Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из (1) получим с~ = —, (гп+ М) (а+ 1 — аз+12). а Если 1 >) а, то В случае 1 « а с~ 4С1(т+ М)/п~. 3.1.3. Получить условия, при которых возможен переход к представлению о движении частицы т1 в поле тяжести, создаваемом частицей тз. Релиение. Пусть рм рьч Км Кз, и — импульсы, кинетические энергии и потенциальная энергия взаимодействия двух частиц в момент времени 1.
Поскольку импульс и полная энергия замкнутой системы сохраняются, то Рг+Рэ =Р|+Рз; к, +к,+и —. к, '+к,'+и'. (2) йкз = — — рзс1+, й(К1 + и) = — йкз. (3) 1 9 тг 2пге ' Если в процессе взаимодействия выполняются условия ~~к.! «!Е !.. 1Е11: Ег —— К|+и, Е' =К'+и', (4) то частица тз играет роль источника внешнего поля, в котором дви- жется другая частица, не влияя на «источник поляь. В такой постанов- ке сохраняется полная энергия, но не импульс частицы гп1.. / Р~ =-Р1+Ч~ Е, .= Е'.
Полученные законы выполняются приближенно. Если не учитывать это обстоятельство, то можно прийти к множеству парадоксов. Например, рассмотрим движение тела по вертикали вблизи поверхности Земли с начальной скоростью с1 = О. Из закона сохранения энергии (5) получим и О+т13Ь = ',"1 +тп|дЬ'., с~~~ = 23ЬЬ, 11Ь = Ь-Ь'.
Штрихом отмечены указанные величины в момент времени 1'. Обозна- чая с1 = Р', — р1 — — рз — р', — импульс, переданный частице гп,, найдем приращение кинетической энергии [Гл. 3 124 Динамика системы частиц Перейдем теперь в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью и =- Ч'2дЬ6 по направлению к поверхности Земли. Используя (5), получим абсурдный результат г ( + тг41Ь) — (О+ тг4,"гг') = Π— » ЬЬ =- О. (6) Однако все инерциальные системы равноправны в соответствии с принципом относительности Галилея.
Действительно, переходя к новой системе отсчета, движущейся со скоростью п, заменим в (1), (2) ч„— » — » ч„+ п, ч'„— » ч'„+ п. Уравнение (1) не изменится, а соотношение (2) примет вид — тг (и', + п) — — тг (чг+п)а+ г1г7 = — г1Кг — тг (чг — чг) и. (7) После использования закона сохранения импульса (7) приобретает форму (3).
Теперь становится ясна ошибка, допущенная в (6): дополнительное слагаемое в правой части (7) оказывается одного порядка с «основными» членами в левой части. 3.1.4. Энергия взаимодействия двух частиц с1(гг, гг) = (й/2) (гг— — гг)г. Найти гг(8), гг(8). Решение. Введем обозначения, которые будем использовать в этой главе: сумма масс и приведенная масса т = тг + тг, д = тгтг (тг+ + тг), радиус-вектор и вектор, соединяющий частицы тг и тг (рис. 3.1.4), Рис. 3.1.4 1 К = — (тггг + тггг), г = гг — гг. т Лагранжиан задачи г 1 .г ~ 2 1 (г~., гг, г~., гг) =- — тггг + — тггг — — (гг — гг) . Переходя к переменным гп гг — » К, г: тг Шг гг = К вЂ” — ' г, гг =- В+ — г., т т Задача двух твл 125 получим новый лагранжиан 1(гь г, К г) = — тК + — дг — — т ' 2 1 2 й 2 2 2 Уравнения Лагранжа тК = О, дг = — Йг имеют решения К(Х) .— К(0) + Й(0)г, й г(г) = а сов аа1+ Ь япаа1, аа = д (2) Подставляя (2) в (1), получим га(1), га(1).
Пусть га(0) = — — 1, та т га(0) = — '1, г~(0) = — — 'о~, г~(0) = — 'о~, причем 1оа = О, оа = шй В этом случае та Г оа г, (1) =- — — (! сов аа1+ — в!и аа1), га(8) =. — (1 совы!+ — яппи!). та у оа о а 2 д — =- —., и =. ~оа — о,~, а а следовательно, первая космическая скорость о~ = — = яа(1+ — ), о = тра . да (, М!' Используя закон сохранения полной энергии доа/2 — о/а = О, найдем вторую космическую скорость оп = тУ2 оь Частицы движутся по окружностям радиусов (та/т) ! и (та,1т) ! со скоростями (тг,1т) оа и (та/т) оа вокруг центра масс, оставаясь на расстоянии Ь 3.1.5. Система двух тел состоит из однородного шара и точечной частицы. Найти первую и вторую космическую скорости.
