Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Действительно, в с. п,м. Рг + рг = О, рг = Рг = Р Ег + Ег = Е Е', + Ег — — Р'г/2д. ПеРваЯ б-фУнкциЯ УстРанЯетсЯ интегРиРованием по сг~дм диффеРенциал с1~Р~ = Р'г с1Р' дО. ИнтегРиРование (3) по ЫР' тривиально благодаря свойству б-функции: б(~(х)) = , " , ~(х„) = О, и = 1, 2, ... (4) ~У'( .И ' Теперь можно перейти к дифференциальному сечению одной из частиц в любой инерциальной системе отсчета. Эта процедура эквивалентна вычислению якобиана перехода к новым переменным. Дифференциальные распределения в лабораторной системе.
Пусть в этой системе р, =- О, рг =- тгъ. Найдем дифференциальное сечение рассеяния частиц мишени в лабораторной системе. После интегрирования (3) по с1зр~~ остается б-функция, аргумент которой (рг /2р) (р1 — 2ди сов В1) обращается в нуль при значении р' = = 2ди соз Вь В результате интегрирования " рг се рг б (Рг Рг Рг) б(Ег Ег Ег) =- = — (~ р',г с1р', 40, б [Ег — р',г — (р', — рг) ] =- 4орг ~ с10г ~ соэ Вг ~ 2тг 2тг Полное сечение рассеяния ое(Е) следует из (2а) в результате интегрирования по телесному углу.
Отметим, что математический аппарат квантовой теории рассеяния приводит к сечению с1сг(Е) в форме интегралов по фазовому обьему рассеянных частиц в терминах интегралов [Гл. 3 Динамика системы частиц получим сечение до/с[сов Вг — — ог(Вг), об(Вг) = 4 [ сов В) [ бг(В). (5) При замене переменных следует учесть, что в с. ц. м. угол рассеяния частицы тг равен к — О, в лабораторной системе Вб = (к — О) )в2.
Найдем теперь дифференциальное сечение рассеяния частиц налетающего пучка в лабораторной системе. После интегрирования (3) по с[гР' остаетсЯ б(а)-фУнкциЯв аРгУмент котоРой рг =- ри [ь сов Вг т 1 — 6~ вппгВг 6 =- — ' впг При значении 6 > 1 два корня рг соответствуют одному и тому же углу рассеяния В в с.
ц. м. В этом случае в результате интегрирования (3), учитывая (4), получим )1а )в, в' в,) = ,)в,), „ )в,) = )в). )б ) сов г в; 'в, При значении й ( 1 имеем 1+ к~ сов2В )в), )в)=)бб в в 1 )в)- )бб) дсовВг в ' Соотношения (5), (б) можно записать в терминах якобиана преобразования к новым переменным 3.2.9. Найти скорость частицы после упругого столкновения с плоскостью., движущейся с постоянной скоростью. Решение.
Пусть ч скорость частицы, и скорость плоскости, п единичный вектор, перпендикулярный плоскости. В системе отсчета, связанной с плоскостью, скорость частицы до столкновения равна ч— — ц. После столкновения ее скорость ч — и — 2 (пч — пц) и. В лабораторной системе скорость после столкновения ч'" = ч — 2 (пч — пп) п. 3.2.10. Пучок частиц, движущихся в направлении оси с, рассеивается на поверхности вращения с = рг,)2а, р = хг+ йг. Найти зависимость прицельного параметра 6 от угла рассеяния. Решение.
