Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Рееиение. Закон изменения импульса Р системы частиц '-1Р лагеаи С21 [Гл. 3 Динамика системы частиц 164 Предположим, что в момент времени 1 скорость тела — ч(1), масса тела равна т(1). В момент времени 1+ с1» масса тела стала равной т+ с»т, а скорость тела»+Ь». В лабораторной системе отсчета масса ( — Ьт) имеет скорость с.
Приращение импульса системы ЬР =. (т + Ьт) (» + Ьч) + ( — Ьтс) — тп» =. ткач — Ьт (с — ч). Разность с' =. с — ч является скоростью массы ( — Ьт) относительно тела. Из (Ц следует уравнение тг =- тс'+ Р' ', (2) впервые полученное русским математиком И. В. Мещерским в 1897 г. Для получения замкнутой системы уравнение (2), содержащее четыре переменные величины г и т, должно быть дополнено еп1е одним уравнением вида )(ч, г, т) =- О, или условием экстремума некоторого функционала. Запишем теперь закон изменения кинетической энергии системы ЬК = Р 'Ьг+ бА, где БА - — элементарная работа внутренних сил.
Поскольку 1 2 с те г 2 ЬК =- — (гп + Ьт) (е + Ье) — Ьт —, — =- теЬе+ 2 2 2 + — слт (е — с ), 2 то, переходя к пределу Ы вЂ” » О, получим т»» + — т (е' — с') = »Р + Я. 1 2 Используя уравнение Мещерского, находим мощность внутренних сил: Я= — — тс. и 2 (4) При неупругом присоединении массы (например, при конденсации) величина Я < Π— часть приращения внутренней энергии переходит в теплоту. При «сверхупругом присоединении» массы (в случае ракеты т < О) Я > О.
Если Я т, то величина относительной скорости постоянна. Это условие является обоснованием гипотезы Циолковского о постоянстве относительной скорости истечения газов реактивной струи. Однако для многих ракетных двигателей постоянной величиной является мощность Я. Следует также отметить, что при движении ракеты с постоянной тягой тс' =.
— Г мощность сЗ =- Гс'/2. 3.4.2. Капля движется в однородном поле тяжести в среде. Вследствие конденсации происходит увеличение массы капли по закону т =- ссЯ, где Я площадь поверхности. Найти скорость капли. Движение тели переменной масон 165 Решение. Поскольку с' = — ч, то уравнение Мещерского имеет вид птч 1 Учитывая, что т = аЯ, находим 4я УУв тп = Зйт~У~, й .= а( — ) Зр' (2) где р — плотность воды. Из (2) следует т = (И+ то '), то = т(0). (3) Подставляя (3) в (1), получим ч = 1 т(1) е1е + ч(0). т(с) 1 о е1 — тю =- тя — уЯи, т =- ахи (1) (2) с начальными условиями т(0) =- то, ю(0) =- О.
Поскольку гп =- 4яртз,УЗ, то из (2) находим а г= — ю+то; 4р (3) где то = г(0). Переходя в (1) к аргументу г, получим уравнение ви' ( у) и 8яр Интегрируя, находим 88рто р то'ус О го У о~1 а(1+6(1-у.у/а)) ~ то 1, г ) (4) В частности., если т(0) = О, ч(0) = О., то ч = аргу'4. 3.4.3. Капля падает по вертикали в однородном поле тяжести в среде, причем тп =- аЯ~г~, сила сопротивления среды и = — усач, где Я площадь поперечного сечения. Найти зависимость скорости от вертикальной координаты. Решение. Направим ось я вертикально вниз и рассмотрим систему (и = й) [Гл. 3 Динамика системы частиц 166 Рассмотрим частный случай, соответствующий начальным условиям 2(0) = О, 2(0) = 0: первоначальная длина свисающей части цепи ничтожно мала.
Для получения решения уравнения (1) умножим обе части на 22. Тогда уравнение можно представить в виде производной функции Р(2, 2): 2 1 2 — =- О, Р =. — (22) 42 ' 2 3 2. 25 =Д2 2, Следовательно, Г =- С: — (22) — — дс = С. 2 1 3 2 3 (2) Согласно начальным условиям С =- О. Из (2) находим 52 =- 28.2/3. Дифференцируя по времени, получим ускорение движущейся части цепи 25= — 2, — Э 2= —. я . К 3 3' Интересный результат: ускорение в три раза меньше ускорения свободного падения.
Отметим, что решения этой и следующей задачи были опубликованы в первом издании книги профессоров Кембриджского университета П. Тэта и У. Стила в 1856 г. Первым главой Кембриджской лаборатории, открытой в 1874 г., был великий Джеймс Клерк Максвелл, затем Дж. Дж. Томсон, Рзлей., Резерфорд... 3.4.5. Однородная цепь АВ массы М висит вертикально, касаясь концом В поверхности пола. Цепь отпускают.
Найдите зависимость величины силы давления цепи на пол. Покажите, что в момент падения конца А на пол величина силы давления равна ЗМд [137]. Решение. Масса цепи длины 1 равна М = р1, где р линейная плотность цепи. Направим ось 2 вертикально вверх, начало координат-- на уровне поверхности пола. В момент времени 1 координата точки А равна 2, проекцию скорости точки А на ось 2 обозначим 2.
