Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мощность Ас в струе постоянна. Решение. Из системы 12 те 2 тй =- — тс — спд', с получим уравнение гп = — т (й + д) сс2%, следовательно, тис а = — тс сйпс», тк 2»'2 Рис. 3.4.1 1 0= ~ +тс' созс3, 2»'2 где тв =- гп(0), е(с) — функция., которая нахочится минимизацией с интеграла [(Б+ д) сй.
в 3.4.11. Космический аппарат движется по окружности, расположенной в плоскости, параллельной плоскости экватора на расстоянии Н от нее («широтный» спутник). Найти условие оптимального сгорания топлива при постоянной скорости истечения газов. Решение. Рассмотрим рапи упрощения формул КА., движущийся в плоскости, касающейся полюса Земли (по окружности, равной радиусу Земли а (рис. 3.4.11). Из уравнения Мещерского находим [Гл. 3 170 Динамика системы частиц где и/4+,3 — угол между скоростью с' и вектором и, следовательно, м = (1+Фар), тс'=— 2аъ'2 2ъ*2 сов Д Оптимальное значение ф =- О, гп(е) = тс ехр( —,) .
Скорость КА — 2 з74 Яа. Глава 4 ЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 4.1. Собственные колебания одномерных систем 4.1.1. Найти решение уравнения х'+ чх + ыегх =- 0 (9). Огпветп. 1. ые > Ц/2, х = е 'г~гА сов(П1+ о), П = ыег ('у/2)г 2. ыо = ~'у~!2, х = (Сг + СгЦ е 3. ые ( Ц,12, х = е чг~гА сЬ(к1+ о), (. ~2)г ь,г 4.1.2. К частице, движущейся по гладкой горизонтальной прямой, прикреплена пружина. Другой конец пружины закреплен на расстоя- нии й от прямой. Найти частоту линейных колебаний частицы в окрест- ности положения устойчивого равновесия.
Решепие. Выберем в качестве обобщенной координаты угол у меж- ду вертикалью и пружиной. Лагранжиаи частицы Ь = К вЂ” У, Следовательно, частица имеет три положения равновесия 6 соа ~гг а = —, и < 1е. 1а Вычисляя вторую производную 2'и ~а агпу )г дх сов у находим ( г) = гог (й — 10), ог11 1г ( г) гг(1ег й ) г (2) где гг жесткость пружины, 1е длина в ненапряженном состоянии.
Положение равновесия определяется из условия равенства нулю обобп~енной силы: [Гл. 4 Линейные колебания 172 Частота линейных колебаний определяется выражением (3) Из (1) — (3) находим частоты колебаний в трех положениях устойчивого равновесия: 6г г7г шг,г = — — (1 — г ) 4.1.3. Частица движется по плоской кривой. Найти частогу линейных колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Решение. Пусть кривая, расположенная в вертикальной плоскости у = О, задана уравнениями л = л(д), з = с(д), где д — параметр. Лагранжиан системы 6 = К вЂ” 17, К =- — т.
6(д) д, 6(д) =- ( — ) + ( — ), 17 = — тнг(д). Из условия а17 йг — = — тн — = О Оч йд получим положения равновесия д =- д, . Поскольку пэ = ь76 г~д, то (1) имеет прозрачный геометрический смысл: ие = О, ег = ог/дв (175, с. 34). Учтем далее, что Ые /сЬ вЂ”. (1/77) е„где й —. радиус кривизны, а'17 — 17г 46 = — тце — — — тие 6 О г иЯ 2 х Яд (2) Б(д) =П(д, )+ — тд — (д — д, ) +..
Решение уравнений Лагранжа в окрестности положения равновесия д = д, + А соз (ос+ а), ы = Йо 4.1.4. Частица движется по логарифмической спирали, расположенной в вертикальной плоскости. Найти частоту линейных колебаний. 4.1.5. Частица движется по винтовой линии. Найти частоту линейных колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Из (1), (2) следует, что в точках локального минимума вектор нормали к кривой должен быть ранен е =- — й/д'. Разлагая 17(д) в ряд Тейлора в этой точке, получим Собственные колебания одномерных систем 173 Решение. Параметрическое представление винтовой линии х =- а соя о, й =- а яп а, е = — Ьд.
Выбирая д в качестве обобщенной координаты, найдем и г =- (аг+ Ьг) дг. Расположим, далее, ось х горизонтально, а ось я под углом а к вертикали (~а~ < к/2). Тогда потенциальная энергия У = — тяг = — тяа впа ягпо+ тдбо сова. Положение устойчивого равновесия определяется условиями соя о = — (6/а) сяка, ягпо > О, поскольку В~У/дд~ = тяа ята ягпо.
Предполагая, что Ь | с16 а~ < а, получим частоту линейных колебаний =В а ж6 г 4.1.6. Частица движется по линии пересечения плоскости и прямого вертикально расположенного кругового цилиндра. Найти частоту линейных колебаний частицы вблизи положения устойчивого равновесия. Решение. Пусть ось е совпадает с осью цилиндра радиуса а, и =- (япа, О, сова) единичный вектор, перпендикулярный к плоскости.
