Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Жесткость пружины 6, длина в ненапряженном состоянии 1о. В начальном состоянии скорости частиц равны нулю. К первой частице прикладывается ударная постоянная сила Р, направленная от первой ко второй частице, в течение интервала времени т, удовлетворяющему условию шт «1, оо~ = йтДт1тз), т = т, + тщ Импульс силы Х = Ет— конечная величина. Найдите амплитуду колебаний расстояния между частицами после действия силы. Решение. Введем ось х параллельно прямой, хщ Х1 — координаты частиц (хз ) х|).
Согласно второму закону Ньютона т1Х1 — й (хэ — х1 — 1а) + Е, тзхэ = — Й (Х2 — Х1 — 10). (2) Пусть начальные значения координат х|(0) =- О, хз(0) =- 1е. В результате действия ударного импульса частицы не смещаются. Из (1), (2) следует, что частицы приобретают скорости и, = 1,астм из =- О. Поэтому приращение полной энергии системы Š— 0 = — 1з~2тм где Е = 2 т, Х, + 2 тай~ + 2 (хз — х1 — 1о) . кз 1 2 ~ 2 Из закона изменения импульса системы частиц ЬР)М =- Г находим проекцию полного импульса на ось х: Р =- Е После действия силы сохраняются полный импульс Р и полная энергия системы частиц Е =- Ее + Е . Здесь Е =- Р (2т кинетическая энергия центра масс, Е, =- пх~/2+ йх~/2 =- йАз/2 — полная энергия относительного движения частиц, А — амплитуда колебаний расстояния х =.
Хэ — х, между частицами. Теперь из уравнения 12 12 1 ~2 — — + 2т1 2т 2 находим амплитуду колебаний А =! т1 тй 4.1.12. Частица массы т движется в потенциальном поле Эккарта У(х) = а 1Ьйх —,, 26) а. Ь сб йх ' Найти частоту колебаний в окрестности дна потенциальной ямы. Ответ:ы =6 1— (26) ~ т' 4.2] Собственные нолебан л многомерн х систем 177 4.2. Собственные колебания многомерных систем 4.2.1.
Потенпиальная энергия двумерного осциллятора гн и(х) = итпхтхп~ итп = ипт Найти собственные частоты и собственные векторы. Записать лагранжиан в нормальных координатах. Решение. Подставляя в уравнение движения Х +и пХп=О хт в виде и е ' ', получим систему — Л и +и вин=О. (2) ИЗ УСЛОВИЯ С1ЕС ! — Л~втп + итп/ = О НаХОДИМ СОбСтВЕННЫЕ ЗНаЧЕНИЯ л',, =-'(и„+и„+ (и„-и,в) +4и,',). 2 ~ Собственные векторы л,— и ит(ц ' - — и 1 и12 итрй =- — 12 и . (2) Поскольку Л, = — Зри+2(с1е1и)г1з х Зри — 2(с1е1и)из 1 (Зри) > 44е1и. (4) Неравенство (4) выполняется в любом базисе, так как Ое1и, Зри являются инвариантами.
Собственные векторы представляют столбцы матрицы Ьтр — т и ОО преобразования к системе координат, в которой базисные векторы совпадают с собственными векторами. Общее решение (1) является суперпозицией частных решений: хпп =. Ь,„ар сов(Л„1+ он). Из (2) следует, что при Л1 ф Лг собственные векторы можно подчинить условиям глт,гЛ .=Ц„., и о~то~1 .=Л'„д„.. (5) то движение системы финитно при условии Яр и > О, бе1 и > О. Отме- тим, что в случае симметричной положительно определенной матрицы всегда справедливо неравенство [Гл.
4 Линейные колебания 178 Поскольку Яр 17 = Лг + Лгг, то из (5) следует Хг = Мг =- 17ыЛ, — 2ЛгЛ2+ Ь22Л2. Л вЂ” 11 1у =с1К2 Л вЂ” 11 = — с1е —, 1/гг 2 ' получим (Ц вЂ” яп у/2 соз у/2 соз у 12 яп 7,12 Если (7гг = (722, то 'у = л/2. В этом случае 1 1 — 1 иш12) = д 1 ит12 г ъ'2 Собственные значения Лгг 2 — — Угг+~1/гг~. Полагая 1722 = О, получим вырожденную систему. Перейдем теперь к нормальным координатам о„, совершая замену х э о: х = Ь ио,„Учитывая соотношение (б), получим Ь =.
