Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 31
Текст из файла (страница 31)
4.3,11. Сила Р(1) = Д(1) созаЛ действует на осциллятор в интервале времени 8 > 1о. «Амплитуда» силы удовлетворяет условию )с1(сссИ! « ас)Д, Начальные условия х(1о) = хо, х(1о) = — хо. Найти решение уравнения движения в установившемся режиме колебаний. Решение. ПРи 1 — со » 1гсз в УстановившемсЯ Режиме Решение х(1) = — Ке [ г1сс С(с — 1') ((1') е са Переходя к новой переменной т = 1 — г', получим с — са х(г) = — Нее '" [ ЙтС(т) 1'(с — т) е™. 1 Поскольку 8 — 1о » у 'г, то верхний предел можно положить равным +ос и учесть, что основной вклад в интеграл дают значения щт « 1. В результате получим х(1) = — Нее"'"' [ с1тС(т) ес"" (((1) — тс" +...г с—-- 1 = — Кое ™[д'(аг) )('с) + с —,(+...~, [Гл.
4 Линейные колебания 204 где фа2) = (о2Π— а2 — 2 уо2) . Введем действительные функции С и ео соотношениями фо2) /'(1) = С ехр ( — 2О2).Тогда х(8) = С(й) соэ [а21 + у2) + .. С(е) = (о2о о2 ) т (за1) гп 2 2 О2о з'ы Э1ПУ =— (о22 о>2)2 .~. ( „О2)2 сов д = (о22 о12)2 + (71 ~)2 4.3.12. Найти вынужденные колебания одномерного осциллятора в результате действия силы К(1) = 2 , 'ип б(1 — 8„). Начальные условия п=о х(0) = О., х(0) = 0 [9]. Решение. Из формулы (7) задачи 4.3.6 находим в интервале 1, .1 < <8<1, х(1) = (тй) ' и„ехр~ — — (1 — 1„)~ зшй(1 — 8„). 2 ппо Пусть ип = и., 1„=- пт, тогда 5 — 1 х(1) = — е '" 7 1ш ехр — 2й1+2пт(й — — ) Най 2 ) п=о После вычисления суммы геометрической прогрессии со знаменателем О = ехр [ет (й — 2' у/2)1 получим -11!2 1 Ч вЂ” Гп Пусть период толчков т = 2я/й.
Тогда х(1) = вйпй8, Оо = ехр( — ). 5 7 ну'1 нтй (оо — Ц 2 е =- — 'х + х = — [х — еыох[. н2 2 ота1о 2 п2 2 2 2 4.3.13. Найти энергию, переданную осциллятору в результате действия силы Р(1), 1 > О. Решение. Полную энергию осциллятора в момент времени й можно представить ввиде Вынужденные нолебанил 205 Предположим, что в начальный момент времени осциллятор покоился.
Если у « ые, то х = (тыо) в ~Я е чр ' ~~~ вшито (1 — 1) Е(1) (2) а х т ' ~ ~Н' е т О ' Р в сов ыо (1 — 1 ) Р(1 ). о Подставляя (2), (3) в (1), получим Если промежуток действия силы аг « и ', то В отсутствие трения полное приращение энергии осциллятора Р = ~ агР(г)е™ о! 2т 1 1 пт 1+(Е' Б. Е(2) = — ' е О~'~ сов Й1. тэге В. Р(1) = Ге 6(1) сов й1, 6(1) = 1, ~1~ < —; Ь(1) =. О, ~1~ > —. Решепие. А. Вычисляя интеграл нахочим ЬЕ = (Уе /2т) ехр ( — 2ыет) (138).
Если ыет « 1, то ЬЕ - (1е~,~2т). В этом случае Е(1) - 1в 3(1). 4.3.14. В момент времени ве — э — со осциллятор покоился в начале координат в положении равновесия. Найти приращение энергии незатухающего осциллятора в результате действия силы [Гл. 4 Линейные нолебаннл 206 В. Указание: (ийт ) 2 В. Указание: ! о!п(й — и)т[2 о!и [й -Ь и)т[2 ~и О + й — и й+и 4.3.15.
Сила, действующая на незатухающий осциллятор [рис. 4.3.15) В момент времени 1о — ! — оо осциллятор покоился в начале координат в положении равновесия. Найти приращение полной энергии в результате действия внешней силы. Рис. 4.3.15 Решение. Учитывая значение интеграла [53) ~й е™ 1[! + р) = Йгт получим фурье-компоненту о!и и'Г/2 г = 27гтго о!о |гит Энергия, переданная осциллятору ЬЕ = Е[оо) = [Е„[з/2т, 2к з з 'о!пиоTг2' 2 ° 2 т оЬ киот Рассмотрим два частных случая.
