Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 22
Текст из файла (страница 22)
— "+ "" "+ У(г, гзз). Вектор г соединяет центр масс частиц тз и гпз с частицей пззз К вЂ”- радиус-вектор центра масс системы (рис. 3.3.5). Лагранжиан системы [Гл. 3 Динамика системы частиц Если т1 )) тз, тз, то потенциальную энергию взаимодействия можно представить в виде С =- Ьо + 2)7(У, , т,тз, т,тз о=— г 713 1 1 тзтз Ь17' = — Стзтз — — — С тз т 7П1 Г -С Г13 à — Г1З тзз т1з В нулевом приближении лагранжиан с потенциальной энергией Со описывает промежуточные орбиты [56], эволюция параметров орбит определяется функцией Ьь7. 3.3.6. Задача 2К. Лагранжа [1772).
Три частицы движутся так, что в любой момент времени находятся в вершинах равностороннего треугольника. Показать, что на частицу тз действует сила 2 2 7372 7п1 777' [тз и тз + тзтз] Г17 2 г, (7из -ь тз -ь тз) где гз — радиус-вектор частицы т1 в системе центра масс, Решение. Поскольку потенциальная энергия взаимодействия частиц С т17п2 С 7п1тз С гп27пз Г12 T13 ггз то,переходя в систему центра масс г, = К + г'„ получим уравнения движения дь7 т1 тз тзтз 71111 7 С 3 [12 11)+С 3 [ 3 11) аг', Г1З Учитывая, что расстояния между частицами а одинаковы и соотноше- ние 2,'7и,г', =- О, получим ..7 7П17П 7 тзг, =- — С, г,. а Возводя в квадрат обе части соотношения тг1 = тзг21 + тзг731, находим тзг712 =- [гизз + гизз + тзтз)аз.
Аналогичным образом можно показать, что равнодействующие сил, действующих на массы тз и гиз, пРохоДЯт чеРез ЦентР масс системы. Мы пРихоДим к вывоДУ, что каждая частица движения по коническому сечению, фокус которого находится в центре масс. Начальные скорости масс должны составлять один и тот же угол с прямой, соединяющей массы с центром масс, а величины начальных скоростей пропорциональны расстоянию до центра масс. 3.3.7. Трем одинаковым частицам, расположенным в вершинах равностороннего треугольника, сообщим одинаковые скорости, направленные от одной частицы к другой.
Определить наибольшее и наименьшее расстояния частиц от центра масс. Динамика систем многих частиц Региение. Согласно условию и результату, полученному в задаче 3.3.6, частицы движутся по коническим траекториям в одной плоскости. Положение частиц определяется функциями г, = гз = гз =- г, 7771 =.
7777 7772 .= 777 + 2я773, дз =- 777 + 4я773. Законы сохранения приводят к уравнениям — т(г + 7 777~) — С = Е, 77ГЗ 7. тг~ф = М. (2) Пусть в начальный момент времени сторона треугольника равна а, а начальная скорость ис = Ст/а. тогда е = — Ст2772а, м = = (1772) т Ста773. Исключая 7д из (1), получим уравнение 2 Полагая г = О, найдем границы движения по координате г: Гз 1 — — а( — т — ). — ."+С ° 2 тгт1 +С тз т12 б) Во вращающейся системе отсчета г'— вектор С не изменяет ориентации, 7пгтз т1 Гз— 7П12 радиус-вектор частицы, г ч7П1 т12 т1з Здесь, в отличие от (1), изменяется величина, но не ориентация вектора ~(1).
в) Произведем в (1) замену переменных (тз77тзз) б + гз = г12 и учтем,что д - - 7П17ПЗ Г12с =- — Г12с — г12ц7 Цззс =- — С з 3.3.8. Ограниченная задача трех тел. Частица массой тз движется в поле тяготения системы двух тел, массы которых т1 и тз. Предпола1ается, что частица не влияет на движение системы тел, т. е. с(с) = гз — г7 и радиус-вектор центра масс системы к(с) — известные функции времени.
Найти лагранжиан частицы тз. а) в инерциальной системе с началом в центре масс системы гпз и тз, б) в системе отсчета с началом в центре масс и вращающейся с угловой скоростью Й(1) вектора с(с): в) в системе отсчета с началом на теле т1. Решепие. а) Пусть гз — радиус-вектор частицы массой тз. Лагран- жиан [Гл. 3 150 Динамика системы частиц Искомый лагранжиан 2 Ь = — гпгг, — П[г,г, 1), [3) 1 гггб'1 тгтз С = — Стгтз( — з ) — С ~[ггг — б[ б' 1 гг 3.3.9. Записать лагранжиан тела, движущегося в поле, создаваемом системой Земля — Луна, и найти вклад Луны в ускорение свободного падения. Решение. Пусть тг, гпз массы Земли и Луны.
Тогда лагранжиан [3) задачи 3.3.8 является решением поставленной задачи. Уравнение движения имеет вид гвгтг б — ггг гпгг12 С з г12 Сгп2нгз ~ з [1) [б-"[' Предположим, что частица движется вблизи поверхности Земли в окрестности точки Р [рис. 3.3.9). Полагая г12 = а + г [г « а), получим после разложения правой части [1) в ряд Тейлора тгг' = тг [ис + Ьд), ио =- — С вЂ”, а, а Г а 3б [аб)1 дЪ' л8= — Ст [ —— [(з з ) — да здесь Ъ' — еприливныйз потенциал, Стз ~3[ба) а ~ 28 сз с2 В точках В, О, лежащих на прямой, перпендикулярной вектору с, величина УскоРениЯ свободного падениЯ Дв и дс+Стза41бз.
