Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Афелий эллиптической орбиты тела находится за Солнцем на расстоянии 21 млн км от орбиты Земли. 3.3.18. Третья космическая скорость. Найти наименьшее значение скорости аппарата относительно Земли, необходимое для того, чтобы аппарат покинул Солнечную систему. Рсшс~ис. Обозначим чс» — скорость тела 1 относительно тела 1ч Очевидно, чсь = ис„+ ч„ы Рассмотрим вначале движение аппарата ог места старта на поверхносги Земли до пересечения со сферой действия Земли эзс. Из закона сохранения полной энергии получим [Гл. 3 Динамика системы частиц 158 Поскольку епс = Стс~гпс, то иас = ипсч'2. Планетоцентрическая скорость входа и, = пас — чпс Отсюда находим и~ =.
(3 — 2ч'2 соэ0) ийс. Угол О между скоростями аппарата и планеты найдем из соотношения гпсиас — — гзсизс и закона со- 2 2 хранения момента импульса гпсидс соэ 0 =- = гзсидс. В результате получим и~„= (3— — 2 2гзсйпс) пйс. 3.3.20. Найти скорость, которую необходимо сообщить космическому аппарату для того, чтобы он упал на Солнце. Решение. Используя обозначения задачи 3.3.18, находим Рис.
3.3.19 "аз =- паз+ 28113(1 — — ') = паз+ 28йз. 2 2 / ~~3 1 2 аэс Поскольку при выходе из сферы действия Земли скорость аппарата относительно Солнца должна быть равна нулю, то цдз = — чэс. Искомая скорость члз = пзас + 28Вз =- 31, 816 кмис. паз = 4пзэс+ 28В паз = 60,61 км!с. 3.3.22. Перелет на Марс. Оценить скорость идз, которую необходимо сообщить КА относительно Земли для перелета на Марс по траектории, касающейся орбит Земли и Марса [60[. Решение. При подлете к границе сферы действия Земли КА приобретает скорость паз.
Из закона сохранения полной энергии имеем уравнение 2 и~аз — — и~~э + 2дй(1 — — ) — иа~з + 2ЯВ. (1) азс За пределами сферы действия Земли КА движется в поле тяготения Солнца. Переходя в гелиоцентрическую систему отсчета, учтем соот- ношение между скоростями час .= цаз + чзс. Эту скорость иногда называют четвертой космической скоростью [25[. Падение можно рассматривать как полет по вырожденному эллипсу с большой осью 2а = гзс. Время падения т = я аэ/СМ, = Та(4 ~2 (Та — период обращения Земли) оказывается равным 65 сут. 3.3.21. 11айти начальную скорость, которую необходимо сообщить КА, чтобы он двигался по орбите Земли в направлении, противоположном движению Земли.
Решепие. В этом случае час = — чзс. Поскольку час = паз + чзс, то цдз = — 2чзс. Из уравнения (1) в решении задачи 3.3.18 находим Динамика систем мноеит частиц 159 Для оценок предположим, что орбиты Марса и Земли находятся в плоскости эклиптики (рис. 3.3.22). Расстояния от Солнца до перигея и афелия равны соответственно Лр .— -206,7 млнкм, Л = 249,2 млнкм. Длина большой повуоси, по которой движется КА, 2а =- бр + гзс. Полная энергия КА в гелиоцентрической системе 2 тнАС 2а 2 гас' о = Стте. Рис.
3.3.22 НАС =. — ~ — †), НАС вЂ” НЗС Ьр -р гзс Начальная гелиоцентрическая скорость выхода на орбиту перелета нАс = 32,083 км/с, геоцентрическая скорость выхода паз = 2,298 км/с. ПосколькУ иАз = сАс — нзс, то ОАЗ НЗС ~ / 21р — 1) + 28Л, нАз = 11,422 км/с. ьр Ч- гзс Гелиоцентрическую скорость входа в сферу действия Марса можно найти из закона сохранения момента импульса нам .=- вас —, нам =- 23,23 км!с.
гэс 1 Поскольку гелиопентрическая скорость Марса нмс = 26,48 км/с, Марс догоняет КА. Планетоцентрическая скорость входа еАм =. 3,25 км/с. На границе сферы действия Марса относительно Солнца Здесь гас - расстояние от Солнца до КА в момент старта. Из этого уравнения находим [Гл. 3 Динамика системы частиц 160 г 1 г Стт.
вх — 2 Я тЬ о =тощ из которых находим ( оп ) 2Ств Максимальная величина прицельного параметра, при которой КА может достичь планеты, называется эффективным радиусом планеты. 3.3.24. Облет планеты как способ увеличения гелиоцентрической скорости (60, 136(. Поля тяготения массивных планет Юпитера и Сатурна можно использовать для разгона аппарата при полете к удаленным планетам или для отбрасывания к центру Солнечной системы.
Внешняя по отношению к Земле планета догоняет аппарат, движущийся по эллиптической траектории перелета. Траектория аппарата внутри сферы действия любой планеты всегда является гиперболой. Эта ситуация в терминах задачи двух тел соответствует рассеянию частиц. Найти приращение скорости аппарата при облете планеты.
