Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ае 'и. Тогда уравнение (10) приобретает форму Метод усреднения 221 отсюда находим а = ао: сг = — (ио/16) аог1+ сг, г х = ао сов(оЛ+ а)г ог = ыо (1 — — ~). 16/' Сопоставим приближение и точное выражения для периода колебаний математического маятника Т=2~ ги г (Е+тф соох) т1~ где х„хг корни уравнения Е+пгх1 сов х = О. Введем вместо полной энергии Е константу ао, котоуая играет роль амплитуды линейных колебаний: Е = — тп1 + тогогад1г/2. Тогда гг 1 дх ( — ) — огп— Подстановкой егп и = (2/ао) ойп (х/2) приведем (1) к виду Периодическому режиму слаболинейных колебаний соответствуют зна- чения ао « 2, т/г г Т= — '~ -~1+-' ' ".+ )= — "("16' ) о 5.1.2.
Параметрический резонанс. Найти в первом приближении метода усреднения решение уравнения х + ог~(1) х = О, где аг (1) = ого — Й сов й1, Й « ого. Решеггпе. В этой задаче е1 = к сов й1 х, еЕ(С. б*, ыо1; 1) =. сов й1(бе ' 'г+ С*с' 'г) е' '~. 2ыо 1. В случае й «ыо функцию соэй1 можно вынести за знак интеграла: еР(С, С*; 1) = (гй/2ого) сов йт С, следовательно, С =- (Ы!2ого) саэйма й х =- ао сов ~4, гг =- ~ Ю ого (1 —, соэ й1) + ого. 2ого т =-— о ,= —.'. ( — ") ~ 2 [Гл.
5 Нелинейные нолебан л 222 Это решение можно получить, используя формулу (2) задачи 5.2.1, так как ы(1) ыо(1 — [Ь/2озо~) совй1). 2. В случае П 2шо введем расстройку б = шо — П/2, тогда еЕ[(,(*:1) = б*е ' ', е еа(*емее Для исключения явной зависимости от времени произведем замену ( = = — Оеб~', г) + гбп — 1ап* =- О. Полагая и =- в6 + 1еш получим систему е6 — (а+ б) ез = О, 12 — (а — б) ее = О. Решение этой системы ищем в виде е„=.
Ке и„ех'. Пусть [Ь[ < а., тогда Л6 з .= ~и, п =- теао — б~. Для первого частного решения Ле = — п получим па сг — д ив =— а. атб ото и6 = а, Для второго частного решения Ло = и находим а-ьб атБ из =Ь, и6 = 6= Ь. н а — б Следовательно, о тб ег = ае "~ + Ье"', П ег =- — е "е+ Ьене; па о+6 Общее решение [см. также 9.2.1) Пс . йс т = е6 сов — + ез гйп —.
2 2 й он 2 =- — т т, гп =- бз — ао. 2 3. Если П» шо, то Е[(, с*; 8) = О, а решение имеет вид х = ао сов [мое+ оо) 5.1.3. т1еловек на качелях. Подставка движется по окружности радиуса 1о, расположенной в вертикальной плоскости. Центр тяжести Таким образом, если частота П лежит в интервале 2ыо — Ь/2ыо < П < 2ыо + Ь/2ыо, то в системе возникает параметрический резонанс.
Амплитуда возрастает по экспоненциальному закону. В области устойчивости [П вЂ” 2ыо[ ) Ь/2ыо решение представляет суперпозицию гармонических колебаний с частотами 5.1] Метод усреднен и 223 человека, стоящего на подставке, находится на расстоянии 1г = 1о — в(1) от точки подвеса (рис. 5.1.3). Найти решение уравнений Лагранжа 1 рода и оценить работу силы реакции. Масса человека тг, подставки гиь Решепие. Введем полярные координаты с началом в центре окружности. Уравнения связи ~г = т1 — 1о = О; .6г =- тг — т| + в(1) = О.
