Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В области Ь < а фаза б(Ь) — а/Л + + (и /2) (Ь/ Л) +... Поскольку здесь сйп~ б быстро осциллирует, то, заменяя сйп б средним значением, получим из (2) ас = 2паэ. Расходимость 2 сечения (1) связана с нарушением применимости классической механики в области больших значений 6. Действительно, угол рассеяния при больших значениях Ь равен О ]21р]/р.
Приращение импульса можно оценить, используя закон сохранения полной энергии: рЬр ]В(Ь)] т т р следовательно, д, - (т/р~) ]У(6)]. С другой стороны, соотношение неопределенностей позволяет сделать вывод, что всегда существует [Гл. 3 142 Динамика аистами частиц неустранимый разброс импульсов 4.'ьр, связанный с неопределенностью прицельного параметра: [21р,[4.ЬЬ > 44. Явление квантовомеханической дифракции приводит к рассеянию на угол [41р„,[ > Ь Ь В-= > ЛЬ» — Ь Р Р Р Для применимости классической механики необходимо, чтобы В, « « В: [(1(Ь)[ » гьи/Ь. Для потенциалов 11 с4/г", убывающих быстрее, чем кулоновский, это неравенство нарушается при значении Ь Ье = (о/гьи)!да 21, для которого В, - В .
Для кулоновского взаимодействия рассеяние будет классическим при условии с ез/йи » 1. Здесь следует отметить, что в квантовой механике сечение рассеяния одинаковых частиц [54] е 12~ 1 1 2 ~ 4 + 4 2де / [е!и (В/2) сое (В/2) 1 е 2 В~[ сов — [п1к — до е!и (В/2) сое (В/2) Ьи 2~ отличается от формулы Резерфорда. Причина этого в том, что классическая механика принципиально не в состоянии описывать поведение систем тождественных частиц. Только в квантовой механике разработан математический аппарат для анализа систем одинаковых частиц-- бозонов (частиц с целым спинам) и фермионов (частиц с полуцелым спинам).
Тождественность частиц проявляется в несиловом, так называемом обменном взаимодействии. Например, согласно теории вероятность обнаружить два фермиона с одинаковыми значениями проекций спина на расстоянии г = [гз — г! [ уменьшается до нуля при т — 4 О. Рассмотрим, например, фермионы — ядра 2 Не и бозоны — ядра 4 Не. Поскольку заряды ядер одинаковы, то в классической тео[зии сечения упругогорассеяния процессов Не+ Не, Не+ Не, Не+ Недолжны слегка отличаться из-за различия в массах ядер.
Однако установлено, что при столкновении двух пучков ядер 4Не вероятность рассеяния на угол 90' в четыре раза больше, чем при столкновении ядер 2Не и 4Не. В другом эксперименте вероятность рассеяния на 90' при столкновении пучков ядер Не согласно теории оказалась равной нулю. 3.3. Динамика систем многих частиц 3.3.1.
Сила, действующая на частицу массы т, со стороны частицы массы ть, Р,ь = — йт,ть (г, — гь). Найти решение уравнений движения системы, состоящей из 4У частиц. Решение. Уравнение движения частицы массы т, т,г' = — й гп,ть (г — гь). ь Динамика систем мнооит частиц Пусть К вЂ” радиус-вектор системы частиц. Тогда из (1) находим К = О, 16(6) = 1ь(0) + 16(0)с. Произведем далее замену переменных г э г'. г = К+ г'„. Из (1) получим т,т' = — Ит,т' тЬ+ ата тото — -- — 1от„тт', ь ь где т масса системы, следовательно, г', + йтг' =- О. Решение каждого из этих уравнений г"а = С, соэыь+1Эа гйпы1, ш =- э'кт,, где С„П, постоянные векторы, удовлетворяющие условиям т,П, =О.
тС =О., Общее решение системы г (6) = В(0) +В.(0)8+ С, соэса1+ В, эшыь содержит 6% произвольных постоянных. 3.3.2. Записать лагранжиан системы 1ч' + 1 тел в системе отсчета с началом координат на частице массы то. Решение. Положение частиц будем определять векторами г (а = = О, 1, ...., М). Введем обозначение г,ь = гь — г .
Масса системы т = =- то+т1+... Произведем замену переменных го, гы... -э В., гоп..., где Л радиус-вектор центра масс системы. Введем далее вектор го, соединяющий центр масс с частицей то. Тогда г .= В + го + го,. ПосколькУ 2 т, (г' +гон) =- О, то г,', = — т 1 2 т гоа. КинетическаЯ энергия К = ~ т11 + 2 т~(та+го ) = 2 тВ 2""'о + а + 2 татаа = 2 тК 2 ( тато ) + — татаа 2т (, Потенциальная энергия взаимодействия частиц т ть С т ть г ь ~гоь -- гоа~ а>6 а>6 Запишем 3(М+ Ц уравнений Лагранжа; В. =- О, т, дУ тсгоа таГоа с = 1 т дго, ' а [Гл.
3 Динамика системы частиц Из (1) следует соотношение 7по - ди т,гоа =-— дго а а учитывая которое представим (Ц в виде ди т, ди т.гос =— дзо то дго а (2) Если то» т„то второй член в (2) играет роль возмущения. Запишем уравнения (2) в явном виде. Найдем вначале соотношения при с ф О: го« го — го =- Стпот с 3 тат. 3, (3) го афо )гоа го 7О 37 ди го, = Сто т,— дго го.
