Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Впоследствии на основе метода обратной задачи рассеяния была построена полная теория. В частности, получены Х- солитонные решения и показано, что солитоны обладают свойствами частиц — после встречного столкновения сохраняют первоначальную форму )70). 4.3. Вынужденные колебания й 4.3.1. Найти решение уравнения х + — л =- О при различных ~г значениях Й. Решение. Ьудем искать частное решение в виде л = 1г (9, 7Ц. Параметр Л удовлетворяет уравнению Л (Л вЂ” 1) + й =- О, следовательно, Лиг = 1/2 ~ 1/4 — й.
Возможны три типа решений: Ц й < 1~4, = С,1г. + С,1г' 2) й =-1/4, х = ~Л(Сг + Сг 1п1); 3) й ) 1/4, я = уг1 С сов ( й — 1/4 1п1+ ег). В теории дифференциальных уравнений точка 8 =- О называется правильной особенностью. 4.3.2. Найти решение уравнения й+~ ~ я=О. Решение. Перейдем к новым аргументу В и функции и, совершая замену л =-,, 1 = т ссй В.
егп0 ' Вынужденные нолебан л 197 Тогда искомое уравнение преобразуется к виду дВ' ", +й26=0 12 =1+( )2 следовательно, решение в параметрической форме х =- вп ~В (С2 соя12В+ С2 вп йВ), 1 = — т сФяВ. 4.3.3. Две частицы, соединенные пружиной, могут двигаться по вертикальной гладкой прямой. Одна из них колеблется по закону я(1) =- яо созыв (рис. 4.3.3). Найти условие, при котором амплитуда вынужденных колебаний второй частицы относительно первой меньше яо. Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. В неинерциальной системе с началом на первой частице лагранжиан т.2 й 2 В = — х — — (х — 1о) — тдх — тЯх.
2 2 Уравнение Лагранжа тх =- — Й (х — 1о) — тд+ теооо сов о21 имеет решение 2 В Оо ЕО х = 1о — — „+ а соя(оооя+ о) + 2 2 сояоо1 й хо — х Рис. 4.3.3 1 = — х + — х — — (х2 — х2 — 1о) + х21"о сояоо8. Н21 .2 ГН2 .2 й 2 1 2 2 2 Перейдем к новым переменным хм х2 — о х, рд 1 х.=. — (т2х1+ п22х2), гп =. т1 + т2, д = х2 — хы н1 где о2о = И(т. Искомое условие: и > 2пна2.
Рассмотренная система является моделью амортизатора. 4.3.4. Две частицы соединены пружиной и находятся на гладкой горизонтальной прямой. К частице массы т2 приложена сила Ео соя ы1, направленная по прямой, соединяющей частицы. Записать лагранжиан системы, найти закон движения частиц. При каком условии амплитуда вынужденных колебаний частицы тп2 равна нулю. Решепие. Пусть хы хя — координаты частиц н21 и гп2 на прямой. Лагранжиан системы [Ггь 4 Линейные нолебон л 198 В новых переменных Л = — х + — д — — (д — 1о) + (х + — д) Ро сов ог1.
° 2 Д 2 2 б шг 2 2 2 ти Уравнения Лагранжа тх = Ро сов ог1, тг ро' =- — й(д — 1о) + — Ро совы1 имеют решение х = С21+ Сг —, совог1., 7иог шг Ро д = 1о + а сов (ооо1 + о) + —,, сов ог2, тд огог — оог где ыо = й/р. Вклад внешней силы в функции хы хг имеет вид хо Ро г — ° + г 2 г сов ю1~ шог (ы — ого) (тгыо — тог ) Ро Х2=...+ г г г СОВОго, шшгх ( > 'о) следовательно, искомое условие: ог = Й/тг . 4.3.5. Найти решение уравнения х, + огодх —.
