Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 29
Текст из файла (страница 29)
тзз 2' 2 ограниченное решение уравнений движения в окрестности зтреугольныхз точек Лагранжа (56, 65(. Решение. Совместим ось х с вектором й. Тогда 4.2] Собственные нолебанил мнвгвмерн х систем 189 Рис. 4.2.11 Координаты второй етреугольной» точки (хо, — уо, 0) (рис. 4.2.11а). В окрестности точки го потенциальная энергия У(г) = У(го) — ™ ~йз (х — хо) + 21сзз (х — хо) (у — уо) + 2 + ~сз (У Уо) ) + 2 П е (б) 3Пз ь тз тз ЗъЗПз 4 ' тм 4 9 Пг 4 Переходя к переменным х'„= х„— х„о, получим из (1) — (3) систему х' — 2йу' = И » х' + узз у', у'+ 2йх' = ьззх'+ йзу', Б+ зззз = О.
(7) (8) Из последнего уравнения следует х = — хо соз Й1+ зой ' з]п й1. Найдем далее ограниченные решения системы (7), (8) х'„= Ке и„е '~е (и = = 1, 2). Характеристическое уравнение Лз ПзЛз+ Рзз 114 0 4 тдз (9) Лз~ з — — — (1х 1 — 27 ). Его дискриминант должен быть положительным.
Таким образом, усло- вием финитного движения в окрестности положений равновесия явля- ется неравенство 27дзз ( тзз. Собственные значения [Гзь 4 Линейные колебанил 190 Извлекая корень, получим 1+3 х 1 — 3 тзз пззз ~ (10) Для того чтобы общее решение системы (7), (8) приобрело наглядный физический смысл, удобно произвести переход к локальной системе кооРдинат, совеРшаЯ повоРот х, У вЂ” З Чм Чг.. х — хо =- Чз сов(д/2) + Чг ззп (Р,12), у — уо =- — Чз з1п (д 12) + Чг соз (Чз/2), где18д = згЗ(гпз — тз)/тзз. Еслипзз » тз,тозз = я/3(рис. 42.11б). В переменных Чы Чг, г лагранжиан, описывающий линейные колеба- ния, имеет каноническую форму 2 (Чз + Чг + х ) + пз~ (ЧзЧг — ЧгЧз) — К (12) (аз Ч1 + огЧг) + (13) газ — 7п =- — 'й ~2~ 1+3( Решение уравнений, порождаемых лагранжианом (12), Чз —— — а сов(ЛзХ+ гз) + Ь г г гйп (ЛгХ+ В), 2йЛз Лг + а2 2йЛз Чг =. — а,, з1п(Лз2+ гз) + Ь соз(Лгй+,3).
Л~з+ аг~ (14) 4.2.12. Заряд движется в неоднородном магнитном поле, реализующем «мягкую» фокусировку. Вектор-потенциал поля в цилиндрических координатах вблизи плоскости г = О имеет вид [17) зг 4В А, = -~ йр рВ(р) — — — +..., Р" 2 о А =А,=О Ат(р, г) = ( + — ) В(р). где В(р) — Во(го/р)з, О ( Ч ( 1, Ч, го — постоянные. Найти частоту линейных радиальных и аксиальных колебаний в окрестности равновесной орбиты. Решение. В явном виде у-компоненту вектора-потенциала можно представить в виде 4.2] Собственные нооебан л многомерных систем 191 Используя решение задачи 2.2.17, запишем уравнения движения элек- трона зарядом е =- — ео.
д(/,ф д1/,,ф гпр = — ', ти =-— ар' а Эффективная потенциальная энергия электрона У ь(р, -) =, ~Ме+ — ' рА, 1, (2) где проекция обобщенного момента импульса М, > О. Подставляя Ат из (1) в (2), получим Положение равновесной орбиты определяется условиями дУ,ф/ар = О, И1ь !д. = О: )В(р)=О, с=О, 2р М, ео 1 — д р с(2 — о + из которых находим Разлагая У в ряд Тейлора в точке р = й, е =- О, получим — [агг (р Ж + а'эе 2 ео В(гс) ыг = аге 1 — 9 ага = агеэЯ аго = (3) тс Очевидно, агы ага частоты радиальных и аксиальных колебаний в окрестности равновесной орбиты.
