Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому., начиная с этого момента, мы будем на всех координатах ставить индекс вверху. Вектор Ъ' связан со своими контравариантными компонентами Ъ'н соотношением '1Г = 1гнея, где 1гр = дв" 1г . Произведение ковариантной и контравариантной форм этого вектора Ъ'н$'„ = Ъ'з определяет скалярную величину — квадрат длины вектора (7, 39). Выбирая г1х в качестве независимых координат, получим лагранжиан частицы 2 Учитывая симметрию тензора д„и = д „, уравнения Лагранжа а, до можно представить в виде (5) [Гл. 2 Ураенения Лаграннса 108 Величины Г сь называются символами Кристоффеля. Вводя символ Г,ь = дн Г нм получим уравнение движения т ~ ц и + Г ~ ц г ц ь ]» Р (б) Символом цг'и ги д' (ар/ац") обозначены контравариантные компоненты градиента функции цг.
Интересно проследить, как уравнение (5) связано с уравнением тг —.- — — + 1ч' а 11 (7) аг для точек х„= 1'„(ц), принадлежащих поверхности. Подставляя г = =- цье» в (7), получим ае», п.ь~ д11 т[Ц еь+,' Ц'Ц ) = — — +»ч. ац* ) аг (8) Базисные векторы позволяют представить символы Кристоффеля в виде Г„гь =- ен(аеь/ацг) [40]. Умножая (8) на ен и учитывая соотношения аБ а» е„еь =- дна, — ен =, ела = О, аг ац» ' получим уравнение (5). Поскольку (ацн/ах„) (агн~дцг) = ан, то символы Г',"ь определяются следующим образом [4Ц: ац" а'*. а,„а,*а, Система (5) имеет первый интеграл 2 ац" которая носит название ковариантной производной [2]. Для ее обозначения используется точка с запятой. Ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Пусть и вектор, касательный Если цг(ц) =- О, то траекторию частицы называют геодезической линией в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхности, то она не является гпрямойгч а реальное движение частицы не будет прямолинейным равномерным.
Понятие геодезической связано с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в криволинейных координатах производная вектора аА" /дц не является тензором. Величина Г,"ь также не образует тензора. Тензором является конструкция 2.2] Уравнен л Л гран»ха в негавие мых координатах 109 к некоторой кривой д = д (1) на поверхности. Говорят, что вектор А" переносится параллельно вдоль этой кривой, если ОА" Ай и = „и +Г" Аи =О. Оо" ьв (9) В том случае, когда параллельно переносится сам касательный вектор и" =- г(д" ]И, то уравнение (9) совпадает с (6): и."„и =- О. 2.2.6.
Частица движется по сфере. Найти решение уравнений движения в отсутствие внешних сил. Решение. Метрика двумерной поверхности, образованной точками, лежащими на сфере радиуса а, есть «1в~ = а ((«]О) + е1п О (Ир) ], т. е. квв = аг, я е = ае е1п О. Не обращаются в нуль лишь следующие е 2 символы Кристо<]гфеля: Гв = — ао е1п О сое О, Г~~ = аг с16 О. Следовательно, уравнения движения имеют вид 2 — „~(а — „) — а ешО соеОЯ =- О., Частными решениями этой системы являются семейства линий О = Оос + Оо, |р = сопе1, О = я/2, р = ~Рос+ ро, г, = т (йг+ езьнсо].
2 Первые интегралы е »О=Ь ° 2 + 2»в 2 2 д (ти) ' = тйе~~во~ — » и+ ЬЬс = с., Й (2) где а, Ь, с — константы. Если Ь =- О, то частное решение системы (1), (2) и = со и = ив+ с1. которые представляют соответственно «меридианы» и «экватор» по отношению к выбранной в качестве «полюса» точке.
«Широтные окружности», на которых О имеет постоянные значения, не удовлетворяют уравнениям движения. Таким образом, большие круги на сфере являются геодезическими линиями. 2.2.7. Час гица движется по поверхности постоянной отрицательной кривизны с метрикой ям = 1, нш = ехр (2кд~), Ьг«з = яш = О. Найти решение уравнений движения.
Решение. Полагая д' =- и, до =- о, получим лагранжиан [Гл. 2 Ураененил Лагранжа 110 В случае Ь ф О исключим из (1), (2) и, и. В результате получим уравнение (с — ЬЬо)~ + Ьо =- а . (3) Интегрируя (3), (2), находим о = — [ — с+1[э(на1+ и)), 1 и = /с ~!п~ ~ — ~ с[г(йа1+ гг)) . В новых координатах х = Ь ~ ехр ( — йи), р = о траекторией частицы является окружность х + (й+ с,1ЬЬ) = (а/ЬЬ)~.