1' сов ого1. Ответ. х = а сов(ого1+ о) + 1 в1пооо1 2хо 4.3.6. Найти решение уравнения х+ ух+ ыох = — Р(1), ого > 'у!2. 1 т Начальные условия х(0) = то, х(0) = хо. Решеяие. Представим решение исходного уравнения в виде 00(2)+ ~' ао С(1 о (2) где х<о~(1) решение однородного уравнения. Функция Грина удовлетворяет уравнению Вьснужденньсе колебания 199 Подставляя в (3) фурье-разложение С(1 1') = ~ '~ ( ) -"0-'~ 2я (4) получим ~2 асс а= — су/2ьй й= асо ( ).
Полюсы подынтегрального выражения (4) лежат в нижней полу- плоскости комплексной переменной ас = ос' + сос". По этой причине (4) обращается в нуль при 1 < 1'. Действительно, при 8 < 1' реальная часть — сос(с — 1'), равная оса(с — 1')с отрицательна в верхней полу- плоскости, где замыкается контур интегрирования. При 1 ) 1' контур интегрирования замыкается в нижней полуплоскости. Таким образом, учет сил тренсля автоматическсл обеспечивает выполнение принципа причинности.
Вычисляя интеграл (4), получим — сс — с", С(1, 1') = — — = д(1 — 1') Р(1 — 1'), (5) 2сс (ас — асс) (ас — асс) Р(т) = й ехр( — — ) зспйт. с' сто 2 ) Заметим, что функция Р(1 — 8') обладает свойствами Р(0)=0, — „=1 (6) с я(1) = 7 Р(1) яо + Р(1) то + Р(Х) хо + ~ — Р(1 — Х~) Р(1 ) (7) о 4.3.7. Доказать, что вещественная часть фурье-разложения функции Грина при некоторой частоте, определяется значениями мнимой части при всех частотах (и наоборот).
Решение. Условие причинности С(т) = О, т < О, позволяет представить д(ас) в виде функции д(са) = ~ астС(т)ес "=- ~ с1тС(т)ес ", 1шас > О, — сю о и удовлетворяет однородному уравнению, Интегральное представление функции Р(т) совпадает с (4)с однако контур интегрирования проходит по часовой стрелке, охватывая все полюсы [10, 72]. Поэтому общее решение (1) можно представить в аиде [Гл. 4 Линейные колебания 200 голоморфной в верхней полуплоскости комплексной переменной ы. Поэтому фог) называют причинной трансформантой.
Поскольку фоо)— квадратично интегрируемая функция, то согласно теореме Титчмарша имеем интегральное представление (10) 1 ~ Ж/ Ь(ы) 2кг ) ю' — ог Рассмотрим случай, когда точка ог лежит на вещественной оси. В теории обобщенных функций известно, что при стремлении ог к вещественной оси сверху 1пп, = Р, + гя Б(аг — аг), е — г О. 1 1 ог — ог — ге ог — ог Отделив вещественную и мнимую части в (1), получим интегральные уравнения г Век(ог) = — Р ~ даг',К( ), 1шя(аг) = — — Р ~ г1аг' (2) связывающие действительную н мнимую части функции фаг). Эти уравнения называются дисперсионными соотношениями. Впервые дисперсионные соотношения получены 1'. Крамерсом в 1926 г. для комплексной диэлектрической проницаемости изотропной среды е(аг).
Связь между дисперсионными соотношениями и условием причинности была установлена Р. Кронигом в 1942 г. В классической электродинамике сплошных сред вектор электрической индукции В связан с напряженностью поля Е соотношением П = ееЕ + Р, где Р .= епг(г) плотность дипольного момента в СИ, г радиус- вектор электрона, н — концентрация электронов.
В классической модели потенциальная энергия взаимодействия электронов с ядром У = таг~дг /2. В этом случае Р = ~ е1г' С(1 — г') Е(г'). Переходя к фурье-представлению П = еоЕ + Р, введем функцию е(ог) соотношением П =- е(аг) еоЕ„. В результате получим г е(аг) = 1+ д(аг). Очевидно, что из (2) следуют дисперсионные соотношения для функ- ции е(ог).
