Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Действительно, .подставляя (3) в (7), получим 2 2 ео ~ ~1«Е( «) «ппр — Н) 2т Очевидно, Е(оо) = ЬЕ. Теперь найдем амплитуду Фурье Учитывая значения интегралов дххе* " = 2 — ' Кг(ар)« ~ и, .= — 2гр Ко(ау) ( о + о)еы а ' ~ (оо о)е«о (К„(ау) — функция Макдональда), получим Е«)=, [-Ь,( — ) — « — Ж ( — )).
Винужденные колебания Подставляя (8) в (0)., получим 2 2 2 ~вам сг ~Кг(с) Кг(с)~ с хо Если С» 1, то К (С) я/2С е Е и., следовательно, г г дс 2яеОЯ С . гЕ ти 6 В этом случае передаваемая энергия весьма мала. Если же Е « 1., то Ке(С) — э — 1п~/2, Кг(~) э С '~, поэтому Ьс 2ее~Я~/то~6~. Таким образом., передаваемая энергия возрастает в случае близких пролетов частиц. Сечение возбуждения электрона оказывается равным г г д~ = 2„6д6 = 2™ ти В 4.3.21. Найти решение системы уравнений К „х„+ У „х„ = г'„(г). Матрицы К,„„и У „— действительные и симметричные. Начальные условия х(0) = О, х(0) = О.
Решение А Запишем решение неоднородного уравнения в виде где функция Грина С„,(1 — Р) удовлетворяет уравнению К,С,„+ С,С,„= Б „б(1 — 1'). Представим далее С„,(г — 1') в виде разложения в интеграл Фурье: (2) (1 р) ~ д ( ) — гнр — ~ ) 2я (3) После подстановки (3) в (2) получим систему алгебраических уравнений Як=1., Я „= — и~К „+У „. (4) Кшн~пар~пи — дрн; ('т~г1~р~пи ~~~рдры. (5) Из (4) следует, что д' = Я '. Обозначим и ОО собственный вектор уравнения ( — ырК „+ У „) и <р~ =- О.
Матрица Ь р = и 00 удог влетворяет соотношениям ортогональности [Гл. 4 Линейные колебания Представим Я в виде Я = АК, А = — и!о1 + г!'К г. Тогда д = — К )А г. Поскольку матрицы К и гг приводятся матрицей г)г к диагональному виду,то ~(иК ') = ии '~(иК г)ЬЬ = бь|(2.-'илй,-'К-гл)Ь-' = ЬУ(гг.-'ид)2,-'. (6) Следовательно, [Г(ГГК г)] „= гл „1(о!~)д„гл„„[9[. Полагая в (6) Г" = К гА г, находим ге „= га „Ьан( — шо+ыо) г ифУнкцию ГРина Следовательно., решение исходной системы х„(1) = Г~гН Ь„„Ь,„о) впыв(г — 8 ) Р,(8 ). о и Решение 2.
Лагранжиан, порождающий исходную систему, 1 .. 1 ! Ь= — К „х х„— — П „х х„+х„Е„(1). Произведем замену переменных х -+ о: х = гл „г)„. Учитывая (5)! получим лагранжиан в нормальных координатах 1.(о, г)! 1) = — Г)~~ — — и!~о!)~~ + гл„г)„Р'„(1). Решение уравнений Лагранжа Ча + Г)! Г)а = Л*(1) .(а = Гана бп можно представить в виде о Я =- ~ М К,„(1 — 1') ~„(1') ! о — !гг-!') К„,,(1 — 8 ) =- — Бн 2гг (а! О)0) — о! =- 0(Х вЂ” Х') благе ' вп ог (Х вЂ” 8').
а.(, )= Г! аа н~ о — га)г — г ) 2н (аг -)-10) — о!~ = д(1 — 1') Гл „Ь„„ог ' впюн(1 — 1'). н Вынужденные колебания 215 Рис. 4.3.22 4.3.22. Два одинаковых маятника соединены пружиной. К одному из них приложена сила Р(1) = Ее соэ аЛ, направленная по горизонтали. Исследовать зависимость амплитуды линейных колебаний маятников от частоты внешней силы (рис.
4.3.22). Решение. Используя обозначения задачи 4.2.2, запишем лагранжиан системы 12 ~У1 + Р2 ~~ ('Р2 е'1) ыеМ1 + 1а2)1 ~ (1а1: Фз; 1) где (У вЂ” - энергия взаимодействия с внешним однородным полем, гМа(г) = — ззгзе — — (ее+1фз) Ре совая. Уравнения Лагранжа, учитывающие сопротивление среды, имеют вид дЕ дЬ д11 41 дд. др„др„ где П(1а„, ~р„) — диссипативная функция. Ограничимся рассмотрением сил сопротивления, линейных по скоростям, тогда Р— (г~ + Г2) И~ (Ф~ + Ф2) 2 2 где й — постоянный коэффициент. Перейдем к нормальным координатам у„— > д„: у„=- Ь„„е„.