Частоты колебаний порядка частоты вращения аге на равновесной орбите. Из (3) следует, что радиальные колебания устойчивы при условии О < 9 < 1 (мягкая фокусировка). 4.2.13. Потенциальная энергия трехмерного осциллятора 11(х) = ™ (аг е „вЂ” 1с б „+Й Й„)х х„. Тензор е „представляет собой диагональную матрицу с элементами ем = ееэ = е, еэз =- еэ. Найти решение уравнений движения. Записать лагранжиан в нормальных координатах. [Гзь 4 Линейные калебонил 192 Решение.
Будем искать решение уравнений х +П „х„=О, П „=зз~я „— й~б „+й й„(Ц (Л'+й' — ыгя) ~Л4 — Л'(ыгя+ыгез — й') — шг(хгя+йзгез)+ы'яяз~ = О, згг =- йз~ + йгг. Собственные значениЯ Льз = ы (е+ ез) — й ~ [ыз(яз е) + йз н~1г + 4хгйзз 2 Лг = ыгя — йг (2) Предположим, что выполняются условия, при которых движение фи- нитно. Собственные векторы системы (1) соя ~р соя а/2 яп р соя а/2 — яп а/2 — яп Эз и <г~ = сову О и ОО= соя р яп а/2 яп Эз яп а/2 соя а/2 и 1з> = й яп20 2нйз 16 (зз — з) + йз ы (зз — з) + й соз 20 Здесь О, эз — сферические углы вектора 1с.
Заметим, что при Л„т О соотношения (2) совпадают с дисперсионными уравнениями для плоской электромагнитной волны в анизотропном кристалле [13]. В этом случае прО векторы поляризации. При я = ез (а = 20) векторы прй совпадают с ортами сферической системы координат. Общее решение (1) х =- Ь „Аи соя(Л„,1+ аи).
Столбцами матрицы гз = и <„~ являются собственные векторы, которые удовлетворяют условиям нормировки П „Ьт„Ь„„= Лгб„. ~ти~т~ — биг~ Переходя к нормальным координатам х — з 99 х„= т Ь„,д, — з~г получим лагранжиан 1 = (дг — Лг ог) /2. 4.2.14. Модель одномерного кристалла. Найти решение уравнений движения атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки, в гармоническом приближении [66[. Решение. Рассмотрим кристалл с одним атомом массы т в элементарной ячейке. Положение ячейки х„= п4, где д период трансляций. в виде х = Ке и е '~з.
Вектор и удовлетворяет системе алгебраических уравнений П „и„= Лги . Условие г[е1 [ — Лг1 + П[ = О приводит к уравнению 4.2] Собственные колебания многомерн х систем 193 Пусть и„ вЂ” смещение атома от равновесного значения я„. Предположим, что электроны в кристалле успевают следовать за конфигурацией, отвечающей минимальной энергии. В гармоническом приближении энергия взаимодействия атомов 1 дги и=-, П„ив„, П„=( диыди„~о=о т,п Коэффициенты П „зависят только от разностей т — и, поскольку силы взаимодействия атомов могут зависеть лишь от относительного положения ячеек в решетке.
Обозначая П „= Вт ", запишем потенциальную энергию в виде 1 11=-2 Й'и и,, т,в Очевидно, В' = В '. Ограничимся далее учетом взаимодействия только соседних атомов: гсо = 2гс, гсг = В 2 = — гс, остальные коэффициенты равны нулю. Поскольку див /ди„= оь„, то сила, действующая на и-й атом, дС Е„= — = — Л'и„, = — вс (2и„— и„г — и„ег). ди Лагранжиан кристалла 2 Ь = — ти„— — Вви„иптв. Уравнение Лагранжа тй„+ Вви„... = О.
Ищем решение (Ц в виде и„йее„е ™. Собственные векторы удовлетворяют уравнению — гпш Е„+ г (2) Я'е„т, — — О. Система (2) имеет решения е„= ег~"~, е г"~~ при условии Огг Ввсвввл 1Ш2 Ч]П2 1 . Ы т где соог — — гс/т, й — произвольное число. Частное решение (1) можно представить в виде и„—. Ве (Ае' ' 'ь "~ + Ве'"' ' 'ыы) . [Гл. 4 Линейные нолебаннл 194 Рассмотрим краевую задачу, налагая граничные условия ио = ин сс —— =- О, т.е. атомы с номерами и =- О и п = М + 1 закреплены. Из усло- вия ио = О находим А =- — В.