Вынужденные налебан л 201 4.3.8. На осциллятор,чействует сила Р(1) = — та б(1 — т) х, где 6(1) — дельта-функция Дирака. Найти решение уравнения движения. Решение. Уравнение движения х + (ага~ + д б(1 — т)~ х =- О, соответствующее осциллятору с переменной частотой, представим в ви- де интегрального уравнения Фредгольма х(1) = и(1) — ~ е11'С(1 — 1') ад(1' — т) х(1'). (2) х(1) = и(1) — С(1 — т) ох(т). (3) Полагая в (3) 1 = т, находим х(т) = и(т) и решение уравнения (1): х(1) = и(1) — С(1 — т) о и(т). (4) Следовательно, х(1) = и(1), 1 < т: х(1) = и(1) — 11(г — т) а и(т), 1 > т.
Отметим, что при значении 1 = т возникает скачок скорости гах = — д и(т). 4.3.9. Определить вынужденные колебания слабозатухающего осциллятора под влиянием силы Р = Ро созаг1. Начальные условия х(0) = О, х(0) = О. Решение. Рассмотрим случай, когда аг = ага + е, е « ые. Из формулы (7) задачи 4.3.6 получим х(1) . — а Ве ~е11'7д(1 — 1') е '"' = КеАе '"г ' (1) т е А(1)е '"~О = — 1 — ехр( — — + ге1 ) (аг~ — аг~ — гш у) .
(2) Фаза и амплитуда являются медленными функциями времени; ~А~ << « Ааг, (ег~ << ~ег~аг. Из (2) находим А(1) = (1 — 2е тгдг соее1+ е („,г „,г)г г, г Исследуем три частных случая переходного режима [62]. Здесь и(г) -- Решение УРавнениЯ х+ агегх = 0 с начальными УсловиЯми, заданными в момент времени 1о < т, С(1 — г') = В(г — 1') В(1 — 1')— функция Грина, Р(1 — 1') = (1/аго) вш ага (1 — 1').
Из (2) получим [Гл. 4 Линейнмсяолебанил 202 1. у ф О., е = О. В этом случае А(г) = с (1 — е трв). 2. 1=0,с~О.Тогда А(1) =- э[ив Р . ег тыо [е[ 2 3. "; = О, е = О А(1) =- Функция А(1) изображена на рис. 4.3.9. АО А(0 А(0 А(0 Рис. 4.3.9 4.3.10.
Сила, действующая на слабозатухающий осциллятор, г'(1) .= Ге сов ы8 (1 ) О). Исследовать стационарный режим движения осциллятора. Решение. Уравнение движения в стационарном режиме (1» Т ~) имеет решение ~'о х(г) = — Ке, = С сов(ыг+ ~р), гн ыеэ — ые — еы7 ~с д ~( 2 з)з+ з з~ гй В совх = (ыо — ы) П ~, эшд = — ыуй Вынужденные нолебанил 203 Заметим., что С(га) достигает максимума при 2 ,оз -гсо асо ьз асы: С(ас ) = [асс ( ) ~ Рассмотрим три случая.
1. ас « що, тогда ср. О, х(с) = Со созгас, Со = Россгпасоо. Смещение определяется амплитудой силы и жесткостью как в статическом режиме. 2. ю = мо. Фаза колебаний гр = — нсс2, амплитуда С = ЯСо, ц = = асоссзс здесь Я добротность осциллятора. 3. ас » асс. Фаза колебаний Р = — сг. амплитУда С = (агоссас)аСо « « Со. Из закона изменения полной энергии находим Е = Р'"' + Р™, Ре"' = х Р(с), Р а = — тухо. Сумма среднего значения мощности внешней силы (Р ) = — — РоагС гбп«а = — уса Р О ехс 2 2 — 2 2 2«н о н среднего значения мощности силы трения (Р а) = — т асио Сасс2 равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