Решение. Обе скорости являются относительными скоростями одного тела относительно другого. Поэтому, переходя в с. ц. м., получим уравнение дг = — аг/г~. При относительном движении с наименьшей скоростью центр шара массой М, радиусом а и частица массой т движутся по окружностям радиусов (т/т + М) а и (М~т + М) а вокруг центра масс. Из уравнения движения находим [Гл. 3 126 Динамика системы частиц 3.1.6. Найти лагранжиан двух тел во вращающейся системе отсчета.
Решение. Б системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью й(1), лагранжиан 1 2 1 2 О 1 =- —, 7И1 (Г1 + [ЙГ1]) + гн2 (12 + [ЙГ2]) + 2 2 [Г2 — 1'1] Производя замену переменных г1., г2 — 1 В... г, получим А = — т (К+ [ЙК]) + — д (г+ [йг]) Уравнения Лагранжа Й = — 2 [ЙК] — [й [йВ]], дг = — 2д [йг] — д [й [йг]] — —. с 3.1.7. Два заряда движутся в однородных постоянных электрическом и магнитном полях. Найти функцию Лагранжа.
Решение. Произведем в лагранжиане ° 2 1 ° 2 е1е2 А =. — тп1г, + — тгг2— + е1Ег1 + е2Ег2+ 2 2 ]га — г1] + — ' [Вг1] г1 + — ' [Вгз), г2 2с 2с замену г1, г2 — ~ К, г. В результате получим — В +(е +е )ЕВ+ ~ [ВН]В+ 2с + — дг — + (е1т2+ езт1) [гг] В+ 1 .2 е1е2 1 2 2 2т с 1 / 1 .. 1 + — (езт1 — е1т2) [ Ег + — [Вг] В + — [гК] В) . т 2с ' 2с Для позитрония (е1 = — е2 = е., т1 = т2 .— М) лагранжиан упроща- ется: 1 = МК + — Мг + — — еЕг — — [Кг]  — — [гК] В.
'2 1 2 е . е 4 1" 2с ' 2с 3.1.8. Два разноименных заряда движутся в постоянном однородном магнитном поле. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов П(г1, г2) = к (г2 — г1) /2. Найти решение уравнений движения. Задача двух тел 127 Ь = —, тК + — дг — — йг — (тл — та) [гг] В— '2 1 2 1 2 2 2 2 2тс — — ([Вх] В+ [гВ4]В). Уравнения Лагранжа имеют вид тЁ = — — [гВ], е с е е дг = — йг — — (тл — та) [гВ] — — [КВ]. тс с (2) Из (1) следует первый интеграл тК+ — [гВ] = Р. (3) Исключая К из (2), получим уравнение рг' — — йг — — (тл — тв) [гВ] — [В[гВЦ вЂ” — [РВ].
(4) тс тс тс Из (4) находим еще один интеграл ° 2 2 2 — + —,+ г [гВ] + — [РВ]г= Е. дг йг е а е 2 2 2тс тс Выберем систему координат с осью с, параллельной вектору В. Пред- варительно исключим последнее слагаемое в (4) с помощью замены г — ~ г: е [РВ] 1 г=(— 2 дтс (ало -ь Йлйг) г 1л еВ ыо =-, Йа =- и т„с Подставляя (5) в (4), находим ~, + (ало + Йлйо) ~л + (Йо — йл) ~а = О., са + (ыо + Йлйа) с2 — (Й2 — Йл) сл = О., Б+ыов = О.
(6) (7) (8) Решеяие. Пусть ел — — е, ез = — е. Используя результаты задачи 3.1.7, получим [Гл. 3 Динамика системы частиц 128 Ищем решение системы (6), (7) в виде С„= Вен„'211 ( — Л + ы11+ йгйг) иг — г (йг — й1) Лиг = О, г (йг — йг) Лиг + ( — Лг+ огог + йгйг) иг — — О. Корни характеристического уравнения Лг, = — 2о1о + й, + йг + (йг — йг) 4о1о + (й1 + йг) 2 Извлекая корень, получим '12,1 — [ 41'1о + (й1 + й2) с (йг й1)1 ° 1 (9) Общее решение системы (6), (7) ~1 = А1 соз (Л11+ с«1) — Аг ' гйп (Л21+ сгг), (10) 110 + й1й2 '12 Лг (йг — Йг) 2 г 42 —. — А1 ' вгп(Л11+ ог) + Аг сов(Л21+ ог), (11) о1о .с йгйг — Л1 1( 2 1) 2 = Аз соз (ого1+ сгз).