Линией пересечения цилиндра с плоскостью является эллипс. Параметрическое уравнение эллипса в системе координат, повернутой относительно исходной на угол а вокруг оси р в отрицательном направлении г у=гд~ я = — х' вп а+ я' сова, х = х' соя а+ я' япа, имеет вид хг =- сояс, и~ =- а ягпс, ег — -- О. соя а Лагранжиан частицы Ь = К вЂ” У, г, г К = ( г +соя ~) С, 67 = — тд'а яяа соя~. та /ягв б 2 (,сояга В окрестности положения устойчивого равновесия 6' = О, ог~ = (В/а) 1яа. 4.1.7. Частица движется по окружности, вращающейся с постоянной угловой скоростью Й вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости окружности и проходящей через ее центр.
Найти частоту линейных колебаний частицы в окрестности положения устойчивого равновесия. Решение. Направим ось е неинерциальной системы отсчета, связанной с окружностью, по оси вращения. Выбирая в качестве обобщенной координаты полярный угол В, получим 7. =- К вЂ” 67, та 'г г 1 К = Вг 1/ = тра соя  — — тагйг яп В где а радиус окружности., Й угловая скорость вращения окружности. Положение равновесия определяется из условия У'(В) = О: Вг =- О, [Гл.
4 Линейные налебанил 174 Вэ = я, соэ Вз 4 = — д!айэ. Далее, найдем он(В1) = — тна — та~й~ ( О, 11н(дэ) = — тяа — таей~, й~ < д/а, 2 Пн(дэ 4) = таей — т~ — ), й ) д/а. Следовательно, частота линейных колебаний определяется соотноше- ниями 4.1.8. Упругая нить длиной 2а в ненапряженном состоянии перекинута через два горизонтальных параллельных стержня, расположенных на одном уровне на расстоянии а друг от друга. Концы нити прикреплены к шарику. Определить частоту вертикальных колебаний шарика, если в положении равновесия нить образует равносторонний треугольник. Решение. Выберем в качестве обобщенной координаты угол 2д между нитями, прикрепленными к шарику. Кинетическая и потенциальная энергии Л = та~0~ вш '4В 1'8, а 11(д) =- — тп — оса В+ — й [, — а) .
2 2 [япВ Положение равновесия определяется условием дГ тяа 2 ~ 1 ) саед — Йа дд 2 яп2В ~юпд япеВ при В = л/6, следовательно, й = тд/ау3. Далее, найдем 17н(я/6) = = (14/ъ'3) тра; юэ = (7/2и'3) (д/а). 4.1.9. Два пункта на поверхности Земли соединены гладким тоннелем, прорытым по хорде. Записать лагранжиан тела, движущегося в тоннеле, и найти решение уравнений движения. Решение. Предположим, что расстояние от центра Земли до тоннеля равно с (рис. 4.1.9). Пусть х — координата тела. Согласно задаче 1.5.1 потенциальная энергия тела ~l(х) = — — + — — (с + х ), 3 утМ 1тд 2 а 2 а где а — радиус Земли.
Лагранжиан А = тхе/2 — тдхэ/2а. Таким образом, период колебаний тела Т = 2я а/д = 84 мин совпадает с периодом обращения спутника, движущегося с первой космической Собственные колебания одномерных систем 178 скоростью иь Пусть х(0) = а соя а, х(0) = =- 0 -- тело падает в тоннель, прорытый на широте а. Тогда х(1) = а соя а соя со1, ы =- д,~а. Таким образом, время движения по тоннелю из точки А в точку В равно 42 м. Амплитуда скорости и =и~ соясс=и~ 2 — — ( — ), а (а)' где 6 максимальная глубина тоннеля. д.--- -.-~ — ~лы:о.ср ~« « а и,„= и~ 2Ь/а, 1 = 2 ъ'2аЬ. Полагая 6 .= 10 км, получим и = 0,44 км,!с, 1 =.
Рис. 4.1.9 = 700 км. 4.1.10. Частица движется по циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости. Направим ось у вертикально вверх, ось х — по горизонтали. В этой системе координат параметрическое уравнение циклоиды: у = — а (1 — соя со),. 0 < со < 2я. х = а(у — сову), Найти частоту колебаний. Решение. В качестве обобщенной координаты выберем длину дуги в = 4а (1 — соя ~р/2) (см.
задачу 1.1.9). Потенциальная энергия частицы У(в) = тду = тд' ( — в+ — в 1 8а Из уравнения с(У/с1в = 0 найдем значение координаты в положении равновесия в, = 4а. Поскольку потенциальная энергия является положительно-определенной квадратичной формой координат, то колебания изохронны, т.е. частота колебаний, как и в задаче 4.1.9, не зависит от амплитуды. Лагранжиан частицы: ° 2 7 1 21 А = — тд — тд( — в+ — з ), 2 8а уравнения Лагранжа: Я+ — в = — я.
Я 4а Общее решение уравнения з(1) = А сояог1+ В я!пы1+ 4а, ы =— 8 2 а Пусть з(0) =- О, з(0) = — О. Тогда в(1) = — 4а соя оЛ + 4а. Амплитуда колебаний в два раза больше глубины потенциальной ямы! [Гл. 4 176 Линейние колебания 4.1.11. Две частицы масс т1 и тщ соединенные пружиной пренебрежимо малой массы, могут двигаться по прямой линии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
