Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Предполагая, что г « В, где К вЂ” радиус-вектор центра масс тел, записать лагранжиан, определяющий эволюцию вектора В.(с). Ответ. ь(В., К, 1) =- — 1ъ~ — с1(К, 1), Гтто Гдтпо СЗ (Вг) г й 1, Вз 172/ 3.3.14. Гравитационная рогатка. Двойная звезда, массы компонент которой гп1 и тг, налетает на черную дыру массы то.
В результате захвата «дырой» звезды массы т1 вторая звезда приобретает скорость «сг. Покажите, что величина гсг намного больше скорости двойной звезды. Рсшспие. Происходит «реакция» тгг+то — г тог+тг. Обычно пг„ тг « то. Рассмотрим процесс столкновения в системе покоя черной дыры. Скорость двойной звезды — и. До столкновения двойная звезда находилась на бесконечно большом расстоянии от черной дыры.
Поэтому полная энергия системы равна сумме тггиг,с2 — А12 кинетической энергии двойной звезды и полной энергии относительного движения Е12 †-- — А12, где А12 — энергия связи. После столкновения полная энергия системы при достаточно большом расстоянии между новыми объектами Равна тгиг~/2+ Еог, Еог =- — Аог, гДе Аог — полнаЯ энеРгиЯ связанной системы черная дыра — звезда массы тг. Из закона сохранения полной энергии получим уравнение 2 2 тгги 1 тгиг 2 2 12— 011 из которого следует, что кинетическая энергия звезды массы тг равна 2 2 тгог гп12и ( 2 2 Энергия связи звезды и черной дыры Аш » А12. Поэтому иг » и.
3.3.15. 1'равитационные возмущения движения КА в системах отсчета, связанных с Землей и Солнцем. КА движется в поле тяготения Земли и Солнца. Оценить влияние Солнца на геоцентрическое движение КА и влияние Земли на гелиоцентрическое движение КА [60]. Решение. В инерциальной системе отсчета радиусы-векторы Солнца, КА и Земли равны соответственно гг, гг, гз, массы тг, тг, тз. Вектор ((с) = гз — гг известная функция времени. [Гл. 3 Динамика системы частиц 134 Лагранжиан, описывающий движение КА в системе координат с началом в центре Земли (см.
задачу 3.3.8); тзгзг тзтз, С' 1 йгзз'1 гзз = г2 — гз, гш =- г2 — г1 = С + гз2 (рис. 3.3.15). Запишем уравнения движения в виде г32 =- зи32 + «ззи32~ Ьт«32 = з«12 — »и13~ (аз 131 гзз тз = — Сиго†32 ГЗ2 Г12 Г13 ш12 = — Стз 3, тг13 = — Стз —.„ '12 1'1 з Рнс. 3.3.15 сообщаемое Земле Солнцем шсз = 5,93 10 о км,сс2 и возмущающее ускорение равно всего лишь Ьшзд = 0,04 . 10 о км,'сз. Отношение Ьшздзшза —— - 0,025 возмущающее ускорение составляет 2,5% от ускорения, сообщаемого Землей аппарату.
Если же аппарат находится на линии Земля — Солнце на расстоянии гзд = 1500000 км от Земли и на расстоянии год = 148100000 км от Солнца, то ситуация изменится. Величина «основного» ускорения Здесь 25зи32 — разность ускорений, сообщаемых Солнцем КА и Солнцем Зем.ие. Из (1) следует, что в случае тела, движущегося в окрестности Земли (г12 — г ш), вектор Ьзизз играет роль возмущающего ускорения. Пусть космический аппарат находится на линии Земля — Солнце на расстоянии гзд = 500000 км от Земли и на расстоянии год = 149100000 км от Солнца (среднее расстояние 5 = гсз <о) = 149600000 км).
Величина «основного» ускорения из~а =- 1,594 х х 10 ь км/с . Ускорение, сообщаемое аппарату Солнцем шоА [о) = 5,97 10 о м1'сз больше величины шз~а. Однако Солнце не оказывает существенного влияния на движение аппарата, так как ускорение, 3.3] Динамика систем многих частиц 155 юзл — — 1,771 10 2 км«»сг, ускорение, сообщаемое Солнцем аппарату «о> и Земле юсл —.- 6,05 10 6 м/с, юсз = 5,93 10 6 м/с~. Отношение «люзл/юзл — — О, 677 — возмущение Солнцем геоцентрического движения составляет почти 70% ускорения, сообщаемого Землей аппарату.
В этом случае следует рассматривать движение аппарата в системе отсчета, связанной с Солнцем. Заменяя индексы «3» «-» «1», получим уравнение движения КА в системе координат с началом в центре Солнца, которое представим в виде г12 =- ти12 + «зн«12» «"ззу12 зузг 3631» «о> (о] Г12 =- — Ст« —, 12 3 1 12 Г«2 гм 3632 = — Снгз з, '11'31 = — «п«3 з 1'зг 1'з1 Здесь «лю12 — разность ускорений, сообщаемых Землей аппарату и Землей Солнцу, гзг = — б + г12. Полагая гол =. 148100000 км, получим значение «основного» УскоРениЯ и»сл — — 6,05 10 кмис и УскоРений, «О» 6 2 сообщаемых Землей аппарату и Солнцу юзл = 1,771.10 ~ км«»сг, юзс = = 1»781 10 11 км«сг. Теперь возмущение Землей гелиоцентрического движения не составляет и трех процентов: Ьюсл,«ю л —— — 0,029.