гп (ег — Лг дг) /2, 4.2.2. Точки подвеса двух одинаковых математических маятников, соединенных пружиной, находятся на одном уровне. Найти решение уравнений движения в окрестности положения устойчивого равновесия. Исследовать эффект биений.
Решение. Пусть д.лина пружины в ненапряженном состоянии (о равна расстоянию между точками подвеса маятников, 1 длина маятника. Обобщенные координаты ггы ггг углы отклонения маятников от вертикали. Потенциальная энергия (7(рг, дг) = — тд1 сов ггг — таей соя игг+ й Г 1 + — ~ (1о + 1 з1п ггг 1 Б!п ггг) + (1 соя Эгг 1 соя ггг) 1е~ в окРестности положениЯ РавновесиЯ 7гг е = дг е = 0 имеет виД Лагранжиан системы Удобно параметризовать векторы (3), вводя угол у соотношением М 7 = 211ш/(Ьы — 1722).
Учитывая, что 4.2] Собственные колебания многомерн х систем 179 где огог — — д'/1, Пг = й,1т. Система уравнений Лагранжа имеет общее решение д~ = г~~рор соэ ( >р1+ ор), (1) где Ь „= и„,~рр 1 1 — 1 и, ~г] =,— и2 1 и 00 =-— ого+ 2П, ыг = що.
2 2 Эффект биений проявляется в случае ыг - ыг, т.е. при П « ого. Полагая а = — (ыг — ыг)/2 — П~/2ого и представляя решение в виде П Етг Ггни Егмог— О2Е 1о1 агЕ '+ по г е ила 2 С ееп С 'у2 2Е получим 1 2 1 С, 2 = — а, + — аг ~ а2аг соз(2М+ ог — а1), ог соэ ог т аг соэ (М + ог) = ъг2 Сг г сов 72 2, (2) а1 э1по1 ~ аз юп(21+ юг) =- ~2С1 г эш у, 2.
Е~ — ( (ф + ~~го )) =. (3) Энергия маятников изменяется с периодом я/и (эффект биений). Этот эффект будет наибольшим при аг ог. Пусть начальные условия имеют вид 1ог(0) = О, 1ог(0) = 1оо, Д(0) = ~рг(0) = О, тогда ог = ог = О, аг = аг = до! ъ'2. В этом случае Сг = уо ] э1п ог], Сг = уо ] сов сто], где сг/2 — частота модуляции. Из (2), (3) следует ~1 г =- — Ео (1 т сов 2п1), ~о =- — гп] ыоФа. 1 2 2 2 Представление решения в виде 1о„= С„(1) сов]ого1 + 7„(1)] имеет смысл при адиабатически медленном изменении амплитуды и фазы: ]с] « огос, Я (( ого]7]. Пределы изменения амплитуды ]аг— — аг] ( Сг 2 < а1 + аг. Среднее значение полной энергии каждого маятника за период Т = 2я/ыо [Гл.
4 Линейные нолебанил 180 Таким образом, маятники периодически обмениваются энергией [62). 4.2.3. Лагранжиан двумерной системы 2 ю 2 где д д, 1У е — симметричные матрицы с постоянными коэффициентами. Найти решение уравнений движения. Решение. Найдем вначале собственные значения и собственные векторы уравнения ( — Л~д+ У) п =- Π— 1 ( — Л~д,е+ У„В) иг =.
О. (1) Преобразуем (Ц в уравнение ( — Лг+ д %) и = О: (-Лб;+ Сн)" = О, (2) где Сн д~ 11 д.! — (д.— 1) К = Дгг!!Д, Д = Д = Д12!Д Д = Дп!Д К = е[е1Дн .11 12 2! 22 Л1 2 = — — ~ — 8РС+ (ЯРС)2 — 4е[есС~ . Из (2) найдем собственные векторы сое (Я2) — сйп (,3/2) 2С1 з1п (Д,12) ' !2! соз (Д,12) ' С' — Сг ' нормированные условием и и ОО = б „. Общее решение уравнений движения: д = и~" ~ [а™ совЛ 1+ б™ сов Л 1). Движение системы финитно при условии Яр С > О, де1 С > О.