Лагранжиан системы — ]тг + тФ1 + -, т (тг + тг р'~] + Рис. 53.3 + т~ат1 сояог+тгатг сояоо+ Л111+ Лг1г. Уравнения Лагранжа 1 рода т1 (т1 — т1 ~р~) = т ~ 8 соя д + Л1 — Лг, тг (Ёг — той ) = той' соя ф + Лг, (1) (2) — (т1тг + тигтг) р = — (т1т1 + тгтг) д я1п Ог. (3) тг = 1о, тг = 1а — в(1). (4) Из уравнений (1), (2), (4) найдем силы реакции Л1 = — (т1о + тгз) ог~ — тд' соя р, Лг = тг (10 в) 97 тгв тгя соя ф, (5) (б) где т = т1 + тг. На рис. 5.1.3 стрелки соответствуют силам реакции: Т .= — Лы Мг = — Лг, Ж1 = Лг.
Полная энергия системы Е = К+ 11, К = — т ®р~) + — 1ов~ + (1о — в) ~р~]: 11(1, ог) = — те1о совр+ тгев соя уг. г — = тгв о((1о — з) ~р + в+ ясов ог,~. Пусть ]в] « 1о, ~р << 1. Тогда из (3), (7) получим уравнения г тг / дз~р г ог+ ооовг = (2 + овгг], т1о 41 (7) (8) (9) Мгновенная мощность, переданная системе с]Е(Ж =- — дА/д1, равна мощности, развиваемой силой реакции Жг. .с]Е/с]1 = — вЛг, [Гл.
5 Нелинейные нолебанил 224 где ого = К)~о. Рассмотрим два случая. А. Пусть в(1) =- во — 6 сов й1, во > 6. Используя метод усреднения., подставим я (8) уг = Ке5е '"", с = ае ' . В результате получим уравнение С = — Ы (2воб + 365*е~г~г) г тегео й гг=, б=ого —— 4т1о 2 При условии Зггй > [ыо — й)2+ аво[ амплитуда колебаний возрастает. Полагая в (9) гр .= а сов (аго1+ сг)г найдем среднее значение мощности ( )=-' НЕ 1 3 2 2 — ) =- — ' то1оЬйогоа яп 2о. г11) 8 В.
В импульсном режиме скорость центра тяжести человека у ~ вгп ~~ 22 а=— 2яоге 1 [вшг)г[ веге ' о афО; а=О, а=О, следовательно, х(1) = (ао — 1) сов(ого1 + его). 2у гыо При 1 =- (кого)2у) ао движение прекращается. б) В атом случае а = — — [ ггуг яп уг = — —, уа Г . о Ча 2я [ 2 о где То = — 2я)ого. Пола~па в (9) уг = а сов (ьго1+ о), найдем значение работы, совершаемой силой реакции за период А =- Зтз1о йге~о по сов 2ег. Есои ю =- Ог то согласно (10) при прохождении положения равновесия центр тяжести человека поднимается, а в положениях наибольшего отклонения центр тяжести опускается.
5.1.4. В УРавнении х + ыозх = е 1(х, х) пРаваЯ часть Учитывает влияние силы трения. Найти решение в первом приближении метода усреднения при а) е1 = — у вгяп х; б) е1 = — ух; в) е) = — ух [х[. Решение. а) Используем метод усреднения в действительных переменных: х = а сов гб, х = — аыо шп аг ~ = ыо1+ сь Из формул (5.11), (5.12) находим ег = О, о.1] Метод усреднения 225 Решение исходного уравнения х(1) = аое теег сов (ыо6+ оо). в) Из уравнений а= — йа, й= ., ее=0, г 4'уеео Зя получим х(1) = „( о1+ еео) 1+ йаоо 5.1.5. Частица находится на горизонтальной шероховатой поверхности ленты., натянутой на два шкива и движущейся со скоростью и. Частица прикреплена к пружине, закрепленной в неподвижной точке (рис.