3.3.16. Сфера действия Земли. Найти уравнение поверхности, разделяющей области «основного> влияния Земли и Солнца на движение КА [32]. Решение. При вычислении траектории космического аппарата необходимо учитывать силы, действующие со стороны Солнца и планет. Однако в небесной механике известно точное решение только одной задачи — задачи о движении двух тел. Поэтому в астродинамике получили развитие приближенные методы расчета траекторий. Один из методов основан на анализе гравитационного возмущеаия траектории КА в окрестности планеты.
Приведенные в задаче 3.3.15 опенки позволяют понять, что отношение ]«1 юзл,«юзл] характеризует величину возмущения геопентрической (о] кеплеровой траектории Солнцем, а отношение ]«люсл«»ю ] величи]о> ну возмущения гелиоцентрической траектории Землей. Условие Сгюзл ] аюсл ~ «о> ] «о> юзл юсл С, ~ 36 (г61 г дтуз, ' Ст« [г — ] «.»ю12 Снзз .з з определяет уравнение поверхности гзг =- г(х, у, г), разделяющей две области пространства, в которых аппарат движется по различным кеплеровым траекториям. При переходе через поверхность необходимо «сшить» траектории.
Поскольку гзг « г12, г31 — б, то из решения задачи 3.3.15 находим [Гл. 3 Динамика системы частиц 156 Следовательно, из (1) получим т1 г [ 36 (гб) т» /Яз Это уравнение определяет поверхность, близкую к сфере радиуса вз1 =- Г(тэ/тг)а1в с центром в центре Земли ее называют сферой действия Земли относительно Солнца, ззс = 924 820 км.
Радиус сферы действия Луны относительно Земли влз = 66 280 км. Орбита Луны находится внутри сферы действия Земли. Г1оэтому радиус-вектор системы Земля — Луна описывает кеплерову траекторию. Однако Солнце заметно влияет на движение Луны относительно Земли. Орбита Луны лежит почти точно в плоскости орбиты Земли. Если орбиту Луны повернуть на 90', то расчеты показывают., что в результате эволюции параметров орбиты, Луна достигла бы Земли через 52 оборота за 4,5 года (М.Л.
Лидов, 1961 г.). Следует, однако, учесть, что Луна не является точечным телом и может быть разорвана гравитационными силами при достижении предела Роша, равного трем радиусам Земли (см. задачу 6.4.8). Предел Роша — расстояние, на котором сила, действующая на «половинку» Луны со стороны Земли, достигает значения силы притяжения другой «половинкой».
3.3.17. Вторая космическая скорость. На поверхности Земли космическому аппарату сообщили вторую космическую скорость. Определить траекторию, по которой движется КА после выхода нз сферы действия Земли. Решение. Найдем начальную скорость ее, которую необходимо сообшить телу относительно Земли, чтобы на расстоянии г от Земли оно приобрело скорость и. Силы сопротивления атмосферы не учитываем. Тогда полная энергия тела Е = тип/2 — т Ла/г — постоянная величина. Полная энергия на поверхности Земли Е =- теса/2 — таей. Из закона сохранения полной энергии следует уравнение теа ц п»и тл»с а а 2 2 2 т — тдВ =- Если Е = О, то значение ее =- еп, еп = 28Е, еп = 11.186 км/с называют второй хосмичес»ай скоростью. Очевидно, что еп = у'2 еь Можно ли утверждать, что на «бесконечно большом» расстоянии от Земли скорость тела станет равной нулю? Нет, нельзя, так как радиус сферы действия Земли взо =- 924 820 км.
На расстояниях г > > азо основной силой, действующей на тело, является сила притяжения Солнца — влиянием Земли на движение тела в этой области можно пренебречь. Если телу на поверхности Земли сообщить вторую космическую скорость, то скорость тела на расстоянии взс окажется равной и = е, = 2дйа/азо, е, = 0,926 км~'с. Если скорости Динамика систем мносих частиц 157 1 2 Сгаэ 1 а Стэ — илз =- илз 2 й 2»эс где идз скорость тела на расстоянии взс от центра Земли.
С достаточной точностью имеем 2 ил~э -— — ил~э + 28В (1 — — ) = и~да + 28Я. сзс Перейдем теперь в гелиоцентрическую систему, в которой Земля движется с «местной первой космической» скоростью изс =- Стсс~гзс, изс =- 29,785 кмсс; скорость аппарата в этой системе идс =- пдз + изс.
Для того чтобы ашсарат покинул Солнечную систему, его скорость аде должна удовлетворять условию 1 э Сто — илс— =0+0 — » 2 глс 2гсз илс = изс глс Поскольку гзс - гдс,то илс =- лс2 изс, илс =. 42,122 км/с. Предполагая, что векторы пдз, изс коллинеарны, найдем необходимое значение скорости относительно Земли в окрестности сферы действия идз = = илс — изс, идз = (ъ'2 — 1) изс, идз = 12,337 км/с. Теперь из (1) получим значение третьей космической скорости илз =- (ъ'2 — 1) иаэс + 2пй, илз =- 16,653 кмс'с.
3.3.19. Космический аппарат стартовал с третьей космической скоростью. Показать, что при пересечении траектории любой внешней планеты величина гелиоцентрической скорости входа в сферу действия планеты идс = ипсчс2, где ипс — гелиоцентрическая скорость планеты (60(. Решение. Г!ри отлете с третьей космической скоростью гелиоцентрические скорости аппарата идс, идс в точках 3 и П на рис. 3.3.19 связаны соотношением 1» Сто 1 э Стс 2 Лс гзс 2 лс тпо Земли и тела коллинеарны, то скорость тела относительно Солнца на 0,926 км/с больше скорости Земли относительно Солнпа изс = 29,785 км/с. Следовательно, тело станет спутником Солнца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