Другое условие приобретает вид вп й(Ж+ + 1)сс =- О, следовательно, й =- ь, ос =- ос, нн (с"сс + Ц с1 ' ян щ =2щовп, и=1,2,...,%. Собственный вектор 2,;гни ещ ~= вп Общее решение системы (1) ин = а ен1 ) сов(осе1+сс ). н Рассмотрим некоторые частные случаи. 1) Х = 1. В этом случае и = 1, ис —— — ас соя (ьсс1+ ос), асс — — ъс2 осе. 1 ис = — [ас соя (осс1+ ас) + ат соя (осз1 + есо)), ъ'2 1 из = — с(ас соя (оссо+ ссс) — аг соя (осзо+ ссз)~. ъ'2 4.2.15. Найти спектр частот одномерного кристалла с двумя атомами в элементарной ячейке. Решение. Пусть тс, тз — массы атомов в элементарной ячейке, и„— смещение агама гс от равновесного значения в ячейке с номером и (о = 1, 2). В сармоническом приближении потенциальная энергия я 11=-2 В ди,„и „,я, причем Л' = В-„'.
Если ограничиться учетом взаимодействия блиисайших соседей, то псс п22 - 23с~ п12 Вв сс~ п21 псз о о о о = — се, остальные коэффициенты равны нулю. Уравнения Лагранжа т„йнн + й' и„е, = О. Ищем частное решение (1) в виде монохроматической плоской волны и =. В.еА е '"'се'ь™ н,н ' н (2) 2) Х = 2. Колебания являются суперпозицией двух мод с частотами осс =- що н осз = Ласо, 4.2] Собственные кооебан л миогомернъи, систем 195 где й — волновое число, Ы -- период кристаллической структуры. Под- ставляя (2) в (1), получим систему г — т„ог Ар+ М„оА =- О, здесь гу = 2 В„' е"~~ — эрмитова матрица: (3) Ы гугг =. Ж вЂ”.— — »с э1п — е — сверг гг' 2 Мм —.— Хгг —. 2»с, г г гав оо . = тт т — 4тгтгвш т1тг 2 т = тг + тг. При Ы « 1 эти частоты имеют вид 2»с 2»с, Ы ыг — —, ыг - — в1п— и ' т 2 Функция юг(к), стремящаяся к нулю при й — » О, называется акустической ветвью колебаний.
Функция огг (й) определяет оптическую ветвь. 4.2.16. Цепочка Тоды )68). Найти волновое решение уравнений движения М частиц с энергией взаимодействия 11 = 11е у(х„~.г — л„), ~р(г) = ехр( — аг) + аг, где а„— отклонение п-й частицы, 11всг(г) — энергия взаимодействия ближайших соседей. Решение. Уравнения движения цепочки нелинейны и в общем случае произвольной функции р(.,г) неразрешимы.
«У меня, писал Тода, не было никакой определенной стратегии, кроме надежды, что методом проб и ошибок я могу найти одновременно потенциал и решение» )69). Уравнения движения гпх„= 1lоа1ехр) — а(х„— в„г)) — ехр» — а(х„тг — г о))) (1) после введения нелинейных импульсов п»х„= с„— с„1 можно пред- ставить в виде системы с„= 17оа (е '"" — 1), тг„= 2с„— с„«г — с„ы (2) где г„= л„— л„ы Это преобразование «линеаризует» члены взаимо- действия. Из (2) следует уравнение т с„ — = си«ч + с„ 1 — 2с„. а с„ + Соа (3) Система линейных однородных уравнений (3) имеет отличное от нуля решение при условии бес ~ — ы~т„б + М„о~ =- О, из которого находим )67] [Ггь 4 Линейные колебания Для стационарной бегущей волны с„= Б'(0), 0 = ш1 — рп.
Функ- ция Е(0) должна удовлетворять уравнению г Еи = Е(0+ р) + Е( — р) — 2 Е(0). (4) а огЕ' т Уоа Ограничимся отысканием решения в виде уединенной волны — солито- на. Следуя Тоде, заметим,что 11г(В+ р) + 11г(0 — р) — 2 11г 0 =— 2 гг1 В ой~р ей~0+ ей~р следовательно, полагая 1 г Е(0) =- 11г(ог1 — рп), ог = ( ' ) вйр, получим решение уравнений движения (1): ехр( — аг„) = 1+ з1г~р сй ~(ог8 — рп). В оригинальной работе Тода было получено решение в терминах эллиптических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