5.1.5). Найти амплитуду автоколебаний в стационарном режиме. Решение. Уравнение движения те- ла тй = — тыо (з — 1о) + Р(з — и)., Рис. 5.1.5 где г'(и) — сила трения, зависящая от скорости частицы и = з — и относительно поверхности ленты. В положении равновесия з = зо., 0 = — тыо (зо — 1о) — г ( — и). Произведя замену х = з — зо, получим уравнение тх+ тееогх = г'(х — и) — Р( — и). Функция Р'(и) имеет участки, где дР',1дв > О. Пусть скорость и удовлетворяет условию Г"(-и) = О,т.е.
о = -и является координатой точки перегиба. В этом случае дР хз дзд Р(х и) е( и)+х + з + д З! ло Уравнение движения (1) приобретает вид х+ыох =- йгх— г йг =- — Е (-и), йг =- 1 т а= — йга(1 г]: Ь = г: ее=О~ Г а'1 г 561 2 6 ' йгыо Применяя метод усреднения, находим йг ° 3 — х Я] — ~ Г"'( — и) ). [Гл. 5 Нелинейные нолебан л 226 следовательно, (7)= 7( — ') [77 — , '( "'7' — Ц) В стационарном режиме а(оо) = 6. 5.1.6.
Модель анкерного механизма. Найти решение уравнения т + ь7ооа =- е Г(в, л), е Г" = — ив 6(в) — лз в пеРвом пРиближении метоДа усреднения. Решение. Из формул (5.11), (5.12) находим а = 0„ а = — — ~ Г[у7 в1п у7 '[у — и6(а созу7)~ = — — уа+ †. (1) а Г 1 и 2л ~ 2 л о Из (1) находим а(1)=аое Н + — (1 — е ' ).
7Г Г При 1» у устанавливается стационарный режим, а(оо) = —, — 1 2и 7Г т 2и в(1) = — соз(о7о8+ ГГо). лт Нетрудно проверить, что среднее за период значение суммы мощности внешней силы т 2 2 1 ~ .2 2иа 27о о и силы трения т 1 Г ° 2 1 2 2 — — ) ГГГ "Гз = — †.уа ш 'Г ) 2 ы7 О о равно нулю. 5.1.7. В общей теории относительности уравнение траектории планеты в метрике Шварцшильда определяется интегралом [2[ где Ео полная энергия, М момент импульса, гл — — 2то-Г,Гс гравитационный радиус Солнца., то масса Солнца. Найти поправку к кеплеровой траектории. Метод усреднения 227 Решепие. Полагаи бо — — тсв + Е, пРедставим (Ц в виде 2т(Е+ — — ) + — + = — ( — ), где се = Стто.
После замены переменных и = ро/г, ро = М /то получим уравнение ( — ") + '(1- ', и)-2и=- ~"'(2+ Е,). (2) Продифференцировав зто уравнение по ~р, найдем да Зо +и=1+ и. доо тс ро Произведем подстановку х = и — 1, тогда (3) приобретает вид х +хе е(х+1), е= тс ро Для планет Солнечной системы величина е « 1. Используя метод усреднения, находим х = а сов(1о+ а), а' =. О, во да е 2 — — ~ д~(осовев+1) сов~ = — е. д(р 2л а о Полагая 7о(0) = О, получим х .=.
ао соз '((1 — е) оо,. Подставляя и(оо) в (2), получим ао = е с точностью до е~, где е зксцентриситет. В результате находим уравнение траектории Ро (4) 1 т е сое (1 — е) оо Из (4) следует, что траектория планеты является незамкнутой. Угловое смещение кеплерового эллипса за время одного оборота е11о =- 2яе = = бяа/(тс ро). 5.1.8. Многомерные системы. Рассмотрим систему х,„+ К „х„= е,„1,„(х., х), е„„« 1. Получить уравнения первого приближения метода усреднения.