(12) Ео Е(п) = — — — '., + йгао(п, — по); по 2Ео Пего = з по Второе слагаемое характерно для спектра изотропного осциллятора. Поскольку размеры атома — 5,3 10 о см, то при п = 500 радиус атома достигает сотой доли миллиметра. Последние эксперименты с «магнитными атомами» обнаружили новые интересные явления [47]. Однако в настоящее время теоретическое описание поведения атомов в магнитных погшх остается далеко не полным. Основная причина в том, что из-за различия симметрий взаимодействия зарядов между собой и с магнитным полем переменные не разделяются.
При ого » йг, йг » й1 влияние магнитного поля проявляется в смещении частоты колебаний электрона. Из (9) находим Лг 1 = о1о 1+ — [ — ) ~ + — (йг — йг). 8 [,»1о) ~ 2 Заметим, что система (6), (7) сводится к одному уравнению для функции С1 — гбг. Если тг >) гпг, то рассмотренная выше модель соответствует взаимодействию ридберговских атомов с магнитным полем и образует так называемый «магнитный атом» [46[. Как известно, энергетический спектр атома водорода описывается формулой Е(п) = — Ео(п', где Ео = 13,6 эВ. В ридберговских атомах и = по )> 1. Разлагая Е(п) в ряд, получим Задача двух тел 129 В обратном случае аге « Йг влияние магнитного поля становигся определяющим; г г ыо его Лг - Йг + †., Лг - Йг +— Йг Йг Решение (10), (11) Аг сов(йг1+ ог) + Аг гйп (Йг1+ ог), 4г — Аг ейп (Йг1+ ог) + Аг сов (Йг1+ ог) отражает существование новой симметрии в поведении атома.
3.1.9. Два разноименных заряда, энергия взаимодействия которых У(гы гг) .= 1с (гг — г~)г/2, движутся в электромагнитном поле, задаваемом 4-потенциалом Ао = — г (х + у — 2е ), А = — ( — у, .х, О). Г г г г В 2а 2 Найти лагранжиан системы. Решение. Пусть ег —— е, ег = — е. Перейдем к переменным г = гг — гг и радиусу-вектору центра масс. В этих переменных т г 1 .г 1 г еВ В = — В + — мг — — Ы вЂ” — (Я у+хй — Л х — уй )+ 2 2 2 2с еВ еВ тг — тг ~- —, (В х + В ау — 2Яг е) —— (ху - ху)+ а в' 2с т ей тг тг г+ г + —, (х +у — 2е ). 2а т 3.1.10. Движение системы заряд-монополь Дирака. Заряд е массы тг взаимодействует с чмагнитным» зарядом д массы тг.
Найти решение уравнений движения. Решение. Пусть гг -- радиус-вектор монополя, гг -- радиус-вектор заряда. Нап)гяженноеть магнитного поля, создаваемого монополем, В(г) = дг(г', г = гг — гь В с. ц. м. уравнение движения дг = — — (гВ(г)), где д — приведенная масса. Отметим, что сохраняется вектор (см. задачу 1.4.21) Д .= д (гг,~ — — —. еа г (2) с г Образуя скалярное произведение с вектром г, получим уравнение тра- ектории Дг~г — — ед,1с. [Гль 3 Динамика системы частиц 1,=-тр(т +т д +т яп Оаг )+ — (1 — соэд)р. 2 с Отметим, что слагаемое, равное полной производной, может быть опущено. Тогда обобщенную потенциальную энергию взаимодействия Ц„л = — (ед/с) чА можно пРедставить в виде Ц„, = (еп/с) йг/т, где Й вЂ” угловая скорость сферического репера, й =- ~р совВе, — р япВ ее+ Ве, . Поскольку р циклическая координата, то сохраняется проекция момента обобщенного импульса дЛ/др, или l, = М, — (ей сов О/с), ,7, = дт вп Ор — — совд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