4.2.4. Частица движется по поверхности хн = ~н(д1, дг). Найти решение уравнений движения в окрестности положения устойчивого равновесия. Решение. Обобщенные координаты подчиняются уравнению (6), полученному в задаче 2.2.5, Потенциальная энергия частицы (2) Из уравнения е[е1( — Л + С) = О, С = д' У, найдем собственные значения 4.2] Собственные колебания многомсрн х систем 181 где г = 1(д) — уравнение поверхности в параметрической форме. Положение равновесия определяется условием 6(дГ/до ) = яе = О. Определим вектор нормали к поверхности до дс дб дб г п=бо [ г г] 80=6е18р~= [ г г] дд до ' дц дд ~И) = РИО) — — кп, Гс~+ где С =-.
о — сго. Это выражение можно представить в терминах тензора внешней кривизны Кд =- — е о — — п дп де (3) ддо дов Учитывая (3), находим 1 ~(Ч) = ~ИО) — —, тККд-С~С. (4) Ограничиваясь случаем линейных колебаний, получим из (1), (4) уравнение (р — 6К"б, = О, К" = д'"К „. (5) Игцем решение в виде б" = Ве иие (Л б +як )и =О, (6) Поскольку главные радиусы кривизны поверхности В1, Лг определя- ются соотношениями [6, 63) 1 г 1 1 г 1 г о + о К1 Кг~ о о К1К2 КОК!' 1 ~г пг пг то корни характеристического уравнения Лг г = ~/Л1 г.
Собственные векторы системы (6) Л,'+ яКг' „— ККг' Кг, и1г~ — — Лг + К1 ио Ю Общее решение уравнений движения (5) о" = сгоо+ 11"" (а сояЛ 1+ Ь зги Л 1), где 11р~ = и"1~1, а, Ь„постоянные. В точке локального экстремума д = ОО вектор нормали п должен находиться на вертикальной прямой. Пусть я = п8. Разлагая (2) в ряд Тейлора, получим [Гл. 4 Линейные колебания 182 4.2.5. Маятник Фуко.
Найти решение уравнений движения маятника Фуко в окрестности положения равновесия. Решение. Для того чтобы получить лагранжиан маятника, необходимо в лагранжиане свободной частицы Ь .=- —,т (и+ [йг)) + тиг = — ти — 11,8, 1 3 2 (1,е = — тпт [йг) — — т [йг) — тиг, 2 перейти к обобщенным координатам, обращающим уравнения голономных связей в тождество.
Расположим начало координат в точке О на широте ф в северном полушарии Земли. Ось е направим вертикально вверх, ось х — по меридиану к полюсу. Точка подвеса находится на расстоянии длины маятника 1 от поверхности Земли. Уравнение связи 1 = О, ( = хе + у + (е — 1) — 1~., угловая скорость вращения Земли й =- (Й соэ ф, О, Й яп ф). Выберем в качестве обобщенных координат декартовы координаты х, у и разрешим (1), ограничиваясь учетом величин (хЯ~, (у/1)з: е =- (хз + уз)/21.
С той же точностью находим [йг1 г [гг) й - Й вп ф (ху — ух). Пренебрегая вкладом центробежной энергии, получим 11„е = — Й з1пд(ху — ух) + — (х + у ). 21 Лагранжиан, описывающий движение маятника А = — т(х +у ) +Й япд(ху — ух) — — (х +у ). 1 .2 .2... тя 2 21 Уравнения Лагранжа (2) х — 2Й япф у+шех =-О, у+ 2Й вп ф х+ ыееу = О, (3) ше =. д/1. Начальные усповия г(0) = г(хе, О, 0), т(0) =- (О, ие, 0). Вводя комплексную координату г = х + 1у, получим уравнение, эквивалентное (2), (3): (4) 1+ 2$Й(+ юоб = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