На рис. 3.2.10 у угол падения частицы в точке Р с координатой (6, с), В угол рассеяния, 2у + В = )г. Поскольку угол Рассеяние частиц 3.2] 4. Рис. 3,23 1 а Рис. 3.2.10 наклона касательной, проведенной в точке Р., определяется соотношением сит = дя/др, то с1с)с(р = с13В12. Для параболоида врашения получим Ь = а с13В/2. 3.2.11. Энергия взаимодействия частиц (1(гы гт) = — о/~га — г~~. Используя уравнение траектории в с. ц. м., найти зависимость прицельного параметра Ь от угла рассеяния В. Решение 1. Уравнение траектории г(т) = р(1 + е сов т) где Х вЂ” угол между радиусом-вектором г(Ь) и большой полуосью. Из рис. 3.2.11а видно, что г(т) э оо при 1с — э т, следовательно, 1+ е сов эс = О. Поскольку 2(п — т ) = я — В, то Х = (л + В)/2, зш01'2 = 1/е.
Учитывая, что — К=, и= рьи, г 2ня1 рв получим Ь =( )сей Решение 2. В процессе упругого рассеяния вектор относительной скорости изменяет направление: т'ш = ип, и™ = ипв, где по, п — единичные векторы, угол между которыми В (рис. 3.2.11б).
В системе центра масс полная энергия Я = риа/2 = о12а, момент импульса М = д(Ььс), где а — полуось гиперболы, Ь вЂ” - прицельный параметр. Вектор Лапласа 1 Ь е = — (тМ]+ по = — + по а а [Гл. 3 Динамика системы частиц 138 Очевидно, сз = (Ь/а)з + 1. Образуя скалярные произведения (1) с по и Ь, получим Ьэ епо =-. 1, еЬ =-— а  — е гйп — =1, 2 В Ь е сов — =— 2 а ' е / — — ) / Следовательно, Ь = а сгб В.
Отметим, что в системе координат с ортами е~ =- в/е, ев —.-- [езе,), еэ = М/М параметрическое уравнение траектории г(1) = а (е — сЬ с) е~ + Ь вЬ В еш ы1=-е сйб — с, ш =- да а можно представить в виде Рис. 3.2.11б 1 с - 1 с1 г(1) = — ае ~е — с) п+ — ае [ге — е ~) пв. 2 2 3.2.12. Рассеяние заряженных частиц. Найти дифференциальное сечение рассеяния о-частиц на ядрах.
Решение. Пусть ты Я е — масса и заряд ядра, тш 2е — масса и заряд о-частицьь Потенциальная энергия взаимодействия У(г) = аут, о = = 2Уез. Кинетическая энергия относительного движения Е = див/2, инвариантный квадрат переданного импульса 1 = (2ди гйп В/2)~. Дифференциальное сечение рассеяния в с. ц. м. 1 ~ ВЬ'(В) ~ 2 дсовВ ' Прицельный параметр и угол рассеяния о-частицы связаны соотношением Ь = (а)2Е) сгйВ/2.
Следовательно, а(В) =- (2од/1)з. 3.2.13. Обратная задача рассеяния. Восстановить энергию взаимодействия У([гз — г~[) частиц по извесгной зависимости дифференциального сечения от угла рассеяния. Решение. Полное решение задачи можно найти в монографиях [48, 49]. Ограничимся более простым случаем восстановления потенциальной энергия по данным рассеяния частиц высоких энергий. Для сферически-симметричного потенциального поля Ю(г) угол рассеяния определяется как функция прицельного параметра и энергии Е известным соотношением — [к — В(Ь., ЕЯ = т 3.2] Рассеяние частиц 139 где г ы — точка поворота. Для частиц высоких энергий Е )> ~ Ц, после разложения (1) в ряд Тейлора получим д(Ь, Е).
~, ()(1,) +... ь Ь ~' 111 О (Ьг)' — — — +о( — ) . (2) (,) . ь Из (2) следует, что в пределе малых углов или больших энергий сечение становится функцией автомодельной переменной т = Ед(Ь, Е) (50): (3) Из определения сечения 1 НЬ 2)впд! сЫ следует, что функция Ь~(т) должна иметь вид Ь (т) = ~ 1а(т) — . ФУнкдию 1с(т) можно опРеДелить по гРафикУ зависимости фУнкции 1 (т, Е) = 2О ~ вш д( о(О, Е) от т при различных значениях энергии Е.