А. Плавный фронт импульса силы [иот» Ц, В этом случае передача энергии экспоненцивльно мала: 2 8к з з . гг'иоТ'1 з от оог..— т го зщ [ )е гн [ 2 Вынужденные нолебан л 207 В. Импульс силы с крутым фронтом (мат « 1). В этом случае 1'(1) = О(1), ВЯ =- 1, 1 > 0; В(й) =. О, 1 < О.
Функция Е(8) соответствует прямоугольному импульсу длительностью Т. Приращение энергии осциллятора Если гооТ « 1, то ЬŠ— 1а2/2т, 1о = ЕаТ; Е(1) — 1о б(1). 4.3.16. Сила, действующая на незатухающий осциллятор1 Г(1) = О, 8 < О, 8 > т; г'(г) = Еа, 0 < 1 < т.
Найти решение уравнения движения и энергию, переданную осциллятору. В начальном состоянии х(0) = О, х(0) = О. Региеяие. Согласно формуле (7) задачи 4.3.6 при 0 < М < т (,) г, го 2га . 2 о2ог того ) т О1оО 2 о В интервале 1 > т т Ео 1 2Ео . огот . / тг х(1) =- гй вгпаго(1 — 1) =, яп вгпгео~с — — ). тыо гпгоо2 2 2) о Если о2от = 21г, то осциллятор совершит одно полное колебание и после прекращения действия силы успокоится. Энергия осциллятора 2Р2 яп —, 0<1<т, 2 О121 о 2 "™о яп, 1> т.
Если о2от « 1, то Е(оо) = (1г12т) (Рот)2. В этом случае Г(8) можно представить в виде Е(1) = Рот б(8). 4.3.17. Сила, действующая на незатухающий осциллятор, ег и ог2 1 — е1 и ог~ 8 Е1)=Еа ГО2 > ГО1 ° (ге2 гог) 2 В момент времени 1 — г — со осциллятор покоился в положении равновесия. Найти энергию, переданную осциллятору. Решение.
Учитывая значение интеграла г111 япаЛ = гг япаг, [Гл. 4 Линейные нолебан л 208 Рис. 4.3.17 получим фурье-компоненту силы Ри~ = ~ а1 г (1 ) е = [з[йп (н'2 ые) з[кп (а'1 ые) [. 2 (ыо — ьч) Таким образом, исходный сигнал представляет функцию с ограниченным спектром шириной Ьы = ыэ — ьн (рис. 4.3.17). Если ыо лежит в области Ьы, то энергия Заметим, что при условии ьъы « ооэ + ьн г'(1) можно представить в виде почти гармонического колебания с медленно изменякпцейся амплитудой Р(1) = А(1) созые1, 2Ео, 1 1 А(1) = яп — Ьы1, ыо = — (ы~ + шг).
1Ьы 4.3.18. Аналитический сигнал. Дан график квазипериодической функции Е(1). Найти критерий, позволяющий представить эту функцию в виде Е(1) = А(1) соз Ф(1) [73, 74, 132[. Решение. Строго монохроматическое колебание частоты ы задаегся при — оо < 1 < оо выражением и(1) = а сов ~о, а = сопз1, 1о = ы1+ а. Комплексная запись колебания ш(1) = и(1) +1и(1) = аене получается при введении мнимой части, равной [а яп 1о.
Амплитуда, фаза и частота определяются выражениями н, е ив+ е~, сов~о = —, яп1о =— а а ы = а (би — ие). Вынужденные нолебанил 209 Преобразование Гильберта обобщает правило построения мнимой ча- сти на произвольные функции Е(1); )с(1) = — Р ~ с1г' г — с (2) В результате получим функцию с Ис(1) = ЕЯ + с' 1с(1) = — — ~ М Если подвергнуть функцию Е(8) фурье-преобразованию Е(1) =- — е(се) е 2л и учесть значение интеграла — * с' с ~~~с е* 2сг ) Е' —.