Масса движущейся части цепи т(1) = рз (рис. 3.4.5). На нее действуют сила тяжести и сила реакции Я со стороны части цепи Из (4), (3) следует искомая зависимость н(2). Вычисления существенно упрощаются, если го = О. В этом случае 2 = ~/252 [1+ 6 (1+ у/сс)] Интегрируя, находим 2(1) = 812 [1+ 6(1+ у/сс)) 2/2. 3.4.4. Несколько звеньев однородной цепи свешивается с края стола. Остальная часть цепи сложена в кучу на краю стола. В начальный момент времени скорость цепи равна нулю. Найти ускорение цепи. Решение. Направим ось 2 вертикально вниз, начало координат-- на уровне поверхности стола.
Пусть 2 — координата нижнего конца цепи — — точки А, 1 — проекция скорости точки А. Масса движущейся части цепи т =- рс. Из уравнения Мещерского получим Движение тела переменной массы 167 массы М вЂ” т(1), лежащей на полу. На эту часть цепи действуют три силы сила тяжести, сила давления — Х со стороны движущейся нити и сила реакции пола В.. Из уравнения Мещерского получим систему д, — — -Юе+ Д'. (1) 0 = — — (М вЂ” т) д — %, + г1,. (2) Рис. ЗА.5 (3) (4) 8 и (1 ) + ° 2 Поскольку начальные условия (0) =- 1, и(0) =- О, то з(1) = 1 — — л1 . 2 2 1(1) .= — д.1, (5) Из (4), (5) получим величину силы давления цепи на пол вес цепи: 2 3 (6) Конец цепи А достигает пола в момент времени Т = 21/8. В этот момент времени вес цепи й(Т) = 3Мя. 3.4.6.
Ведро массы М тянут из колодца на веревке с постоянной силой Р. Вода массы т вытекает из ведра с постоянной скоростью. В течение интервала времени Т вся вода вытекает. Найдите скорость ведра в момент времени Т. Решение. Положим в уравнении Мещерского с' .=- О. Тогда т до/сУ = — тд+ Е. Из решения уравнения имеем и(Т) = — дТ+ 1п(1+ — ). 3.4.7. Голова кобры поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью и. Покажите, что вес кобры возрастает на величину Ми~ /1, где М вЂ” масса кобры, 1 — длина кобры.
3.4.8. Ракета движется вертикально вверх в однородном поле тяжести. Найти скорость и положение ракеты после сгорания топлива. Скорость истечения газов постоянна. Отметим, что присоединение элемента рЬе к неподвижной части цепи имеет характер удара — - его скорость мгновенно изменяется от значения — 1 до нуля. Приращение импульса рйЬе сообщает сила реакции Х: реЬе = М,Ы. Переходя к пределу Ь1 -+ О, получим Ю, = = рй~. Следовательно, из (Ц, (2) получим [Гл. 3 Динамика системы частиц 168 Решение. Направляя ось с вертикально вверх., получим уравнение тд = — тс — тд. т Д =- с 1и — — д8, т =- тио — И. то т (2) Пусть М вЂ” масса топлива, тогда в момент времени И = М,тк тио дМ~ (3) Положим то/ти(8т) = 5, с' =- 2.,5 кмтс. В этом случае первое сла- гаемое в (3) равно 4,02 кмтс; величина второго слагаемого зависит от скорости сгорания топлива.
Из (2) находим с(1) = с'1 — д'»~,~2— - с'и тт(1) 1пто/т(1). Полная высота подъема ракеты тио Н = — — [ — ) — — (то — М) 1п + —. к 2[,т«,) к то — М 2д б) Предположим теперь, что т = — ат; масса топлива М. Подставим т в (Цт получим уравнение Д = ас' — д. Скорость ит в конце активного участка ит = (ас — д) 8т., 1т —— †., в =!п а' то — М (4) где в — число Циолковского. Полная высота подъема ракеты 2 О 2 т т Н = (ас — д) — + — =- »и вс(ас- д) 2 2д 2ад Для вычисления ортимального значения а запишем уравнение дН(да = О., из которого находим а = оо. Это означает, что при мгновенном сжигании всего топлива ракета поднимется на высоту Н, =- (вс')»т'2д.
Из формулы (4) ит — -- с'(1 — д,тас') в следует, что чем больше реактивное ускорение ар — —. ас', тем меньше гравитационные потери скорости. В реальных условиях выбор оптимальной величины ар связан с учетом влияния перегрузок на состояние космонавтов и усложнения конструктивных элементов ракеты [60]. Для отрыва от стартового стола должно выполняться неравенство [т[ > т(0)д,тс', с' = 3 кмтс. Например, при стартовой массе системы «Сатурн-5» — «Аполлон» т(0) = 2950 т скорость сгорания топлива [т[ = 10 кг,тс.
а) Предположим, что скорость истечения газов с' и расход топлива постоянны: т = й. Начальные условия с(0) = О, Д(0) = О, ти(0) = то. Интегрируя систему, находим Двпжепие тели переменной массы 3.4.9. Определить закон изменения массы ракеты при вертикальном подъеме в однородном поле тяжести: а) с постоянной скоростью:, б) с постоянным ускорением. Скорость истечения газов постоянна.
Решение. а) Полагая в уравнении Мещерского й =- сопэ1, получим уравнение 0 = — птс' — тпрр, из которого находим тп(1) = т(0) ехр( — д1ссс'). б) Если ускорение Б = а, то из уравнения Мещерского находим т(1) =- сп(0) ехр[ — (а+ д) —,~. Когда ракета достигнет скорости сс, ее масса станет равной пс(сс) = пг(0) ехр [ — (а+ д) —,~, 3.4.10. Определить закон изменения массы ракеты при вертикальном подъеме в однородном поле тяжести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