2.2.8. Частица движется по геодезической на двумерной поверхности. Компоненты метрического тензора не зависят от координаты д~. Доказать, что ковариантная компонента импульса рг постоянна. Решение. Поскольку р = т1), = тд ед, то уравнения Лагранжа можно представить в виде др 1 — — Г Рр =О. Полагая о = 1, получим 1р 1 .. 1 .ад,. !игор Р = — РР г = — О. Ж т ю" 2т Оег Следовательно, первый интеграл —. тя1ецд = сопз1. 2.2.9. Частица движется по поверхности, метрические свойства которой заданы тензором Ф ЬС„.д С.ед вр (г1)=.Ср + С „,г ~ 1-ЬС.,д д С д — постоянная 2 х 2 матрица, Ь вЂ” некоторая константа.
Найти решение уравнений движения. Решение. Афинная связность символы Кристоффеля равны Г',.„=- Ьдндгь. Учитывая интеграл энергии др диг) = оег, получим замечательно простое уравнение геодезических о +ь д"=о. При Ь ) О решение (1) е" =- ао соэш1+ ЬР зшш1, агэ — — Ьоеэ. Рассмотренное двумерное пространство может быть получено следующим образом. Пусть в плоском трехмерном пространстве (Ог, Оз, г) квадрат скорости частицы о~ = С„д"д + Ь ~йз. Можно вложить 2.2] Уравнен л Л гранхса в негавие мнх координатах 111 2-мерное пространство в трехмерное, ограничивая значение перемен- ных о, х поверхностью наг+ з (2) На этой поверхности лд (С„.в" 44")' 1 — йс.„о 4 Тогда из принимает вид из = др,г)"д~ ]4Ц.
Рассмотренная метри- ка форминвариантна относительно преобразований координат д" — л — л О'" =- Л" о", где Л вЂ” любая 2 х 2 матрица, подчиняющаяся соотно- шению с„,л" л = с, . В этом случае геометрия поверхности обладает симметрией: существует такое векторное поле р", что при смещении множества точек на рр М все метрические соотношения между точками множества останутся неизменными. Векторное поле с'" называется полем Киллинга. Найдем теперь уравнение, определяющее вектор С". Условие форминвариантности метрики имеет вид ]4Ц дв" до' д " д " ~~"(~ я о (4) При инфинитезимальном преобразовании я =о +е~ (д), е((1, условие (4) в первом порядке по е приобретает вид (5) дсв дб л дя,.
О= „.йрв+ „К..+1 Д о до или в более компактном виде (6) сн +Ел,г = О. Векторное поле Р" (д), удовлетворяющее уравнению (6), образует век- торы Киллинга метрики д„,(о). В нашем случае выберем преобразо- вание (5) в виде Его можно переписать через производные ковариантных компонент 4г — л гь( ь, д~' — 2~ Гл = О д д ' 9 Я [Гл. 2 Уравнения Лагранжа П2 Следовательно, векторы Киплинга с" = П"ай . 2.2.10. Пусть С" (д) — векторное поле Киллинга, и" — вектор, касательный к некоторой геодезической.
Показать, что скалярное произведение брин постоанно вдоль геодезической. Решение. Дифференцируя, находим — Сри" = Сю „и и" + С,„и"„и . Второе слагаемое равно нулю, поскольку ии — вектор, касательный к геодезической. Первое слагаемое а и а и и ир =- — (~ю„+ ~ ги)и ир = 0 2 а1(е1) + аг(вг) Ич) = 11(91) ' .12(аг) Найти решение уравнений движения. Решсяие.
Лагранжиан системы — (22+22)(91+92) 1 + 1 Очевидно, сохраняется полная энергия — (Л + Л) (11'+ 112 + = Е Умножая уравнение Лагранжа пг (12+ 12) 112 =- (% +Чг) + 2 1И 2 Йл1 (У1 -ь,12)' ае1 1 да1 Л -ь,12 ~"Я1 на (11 + Я 1[1 и учитывая (1), получим интеграл — Р + И )1,"' — 11 Гг + а = Ф, где б константа. Комбинируя (1) и (2), получим [(Л + 12)1[г) — 1гя+ аг =- — д. (2) в силу уравнения Киплинга. Следовательно, вдоль геодезической б„иа = сопе1.
2.2.11. Частица движется по поверхности с метрическим тензором дал(Ч) =- бар [Л(уг) + 6(дг)) В ПатЕНЦнаЛЬНОМ ПОЛЕ 2.2] Уравнен л Л гранаха в независимых координатах 113 Из (2), (3) следует решение задачи дш дяг — сопя1, ° Пг («). Ьдш ~ аду 2, ,'7 ",г7я .~,Гг,, ° /г Физически интересный случай разделения переменных соответствует потенциальной энергии взаимодействия частицы с двумя неподвижны- ми массами, закрепленными на расстоянии 2с: бттп. Сттг Л г':г' Л + гьг Введем на плоскости хр эллиптические координаты х =- с сЬ ог совая, у = сяЬогяйпвг. Тогдарг = сг сЬ ом1г = — с соягог,аг = — Ст(тг+ г + тг) с сЬ дм аг = — Ст (тг — тг) с соя цг.