Е -~- сО то получим Ис(8) = — ~ Йсе е(ы) е 17 о (б) Нетрудно проверить, что Ке Ис(1) = Е(1). Функция И'(1)с называемая аналитическим сигналом, впервые введена Д. Габором (1946). Таким образом, Е(1) можно представить в виде Е(1) = А(1) сов Ф(1), гче А(1) = Е (1)+ Ъ'в(1), совФ =, сбпФ =- ЕЯ, Ъ'(2) А(е) ' А(с) ' Мгновенная частота определяется аналогично (1): Е(8) =- Ке с'(1),,с'(1) = Ее(1) е ' " Представление (5) позволяет корректно выделить огибающую функ- ции Е(1) и исключить высокочастотные составляющие, не проводя усреднения в явном виде. Теперь становится очевидным, что переход от выражения Е(1) = Ее(1) сов ые1 к комплексной записи [Гл.
4 Линейные нслебсснил 210 столь же произволен., как мнимая часть. Аналогичная запись в терминах аналитического сигнала имеет вид Е(1) =- Ве ИГ(1), где И'(1) определяется формулой (5)7 причем е(а7) = ~ М Е(1) е™ Очевидно, спектры комплексных функций ((7) и ИГ(Г) не совпадают. Практическая важность аналитического сигнала связана с методом измерения мгновенной мощности любого квазипериодического процесса Е(й) = А(1) совпГП8. Рассмотрим детектор, имеющий время отклика т, малое по сравнению с характерным временем изменения «амплитуды»., но большое по сравнению с периодом То = — 27Г 77п7о. В этом случае детектор измеряет, по существу, мгновенную мощность 7.7-«,72 Р(8) =- — ~ Н Е~(8'). 7 — (2 Запишем теперь Е(1) в виде Е(1) Ве [е™7 Р(1)) Р(1) е — 7«7ас ИГ(г) Функция Е(1) изменяется медленно на временном интервале т.
Тогда с достаточной степенью точности мгновенная мощность равна половине квадрата модуля аналитического сигнала: Р(1) =- (1/2) [И'[ . 4.3.19. Сила., действующая на незатухающий осциллятор, ЕГП [аас (1 — 777, )) 7Г ы,. (2 — н8«) ' ' асс В момент времени 1о 7 — оо осциллятор покоился в положении равновесия. Найти энергию, переданную осциллятору. Решение.
Учитывая значение интеграла — Р ~ 71т с в(ы)7 е(ы) =17 ПГ > 0:, е(п7) =- -1, а7 (О, 7 7Г т получим фурье-компоненту Р(Н«) Есп«77« Г'Гс ~ Ь7 ~ Г'Гс7 Р'„= О, ЬГ ) ПГ«7 Гс' ( — Гс'с. Отметим, что семейство функций Р(1), введенных впервые в 1933 г. В. А. Котельниковым, обладает замечательным свойством. Спектр Вынужденные колебания функции Е(1) ограничен отрезком ( — ш, ш,)., а функция Е(1) определяется счетным множеством своих значений. Приращение энергии осциллятора при значениях частоты шо < ш, равно ЬЕ = — )Е 4.3.20.
Найти энергию, переданную осциллятору заряженной пролетающей частицей (в дипольном приближении) (75!. Решение. Предположим., что осциллятор представляет электрон., движущийся в поле ядра. В рамках классической теории энергию взаимодействия электрона и ядра можно выбрать в виде С = тпшогз/2. Следовательно, уравнение движения электрона гиг+ пнаог = — еоЕ (г — К(1)), В(1) = Ь+ Ш., Ъц = О., здесь Š— напряженность электрического поля, создаваемого пролетающей частицей, Ь вЂ” прицельный параметр, и — скорость пролетающей частицы. В дипольном приближении можно пренебречь зависимостью поля от положения электрона, полагая (2) Подставляя (2) в (1)., запишем решение в виде т (1) = — ео ~ М' С „(1 — 1') Е„(1'), где С „(г — г~) функция Грина, С „(1 — 1') =-В(1 — 1)А „(пиоо) ' э1пшо(8 — 1) (4) удовлетворяющая уравнению С „+шоэС „=- — Б „б(1 — 1').
Энергия, переданная при пролете, [Гл. 4 Линейные колебания 212 Подставляя фурье-разложение функции Грина, получим г ео о здесь я п(ю) -- тензор обобщенной восприимчивости, ( ) 1 е1 С () «1-'«о)п — «б [( + 0)2 2) — « Учитывая соотношение 1пп, = Р— тгпб(х)« 1 1 е — «о хт1е х получим .тп( ) — Кп«п( ) = — ' тп (~' — О)« следовательно, 2 ~б = Д [Е( )[' (6) Нетрудно убедиться, что это выражение совпадает с полной энергией электрона б(1) = — (г + ыог ) = — [г — моет[о 2 о 2 (7) в момент времени 8 = оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