Решение. Для того чтобы найти решение системы методом усреднения, перейдем к новым переменным х о ю х~ = Т „хя. Здесь Т— матрица, приводяп1ая матрицу К к жордановой форме; Т ~ КТ = .1. Умножая обе части исходного уравнения на Т г, имеем Б,,+Л„я, =е ~ (Тх, Тд)Т [Гл. 5 Нелинейные нолебан л 228 — 2Л„2 й = — КееЛ А е 'л"'. В пеРвом пРиближении метоДа УсРеДнениЯ А„= 4н в— в а„ехР ( — ео„),. (,„= е„дн(с., с ), е„а„= — (е, Р (с, с*,1)Т,„е'~"') ЗдЕСь Е (С, С*, 1) вЕктОр-функция Г(Х., Х), в аргумЕнтах кОтОрОй произведена замена х,„= КеТ„ц,~я ехР( — 2Л„1), х,„= — Ке 2Т,„„Ли ~„ехр ( — ГЛ Д.
5.2. Системы с медленно изменяющимися параметрами 5.2.1. Частота оспиллятора удовлетворяет условию ~ы~ << ы2. Найти решение уравнения х+ ы (1) х = е Г(х, х)., е « 1, в первом приближении метода усреднения. Решение. Ищем решение в виде х = Ке ы ~~~Ае ' е, х = Ке ( — 2ь2~~~Ае 'г), (2) где у = ~ ы й1. Из (2) находим уравнение А — — А)е *"+ к. с. =- О. (- — ' 2ы (3) 11одставляя х в (1), получим еще одно уравнение Г/. ы е — — (А+ — А)е 'и+ к. с. = — Г(х, х).
2(, 2ы ) (4) Из (3), (4) следует Г(х х) е т + А*сыт игы ' 2ь2 Если е =- О, то нулевое приближение определяется формулами (2), где А =. сопва Условием применимости этого приближения является В случае некратных корней .I„„ = Л2 б , Л2 > Π— собственные значения матрицы К. ИЩем Решение ен в виДе неравенство ]АТ] « ]А], где Т = 2я/ин Учитывая (5)., получим Ц « « сиз.
Решение (2) в окрестности точек Ьо, удовлетворяюших условию ы(Оо) = — О, становится неприменимым. Определим окрестность ]с — со], в которой еше можно использовать (2). Пусть ыо(с) имеет в точке со простой нуль: ыз(1) = Ь (Ь вЂ” 1о), тогда ]1 — Ьо] )> Ь Вернемся к уравнению (5). В первом приближении метода усредне- ния 2н А = [ сЬр 7"(х, х) е'", (6) о где х, х определяются формулами (2). Переходя к действительным переменным А, А* — ~ а, са А = ае 'и, представим (6) в виде а = — ~ сЬр 1(х, х) о]п (д + сс), 2яо'й 3 о (7) сс = — [ сЬр 1(х, х) сов(р+ сс).
о (8) 5.2.2. Длина математического маятника изменяется по закону 1 = .= ((с). Найти решение уравнения движения маятника в окрестности положения равновесия. Решение. Лагранжиан маятника, описывающий линейные колебания. Е = — т1 ~р — — тф~р . 2 2 1 2 2 2 Представим уравнение движения — ~р+ фр = О 2 . ас в стандартной форме р'+ ас~(1) ~р = — 2 — р, ы = г (2) При адиабатическом изменении длины ]1] « м( (]1] « уЯ7) решение (2) имеет вид с д =- — соя [ [мЖ+ сс~. Используя формулы (7), (8) задачи 5.2.1., находим а = — (1,Ч) а, .сс =- О., следовательно, 5.2] Системы с медленно илменлюсаамасл париметрима 229 [Гл. 5 Нелинейные нолебанил 230 Пусть 1 = 1о + и1. Тогда условие медленности изменения длины имеет вид и « „'37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