2.2.12. Найти решение уравнений движения, порождаемых лагранжианом т .. 1 кх 1(х, х) =- — д „(х)х х„—— 2 1 — Лх Лх х К п(Х) = К и + 1 — Лх где Л, и — постоянные величины. Решение. Запишем первые интегралы М = т ]гг], т Г.г Л (гт)' 1 1 — [г + г] + 2 ( 1 — Лгг] 2 1 — Лгг в сферических координатах. Поскольку тгг я]п~В ~р = М„т~г~(0~+я]п~о ~р~) = Мг, (2) то из (1), (2) находим т гг М 1 Иг~ г+ г+ 2 1 — Лг 2тгг 2 1 — Лг следовательно, г =. — ]'Е+ — — — (й+ 2ЛЕ) г~~. лм и т " 2т 2тг 2 (3) Выберем начальные условия так, чтобы д(1) = к/2. Тогда решение уравнений (2), (3) следует из формул задачи 1.3.4 о движении гармо- нического осциллятора после замены Е э Е + ЛМг/2т, тогг -э Л + + 2Л Е.
Траектория представляет собой эллипс. [Гл. 2 Уравнения Лагранэка 114 1 = — т~в + — тя(й + 2вйу сову+1 ~р ) + тял1 сову. ° 2 1 ° 2 2 ° 2 2 2 Сохраняются обобщенный импульс д1, р =- —, =- (тя + тя) в + тяЬр соя ~р дв и полная энергия. 2.2.14. Частица движется в северном полушарии в поле тяжести Земли. Найти решение уравнений движения частицы. Решение. Расположим начало координат К' в точке О на широте В. Ось я' направим вертикально вверх, ось х' по меридиану к полюсу (рис. 2.2.14). Начальные условия г'(0) = О, т '(0) = (О, О, ео). Очевидно, уравнения движения имеют наиболее компактную форму в системе координат К, повернутой относительно исходной на угол и/2 — В: х' = х ейп В -~- х соя В, х' = — х соя В+ в я[п В. (1) В системе К угловая скорость вращения Зем- ли й =- (О, О, й), ускорение свободного падения и = (д соя В, О, — д гйп В). Лагранжиан, описываю- щий движение частицы Рис.
2.2.14 Ь =- — ~,м + (йг)] + тиг. Поскольку [йг] = ( — йу, йх, 0), то б =- — [(х — йу) + (у + йх) + х~] + тд (х соя  — х гйп В). Уравнения Лагранжа х — 2йу — й~х = д соя В, у+ 2йх — й~у =- О, х = — д в[и В. (2) (3) (4) О, ч(0) В новых координатах начальные условия г(0) =- ( — ео соя В, О, ео я[в В). 2.2.13. Математический маятник прикреплен к частице, находящейся на горизонтальной прямой. Найти функцию Лагранжа и интегралы движения.
Решение. Пусть ты тя массы частицы и маятника. Обобщенная координата в определяет положение тя на прямой, ~р угол отклонения нити маятника от вертикали. Направляя ось у вверх по вертикали, получим хя = в, уя = О, хя = 1 гйп ~р + в, уг = — 1 соя ~р. Лагранжиан системы 2.2] Уравнен л Л гранзгеа в незавие мых координатах 115 Решение уравнения (4) з = ( — д1~гг2+ ио1) гйпВ.
Вводя комплексную координату С = х + гр, получим уравнение, эквивалентное (2), (3); Е+ 2гйŠ— й Е = д соя В. (О) Решение (5) — комплексная функция — + (А + гВ1) е где А,  — постоянные. Из начальных условий В(0) = О, е = — ио соя В находим В = ио сояВ+гйС, С = г я сояВ А=С, Переходя к действительным переменным, получим х =- НеЕ, х =. С( — 1+сояй1+Й1 сояй1) — ио1 сояВ сояй1, (7) р =1ш(, 9 = С( — гйпй1+Й1 сояй1) + ио1 сояВ гйпй1. (8) Поскольку й « ио /д', то (7), (8) необходимо разложить в ряд Тейлора; х =- ( — — ио1) сояд, й = (- — + ио1 ) й сояВ. (9) Подставляя (7)-(9) в (1), получим решение в исходной системе коорди- нат гз гг х'Я = О, р'(1) =- ( — — +иоег) йсояВ, з'(1) = — — — + ио1.
(10) Найдем координаты точки приземления частицы. В момент времени 1 = Т, з'(Т) = О, у'(Т) .= 4йиоз сояВ,гЗдг — точка приземления смещается на запад. 2.2.15. Заряд движется в магнитном поле Земли. Найти границы движения в меридианальной плоскости. Решение. Направим полярную ось сферической системы координат вдоль вектора магнитного момента рь Компоненты вектор-потенциала А, = О, Ав = О, А, = рг г гйпВ. Составляющие магнитной индукции В = Зг(ггг)т Я вЂ” ггт з: В„= 2рт з сояВ, В = 1гт з гйпВ, В„= О. Поскольку угол о между векторами В и г определяется соотношением 18 о = ВвВ„г = 18 В/2, то уравнение силовой линии т г1В/г]т = 1и В,г2. Интегрируя это уравнение, находим т —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