Решение. Пусть величина скорости аппарата г с меньше значения скорости планеты овс. В системе отсчета, связанной с планетой, скорость аппарата на границе сферы действия мы = тс,„ =- тс — ч„,. После облета планеты скорость аппарата на границе сферы действия чва' = ч'„= к' — чгвс. Угол рассеяния — угол 0 между векторами и'в и тввс определяется соотношением 18(0/2) = сс/(тогЬ), г = ьм = оввс., приведенным в задаче 3.2.11, сс .= Отткн Ь -- прицельный параметр. Аппарат после облета получает приращение скорости гбач „.= тсввс— |в ~ас ~ ас. Производя коррекцию прицельного параметра, можно изменить направление скорости агсвс в пределах 0 < 0 ( 0 „. При достаточно малом значении прицельного параметра можно было бы изменить направление скорости почти на противоположное.
Однако наименьшее (о = 0,577 млн км) параболическая скорость иц = (2Стм/о)'~г = =. 0.,3845 км~'с. Поэтому траектория КА внутри сферы действия Марса гипербола. Время перелета т = а[гас То)2., где То = 1 год, займет около т = =- 258,9 сут. Момент старта должен быть выбран так, чтобы траектории Марса и КА пересекались одновременно. Рассмотренная орбита перелета., касающаяся орбиты планеты-цели., называется полуэллиптической или гомановской по имени немецкого ученого В. Гомана. 3.3.23. Найти значение прицельного параметра Ь, при котором КА проходит по траектории, прилегающей к поверхности планеты.
Решские. Пусть гв — планетоцентрическая скорость КА внутри сферы действия планеты, о — скорость КА в точке симметрии траектории, расположенной на минимальном расстоянии Й от планеты. Из законов сохранения полной энергии и момента импульса получим два уравнения 3.3] Динамика систем многих частиц Л-~ й Рис. 3.3.24 значение Ь =- Ь„,ы должно соответствовать траектории., касающейся точки., находящейся на пересечении оси симметрии траектории и границы атмосферы планеты на расстоянии гр равном приблизительно радиусу планеты й.
На рис. 3.3.24 изображен облет внешней планеты, когда планета догоняет аппарат. Из законов сохранения полной энергии и момента импульса имеем систему з 1 2 — ти +О = — ти„— т6;„и = тгеи.. Исключая ир находим 6;а = ге 1+2( — ) где и~ = Ст„(1». Следовательно., д, 1 и 1я х =- 2 хъ'2+хе ' и~ Величина приращения скорости д „„ х евши =2и ып =2и| 2 1-ьх достигает максимального значения (е1и)„, = и~ при и = иб д = к/3. На границе сферы действия величина гелиоцентрической скорости выхода аппарата может существенно превысить значение и'".
Двигаясь по новой траектории, аппарат может достичь следующей планеты. Например, при полете американской станции «Пионер-11» к Сатурну был использован гравитационный удар в поле тяготения Юпитера. «Вояджер-2» разгоняли по очереди Юпитер, Сатурн и Уран. Полет [Гл. 3 Динамика системы частиц 162 к Урану по гомановской траектории продолжался бы 16 лет, а к Нептуну — 30 лет.
Подходящая для разгона аппарата конфигурация внешних планет ожидается в 2155 г. 3.3.25. Получить уравнение состояния неидеального газа на основе теоремы вириала Клаузиуса [52, 61[. Решение. Согласно теореме вириала сил для частиц, находящихся в ограниченном объеме, — т,и = — — г, (г', + г"; ) В состоянии теплового равновесия левая часть — таит =- — ИнТМ. а=-1 (2) Правая часть (1) включает силы взаимодействия между частицами Е и силы Г'»ь, действующие на частицы со стороны стенок сосуда. Вклад последних можно представить в виде Е~ьг,) = — р~ ге[в = — р ~сь"г' с[наг = — Зр1».
(3) а Если межмолекулярные силы обусловлены потенциальной энергией взаимодействия, то из (1) — (3) следует уравнение состояния М[СНТ ( Га37аГЬ) а Вводя обозначения гь = г, — гь, преобразуем правую часть: г гаь б т гпь ьа а ~ тать 3 — 2 3 а,6 г ать [ГагаЬ + Гьгьа) Г 2 т ть г ь Пренебрегая взаимодействием молекул, получим уравнение состояния идеального газа. 3.3.26. Используя теорему вириала сил, найти среднюю кинетическую энергию системы частиц, связанных силами тяготения.
Решение. Согласно теореме вириала сил 2.4] Движение тели переменной массы где П вЂ” потенциальная энергия взаимодействия частиц системы. Из (1] следует ]К] =- — (Ц/2. Предположим, что частицы общей массы М движутся в области, представляющей сферу радиуса и. Пусть р плотность системы. Энергия взаимодействия шара радиуса т < а и элементарной массы сЬи, расположенной на поверхности этого шара, , (4ктлр) р~й'' Следовательно, собственная гравитационная энергия шара радиуса а а 2 П = — —, Ср' ~' г йг 4О = --' 41 114 3 5 а о В этом случае средняя кинетическая энергия частиц системы ]К] = =- ЗСМ2/10а. 3.3.27.
Обобщить теорему вириала сил для частиц., движущихся в магнитном поле. Решение. Умножим обе части уравнения движения тг = Е + — ]гВ;', с скалярно на г и, учитывая, что Н . .2 1 Ы г .2 гг= — 1т — г = — 2 — г. йс 2 и21 найдем тйг .2 е 2 2 — — тг = гЕ+ — В [гг]. 2 ПГ2 с Если система зарядов движется в ограниченной области пространства, то после усреднения получим где К вЂ” кинетическая энергия системы, М = т ]гг] — момент импульса частицы. 3.4. Движение тела переменной массы 3.4.1. Получить уравнение движения тела переменной массы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