Все кривые на этом графике должны асимптотически стремиться к 1с(т) при малых т. Это обстоятельство весьма существенно, поскольку все данные, соответствующие широкому интервалу энергий, будут представлены одной функцией. Таким образом, задача определения У(г) сводится к решению интегрального уравнения Абеля (3), в котором левая часть известная функция. Используя значение интеграла [Гл. 3 14О Динамика системы частиц найдем композицию уравнения (3) с его ядром (51]: = — Гггг Г— т(6) ЫЬ ( ~ ЛУ 0т Л ь сс гю — — Йт 46г ~ 6гй гг ~ 0ЬГ гг = — — " гЬт — = — гг'(я).
Следовательно., в результате обращения интеграла Абеля находим 3.2.14. Найти потенциальную энергию взаимодействия о-частицы и ядра по данным рассеяния при малых углах: п(0, Е) —.— (оЕ(т )~, т=Е0. Решение. Согласно решению задачи 3.2.13 функция 1е(т, Е) = 20эгг(0, Е) =- 2 (о,гт)э. Следовательно, Ь (т) =- г) г1т =- ( — ) . т Потенциальная энергия взаимодействия сГ(т) = — ггт = — ггт 2 ~ т(Ь) 2 ( о сг гг ),~6~ — гг гг ) 64Р— тг т ' 3.2.15.
Найти сечение рассеяния при взаимодействии точечных частиц с часгипами, представляющими твердые шарики. Решение. Из рис. 3.2.15 следует, что прицельный параметр 6 и угол рассеяния 0 связаны соотношением Ь а соэдгг2, где а радиус шарика. Следуя определению дифференциального сечения рассеяния гйт = гг(0, ггг) аго, т(0, <р) =- ( д(Ь, 6„) а( Ог э ) ' найдем сг(0, гд) = а~гг4. Полное сечение рассеяния аг .— — яаэ равно площади поперечного сечения шарика. Этот результат не согласуется с экспериментальными измерениями полного Рис. 3.235 2.2] Рассеяние частиц сечения рассеяния частиц на ядрах.
Правильный ответ даюг вычисления по методу квантовой механики ае - — — 2паэ. Рассеяние частиц описывается волновой функцией, которая представляет суперпозицию двух слагаемых. Одно из них описывает отражение от шарика и дает вклад в сечение, равный хая. Другое тенеобразующее возникает в силу того, что за шариком возникает область тени, в которой вероятность найти частицу мала. Интерференпия падающей волны с тенеобразующей волной и приводит к образованию области тени. Вклад этого слагаемого в сечение равен ха~. Полное сечение равно 2хаэ.
Следует отметить, что подобный резульшт был получен Г. А. Ми в 1908 г, при вычислении сечения рассеяния света на шариках задолго до создания квантовой механики. Именно дифракционное отклонение на малые углы й < Л/а, где Л = — 5/р, приводит к дополнительному вкладу в сечение рассеяния. В этой области сечение рассеяния а(6) имеет острый максимум. Однако при больших углах (6 ) Л/а) сечение рассеяния стремится к классическому пределу а = аэ/4 ]52]. 3.2.16.
Найти условие применимости классической теории рассеяния при больших значениях прицельных параметров [53]. Решение. В классической механике полное сечение рассеяния ст = ~ 2пЬс]Ь о для произвольных функций У(г) обращается в бесконечность. Квантовая механика в квазиклассическом приближении приводит к выражению ос — — 8х ~ с]6 Ь э1п~б(6), (2) о где б(Ь) фаза рассеянной волны ]54]. При малых длинах волн Л « а следует ожидать, что частицы будут двигаться по классическим траекториям. Однако даже в этом случае сечение (2) не равно классической величине (Ц. Если характерный масштаб изменения Б(г) равен а, то в области Ь > а фаза б(Ь) = — (1/2)(а/26)во~~ весьма мала ]52]. Поэтому вкладом этой области можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