В точке А на стороне, обращенной к Луне, и в точке С на противоположной стороне Земли величина ускорения свободного падения одинакова: Р г Рис. 3.3.9 Динамики систем мноеит частиц 151 Ст>тз Огн>гнз С ™зтз )гз — г>) )г> — гз(З)) )гз — гз(З)) ' 3.3.11.
Две частицы движутся в поле тяготения неподвижного тела массой то, причем радиус-вектор К центра масс — известная функция времени. Предполагая, что расстояние между частицами )гз — г>) « Й, получить лагранжиан, определяющий эволюцию вектора г =- г> — г>. Решение. Произведем замену переменных г> —— К вЂ” гтз,>т, гз = = зк+ гт>,>т, где т = т> + гпз. Потенциальная энергия системы тот> >й > К -ь — г т Учитывая разложение в ряд Тейлора функции хК 1 /3(хК)~ 11з 2 >, 11з г 1 з)+ 1 > зх'(Вх) 5 (Вх)'1 2 >, 11з Я>,/ )К+ х) Л 5" » с до — 2Стза>>сз. Относительное изменение силы тяжести >11~>'йо — (тз,>т>) (а>>б)з = 5,7. 10 з.
Ничтожное различие в силе притяжения приводит к повышению уровня воды в точках А и С. В результате суточного вращения Земли вокруг своей оси двугорбая водяная поверхность перемещается. Это и есть приливы )57). Сила трения, действующая со стороны воды на земную поверхность, приводит к торможению вращения Земли. Угловая скорость вращения уменьшается продолжительность суток возрастает.
Приливное воздействие Луны приводит также к деформации Земли как упругого тела. Когда-то породы Луны были в расплавленном состоянии. Приливное трение замедляло вращение Луны, и теперь она обращена к Земле одной стороной. Угловая скорость вращения Земли превышает угловую скорость Луны на орбите. Поэтому из-за трения приливный выступ достигает максимума не в точке на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, а в точке, смещенной в направлении вращения Земли.
Бопее того, изза различия наклонов плоскости земного экватора (23') и плоскости орбиты Луны (5') к эклиптике, вращение Земли выносит приливный выступ из плоскости орбиты. Гравитационное взаимодействие Земли и Луны становится асимметричным относительно прямой, соединяющей их центры. В результате возникают моменты сил, действующих на оба тела. Кинетическая энергия вращения Земли переходит в тепло и полную энергию орбитального движения Луны -- расстояние между Луной и Землей возрастает. 3.3.10. Записать лагранжиан частиц масс т> и тз, взаимодействующих между собой и третьей частицей массы гпз, закон движения которой известен: гз = гз(1). Ответ. Ь = т>г>~>>2+ тзгз~>>2 — ГГ(г>, гз), [Гл.
3 Динамика системы частиц 152 получим лагранжиан Е (г, г, 1) = дгг,12 — У(г, 1), ( ) С тгтг С Нто [З(ВХ)~ г [ 11о г1г) , дто тг — тг [Зг (Кг) 2 [ 11~ 5(йх)г] Л(г г 1)= — + ['( где К = совоЛ ег + япоЛ ег, ог~ Сто/В~, ег г — постоянные орты инерциальной системы отсчета с началом в центре Земли.
Перейдем в систему от счета, вращающуюся с угловой скоростью ы = огез. Тогда лагранжиан задачи приобретает вид 1(г, г ) =- — (г + [агг)) + ( г — г ). Уравнения Лагранжа дг' = 2д [г са) + д [аг [г'агЦ + дог~(ЗВВ ~(Кг') — г'). Совмещая ось х' с вектором К (рис. 3.3.12), получим систему (опуская штрихи) [32[ х — 2агу — Зог х = О, 2 у+ 2огх = О, Е+ог с=О. г (1) (2) (3) Положение тел определяется векторами гг = (тг /т) г, гг = — (тг,1т) г. Пусть тг — масса космонавта, тг — масса спутника. Тогда гг О, гг г. Интегрируя систему (1) — (3) с начальными условиями г(0) =- О, г(0) =- (хо, уо, 0), получим х(1) = — — ' сов ог1+ — япш1+ — ' 2йо хо . 2г)о Ю ог ог 4йо .
2 хо дф = — ' юного+ — (совог8 — 1) — ЗиоЕ. 3.3.12. Центр масс системы космонавт — космический корабль движется по круговой орбите радиуса В. Записать лагранжиан движения относительно центра масс и решение уравнений движения. Решспис. С необходимой точностью лагранжиан, описывающий движение космонавта и корабля, имеет вид (см.
задачу 3.3.11) Динамика систем мноонт частиц Если ио -— — О, то г(1) описывает эллипс с полуосями ло /ац 2то/аг. Значениям до уг О соответствует незамкнутая траектория, перемещаюшаяся со средней скоростью — Зуо в направлении оси д'. Следует отметитгч что в системе отсчета, связанной с Землей, траектория космонавта— эллипс (см, задачу 1.6.7-1.6.8). 3.3.13. Две частицы движутся в поле тяготения тела массой то, причем вектор г =- гг — г1 -- известная функция времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
