учитывая эти выражения, получим отличные от нуля компоненты антисимметричных тензоров а!'(~) и а!'( ): ы13 =дв!п4'! !(Ь) = 0 совгЬ, !(Ь) а!дв — — ~р соя 0, !(а) а!13 — Ьг яш 0 соя ф !(а) агав — — !р мпд я!пии !(а) Таким образом, согласно (2), (3) найдем компоненты вектора угловой скорости в движущейся системе отсчета: а!' =- а!'3 — — Ьг вш д я) п гр + 0 сов гр ! а!3 = а!3, = !р шп д сов 4! — д ып !()! а!3! = а
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
