Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 19
Текст из файла (страница 19)
г ея с (3) Очевидно, сохраняется кинетическая энергия относительного движе- ния Е = — р (Ол + тгВг + тг в!п д ~р~). 1 (4) Уравнение Лагранжа, соответствующее проекции (1) на орт ея имеет вид О'О ея р =ртг япд созда~+ ~ видар. М с После подстановки р из (3) в (5) получим соотношение (5) От О 1 ОС р = —, —, С(д) =-, [,У, + — совВ), и 2„,' ОО' .1 '11(, ' ° ) ' из которого следует первый интеграл (ртгд)г = С вЂ” С(д). (б) Постоянная С = Ог — (ед/с) определяется из равенства 1л = (?лт~В)~+ + (ртг яп д р)г + (ед/с)г, следующего из (2).
Наконец, подставляя р, О из (3), (6) в (4), получим уравнение (7) Комбинируя уравнения (3), (6), (7), можно разделить переменные и получить полное решение задачи найти траекторию и закон движения р-точки. Представляется весьма важной проблема возможно ли при значении С ) 0 движение типа орбитирования, приводящее к квази- связанному состоянию? Найдем решение уравнения (1) в сферических координатах в рамках лагранжева формализма. Компоненты вектор-потенциала магнитного поля А, = Аа =- О, А = я(1 — сов д))тат В.
Лагранжиан, соответствующий уравнению (2), 3.2] Рассеяние частиц 3.2. Рассеяние частиц 3.2.1. Частица массы тг =- Зтг., движущаяся со скоростью чм сталкивается с частицей массы тг, движущейся со скоростью чг = — ч,. Показать, что при лобовом столкновении ч' = О, чг = 2чг Указа»ше. Используя законы сохранения энергии и импульса, нахо- дим 2чг —— — Зчг + чг, 4иг — — Зи» + иг, Ф г гг Гг где ч', г скорость частиц после рассеяния. 3.2.2. При неупругом взаимодействии частицы с ядром полная энергия ядра изменяется. Найти наибольшую величину энергии, переданной ядру частицей.
Решение. Пусть до столкновения ядро покоилось, а частица обладала энергией Кп Согласно закону сохранения энергии г Рг ци, /хи 2 2 ч'и — » ч~" = пи, и =- ]ч'и] = ]чаи ], Ю где п -- единичный вектор, определяющий кинематику рассеяния. Скорости частиц до рассеяния !и тг 1и ч =п — — ч г = т т =и+ — ч ~и т» 1и г Согласно (1) скорости частиц после рассеяния тг ч =-п — — ип г ч = п+ — ип. ои» т1 т Импульсы частиц после рассеяния р"и — тгп — дип, рг ' = тгп+ дип.
ои» где ч' относительная скорость после столкновения. Полагая и' = = О, получим величину энергии возбуждения ядра ЬЕ =- ди~/2 =. = (р/тг) Км Ц т1 « тг, тг — масса ядра. В этом случае Ьс Кг — - происходит почти полная передача энергии.
Заметим, что при упругом ударе ядро получает ничтожную часть энергии частицы. 2) тг >) тг, гЗЕ (тг,1тг) Кг « Кп 3) т» = тг, г2Е = Кг /2. 3.2.3. Известны скорости частиц до столкновения и угол рассеяния в системе центра масс. Найти скорости и импульсы частиц после столкновения. Решение. Обозначим индексом »1п» ( «оп1») величины, относящиеся к частицам до (после) рассеяния, ч = чг — ч, -- относительная скорость, п — скорость центра масс.
В случае упругого рассеяния [Гл. 3 Динамика системы частиц 132 г Рг — — — чг+ пигп. рг — — пчг — пигп, аа» Учитывая (Ц, получим К = = — и (1 — сояВ) = — Кг яш —, 1 (Р1 ) й 2 4а .2В 2т1 т1 т 2' Кг =- — 2 Кг (тг+ 2тгтг соя В+ т21). 1 П12 В сферической системе координат с осью 2, параллельной вектору чг, из (1) следует Рг"1 соя 02 =- — 2 иг + рпг соя В, Рг я1п02 = диг я1пВ Очевидно, т1 сйп 0 130, = гй2 + 7п1 соя В (2) Аналогичным образом получим 21п В к В 130,=, 0,= — —— 1 — сояВ' 2 2 Из этих соотношений найдем тангенс угла разлета 012 = 01 + Вг.
10 +,0 1иВ„= с1итг — т1 2 Очевидно, при тг = тп1 В12 =- к/2. Разрешим (2) относительно соя 0: соя 0 = — 1" шпгдг + соя 02 1 — й~ яп202, ь = — . (3) т1 Из (3) следует, что при й > 1 одному и тому же углу рассеяния 02 соответствуют два угла рассеяния в системе центра масс. Кроме того, сУшествУет пРеДельный Угол РассеЯниЯ 02 (Я1пВгы = т1/тг), соответствующий углу В =. и/2+ 02 . При и ( 1 в (3) следует взять знак «+» перед радикалом.
Из соотношений (1) находим (Р1 рчг) = (Рвг) (Рг "1»чг) = (1»иг) . Таким образом, геометрическим местом концов векторов р "' и р'" является сфера радиусом диг. На рис. 3.2.4 изображен импульс р""' 3.2.4. Одна из частиц до столкновения покоилась. Найти кинетические энергии и углы рассеяния частиц в системе покоя мишени в виде функций угла рассеяния 0 в системе центра масс.