3.=.1 с=1 Учитывая (3), выделим в правой части (2) слагаемые с номером а = с. В результате получим уравнение го го — го го З т,го, = — Сгпс (7по + т,) —.' + Ст, т 'о. ~го — го ~ го аФо 3.3.3. Записать лагранжиан трех частиц масс т1, тз, тз в системе координат с началом на частице т1. Найти уравнения движения.
Ответ. В переменных В.7 г12, г13 (рис. 3.3.3) Нз 1 тзтм 2 1 тзт12 2 'тзтз . Ь= — тК+ — г +— 2 2 т 12 2 т 13 т г — гззгш — и, т1тз, т,тз, тзтз Г12 Г13 ~Г12 Г13~ где тсь = тз + ть, т = т1 + та+ тз. Уравнения движения К = О, ди ., аи аи го — гос 7713 771 с з д )гоа го а 7П1 2 тзг12 =— т1 7П1 3 тзгзз =— 7П1 дг12 т1 дг13 ' ди тз ди дг13 7П1 дг12 14ос Динамика систем многих частиц Рис. З.З.З 3.3.4. Движение космического аппарата в иеииерциальиых системах, связанных с Землей и Солнцем.
Пусть КА массы тз движется в гравитационном поле, создаваемом Солнцем н Землей масс т, = т1 и т., = тз. Получить уравнения движения в системе отсчета, с началом на Солнце, исходя нз второго закона Ньютона. Решение. Поставлена проблема, решение которой найдено в задаче 3.3.3. В инерциальной системе отсчета радиус-векторы Солнца, КА и Земли равны соответственно г1, гз, гз. Согласно второму закону Ньютона уравнение движения КА т,аз = Г'12+ $'32 где г'12, г'32 — силы, действующие на тело со стороны Солнца и Земли: и'12 = — Ст1тз —,", Гзз = — Стзтз —",, (2) T12 1 32 Г1 + Г12 =- Гз ГЗ + Г32 =- Г2~ Г1 + Г13 =- ГЗ. В нашем случае Ст, = 3,986.
103 кмз !с, Сто = 1,327 1011 кмз/с~. Наша задача — получить уравнение движения тела в системе отсчета, связанной с Солнцем. Перейдем в (1) к новым переменным г1, гз, 13 г К~ г12, Г1з. С этой целью введем вектор Г01, соединяющий центр масс всей системы — точку О с центром Солнца (рис.
3.3.4), г1 = хь+ гш, гз =- хь+ Г01 + Г12) ГЗ =- Н + Г01 + Г11 ° (3) Следовательно,аз = а1п + аш, где а12 ускорение КА относительно Солнца. Подставляя аз в (1),получим уравнение движения тела в системе координат сначалом в центре Солнца: (4) н12а12 — к 12 + к 32 гп2а01 ° [Гш 3 Динамика системы частиц В правой части (4) появилось слагаемое Г „=- — тзао3 — сила инерции в системе отсчета, связанной с Солнцем. Наша задача получить зависимость силы инерции от координат. Поскольку »аз т,г, + тзгз + тзгз = тК, «и = т; + тз+ тз, то после поДстановки из (3) гы гз, гз полУчим гпг03 = — (тзг13 + тзг«2).
Рис. 3.3.4 Дифференцируя это равенство, найдем соотношение между ускорени- ями тао» =- — (тзазз + тзагз) (5) Ускорение Земли относительно Солнца а«3 можно исключить, испыьзуя уравнение движения Земли относительно Солнца, аналогичное (4) (6) тза»з =- Р~з + Гзз — тзаоы гш г'33 = — Стзтз Г13 Вычисляя сумму правой и левой частей (4) и (6), получим соотношение тзагз + тза»з =- ~ гз + Рзз — тзао3 + Рзз + Рзз — тзаоз Учитывая (5), находим 1 аоз = — — (и 32 + г 33). т« Подставляя аш в (4), получим окончательно уравнение движения в ге- лиоцентрической системе отсчета т21 тз гп2г12 = (1+ )г12+с32+ г13 ° т») т» (8) Заменяя индексы «2», «3», получим явный вид уравнения (6) п»з 1 тз тЗг13 =- (1 + — )к«3 + с 23 + — с 12.
т« пи (9) Эта процедура демонстрирует преимущества используемых обозначений, адекватно отражающих симметрию системы. Для того чтобы перейти к системе уравнений в системе отсчета с началом в центре Земли, достаточно в (8) заменить индекс «1» индексом «3», а в (9) индекс «1» индексом «3», индекс «3» индексом «2». Дннимнна систем мназнт частиц 147 3.3.5. Записать лагранжиан задачи трех тел в переменных Якоби [55, 56[. Решение.
Введем следующие обозначения: г,з =- гз — г„т„з —.— т + + тз, т =- пзз + гпз+ тз и переменные Якоби К, г, гш соотношениями шз гпз гз =. зь — — г — гзз, из иззз ге=В+ ' г, тм т тия тз гз = К вЂ” — г+ гзз. из тзз изз Рис. 3.3.5 1 =- — изб + — дг + — дззгзз — Иг, гзз), 'з 1 1 1 1 1 1 — = — + — = — + —, и тз тзз ' дзз тз изз ' тз гпз гзз пззтз изз г -> гзз пззз тз г — гзз тзз Сохраняются момент импульса и полная энергия относительного движения М =- д [гг) + дзз [гззгзз) Š—..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