Решение. Предположим, что ч1 = О. Тогда из формул задачи 3.2.3 следует Рассеяние частиц 3.2] Рис. 3.2.4 при Ь ) 1. Отметим, что в общем случае векторы рама и рга' лежат в различных плоскостях: при фиксированном угле 0 угол между плос- КОСТЯМИ (Рг", Реги ) И (Рг", Р~1" ) ЗаВИСИт От ХаРаКтЕРа ВЗаИМОДЕЙСтВИЯ частиц. 3.2.5. Найти соотношение между углом рассеяния О в с. ц.
м. и углом рассеяния в системе отсчета, связанной с одной из рассеивающихся частиц. Решение. Пусть ч,'", ч,"' — скорости а-й частицы до и после рассея- ВС М й 1и.еа11 2 ЧЫ . М,1п аие .оа,оа1 относительные скорости частиц до и после столкновения, и'" = и'"1 =- и. В системе отсчета К1, связанной с частицей т1, аналогичное соотношение для угла рассеяния 021 частицы тг имеет вид сов 021 = = чггч21'/ч12, где ч21 =- чг — ч1, ч21 скорость частицы тг в системе К . Поскольку ч1" = ч1" + ч1", ч""1 = ч "' + ч"ае, то д = д 1.
2 1 21: 2 1 21 1 21. 3.2.6. Неупругое столкновение сопровождается рождением новых частиц с кинетической энергией Я. Найти скорость выделения энергии. Решение. Пусть дифференциальное сечение неупругого рассеяния частиц Ь на частицах а равно а. Вероятность неупругого взаимодействия (в течение интервала Ж) частиц, движущихся с относительной скоростью ч —.— ч, — чы а1И' = пьаи еИ, где пь — концентрация частиц сорта Ь.
Если с мишенью взаимодействует не одна, а Х, частиц, то число столкновений в элементе объема е1'ч' в течение времени М равно Ни =- аип„пе И а1ч'. Следовательно, удельная мощность реакпии = п,пе (и н(и)) Я. дЕ Символ () означает усреднение с функцией распределения по относительным скоростям ч. 3.2.7.
Показать, что динамические переменные е = (К1 + Кг) (Р1+ Рг) Ь = — 2т (Кг — Кг) + (р~ — рг)2 [Гл. 3 Динамика системы частиц инвариантны относительно преобразования Галилея. Найти значения э, 1 в системе центра масс. Ответ. э = рва/2, 1 = 4дэвэ э[пад/2 3.2.8. Найти соотношения между дифференциальными сечениями упругого рассеяния в лабораторной системе и системе центра масс. Решепие.
В начальном состоянии 1 имеем два пучка частиц, плотности которых и, и па, скорости частиц ч, и вм относительная скорость частиц в =- вз — мы энергия относительного движения Е = дв /2. 2 Для определения сечения рассеяния сталкивающихся частиц необходимо перейти в систему покоя одной из частиц, например, частицы с индексом «1». В этой системе скорость второй частицы вм = ча — в» = = в, плотность потока сталкивающихся частиц» = пэвм = пав. Рассмотрим определенный канал реакции рассеяние, который обозначим буквой Г. Пусть дИ';à — - дифференциальная вероятность того, что при столкновении частиц произойдут переходы 1 — > Г из начального состояния в конечное за интервал времени Т. Чтобы получить характеристику процесса взаимодействия частиц, не зависящую от плотности частип, объема и времени Т, нужно разделить вероятность рассеяния на плотность потока частиц.
Определенная таким образом величина ЫИ~,у п»вТ называется диЯх ранцы льным сечением рассеян л. Размерность Ьа — м . 2 Отметим, что направляющие косинусы вектора и в системе покоя одной из частиц и в с. ц. м. совпадают. Поэтому сечение можно представить в виде плотности дифференциального распределения сечения рассеяния частиц массы т«в элемент телесного угла дО = дсоз д дд в направлении вектора и: сЬ =- а(0, т) дО. Общее число переходов в обьеме Г в течение времени Т Ьи;1 = дИ', «и, У = вп1пз дп Ь"Т.
Следовательно, при переходах 1 -э 1 начального состояния в конечное состояние частицы эффективно взаимодействуют в пределах площадки да, расположенной перпендикулярно относительной скорости частиц. Упругое рассеяние. Предположим, что плотности пучков настолько малы, что можно пренебречь многократным рассеянием. В случае упругого рассеяния переход из состояния к ы в состояние ваа«определяется ветвями неоднозначной функции Ь(в), неявно зависисящей от потенциальной энергии взаимодействия частиц.
Еспи пренебречь квантовомеханическими эффектами, то дифференциальное сечение упругого рассеяния в с. ц. м. (1) можно представить в терминах якобиана 3.2] Рассеяние частиц перехода переменных Ь(В), Д вЂ” ~ В, ~р: сьг = Ь дь с1д = о(В, у) асов В с1гг, (2а) 1 д (ь'(в),,д) 2 д(сов В, р) (2б) Если потенциальная энергия взаимодействия частиц У(гм гг) =- ~()гг — г,(), то д =- у: 1 ~ дь'(в) ~ 2 дсоеВ ' ао(Е) — г и Рг а Рг б (Рг + Рг Рг Рг) х ир х б(Е, + Ег — Е,' — Е') сс(в), (3) содержащих дельта-функции Дирака, явно учитывающие закон сохранения энергии — импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