Новый лагранжиан Ь = т1 ~ — а„— — ю„д„+ (д~ + дз) совой 2 1 .2 1 2 2 т1ъ'2 Диссипативная функция В(ды оз) =- т1~З (д~~ + ©/2, з =- И(т. Решение уравнений движения а„+ ~е„+ а~„а„= созаЛ з Ре т1ъ' 2 [Гл. 4 Линейные колебанил в стационарном режиме Ро — у У1„= Ке т1гу2 оу„— оу — уиу у Следовательно, вынужденные колебания описываются функциями г г Ро оуо — иуу — уыу уугу = с~с г г . г г е 2т1 (иуу — оу — гоу у) (оуг — иу — гиу'у) г г Ро оуг + иуу — 2оу — 2ыи у ууг е г г .
г г 2т1 (оуу — оу — аргут) (иуг — оу — гоуз) Отношение амплитуд Сы Сг колебаний маятников г г оуу оуг Су Сг [(оу~~ у оууг 2иу~)~ Ь 4иугтг) Если оу» иуы то г г Су оуу — оуг — « 1. С, 2 'о+г Для частоты ау « иуг г — < 1. Су оуу — иуг Сг огуг -Ь иггг Следовательно, связанные осцилляторы являются «полосовым фильтром» вЂ” ослабляют влияние внешней силы частотой ац лежащей вне интервала (иуг, ыу) (62). Отметим чрезвычайно важный эффект сужения резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой Си(иу) как интервал частот Ьоу„ = ы — иу„, в пределах которого значение амплитуды не опускается ниже величины 1/уУ2 С„(оу). Для изолированного осциллятора ~йуиу„~ = т. Однако при возбуждении двух мод ширина резонансной кривой ~Ьоу„~ =.
З/2. 4.3.23. Найти среднеквадратичное смещение броуновского линейного осциллятора )76]. Решение. Из уравнения движения броуновского осциллятора тй = — тпыох — Лх+ Г(у). Учитывая соотношение хх = (1уУ2) (дгхг/Жг) — хг, получим упйх .г г г Лдх г г г — тх = — тиу х — — -ь х Р(1). йог о 2 у1у Усредним это уравнение по большому числу систем как по ансамблю. Полагая в первом приближении (хР) = О, получим — (х ) + — — (х ) + 2иу (х ) = — йвТу г Л уу г г г ~ г уп М о Вынужденные колебан л 217 где йн — постоянная Больцмана., Т вЂ” температура. 1. ПУсть Ло > 8томоо, тогда (хо) =, + Сое 'е + Сое" ~, ь т тюо (1) еч,2 + Из (1) следует., что при 1-о оо величина (х~) = ИнТ(пну~~.
Это соотношение является следствием теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы. 2. Пусть Л ( 8т~ю~о, тогда (х~) =, + е ~'~~ А сов(й1+ «е), похе й= 2ыоо ~ ) Глава б НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 5.1. Метод усреднения Метод усреднения — широко применяемый асимп готический метод, позволяющий строить решения сложных дифференциальных уравнений (77 — 80). Применим метод усреднения для построения решения уравнения х + ыоз = е ) (х, л, ы1), е « 1. Суть метода состоит в том, что исходную систему можно заменить более щюстой усредненной системой. Наша задача — найти равномерно пригодное асимптотическое разложение решения. Асимптотическим приближением по параметру е решения з(1, е) называется такая функция й(1, е), что разность з(1, .е) — л(1., е), называемая остаточным членом, мала (в некоторой норме) в заданной области изменения 1., если параметр е « 1.
Одним из достоинств метода усреднения является то, что уже в первом порядке по е решения исходной и усредненной систем, совпадающие при 1 —. 1с, асимптотически близки на интервале ~1 — 1о!— — е ~. В отличие от метода усреднения теория возмущений приводит к неравномерно пригодному разложению решения [78). Ограничимся далее нахождением решения в первом приближении метода. Произведем замену переменных я, л — г А, А*, вводя комплексное представление координаты и скорости: х = — (Ае ' "'+к. с.), х = — — (Ае '"и — к. с).
(5.1.1) 2 2 В новых переменных исходное уравнение эквивалентно двум уравне- ниям первого порядка: А =- е Е(А., А*., ыо1:, 1)., А* =- е Р*(А, А*., ыс1:, 1)., (5.1.2) К = — е' а'ф(А., А*, ы01: 1), ф = 1(ХЯ, х(1), Л1). (5.1.3) ыо Представим теперь А в виде суммы плавно меняющегося (в масштабе То =- 2я/ыо) члена и вибрационных слагаемых: А = 5 + е иг(5., 5*, 1) + .. (5.1.4) и предположим далее, что усредненная система (5.1.5) 5 = е щ(~., 5*., 1) + .. Метод усреднен л 5.1] 219 содержит в правой части функции, изменяющиеся адиабатически медленно; ~ди„/дс~ << иге(и„(.
Функции и„, и„подлежат определению. Из (4)., (5) следует г рдиг диг дог 1 +е ~ иг+ „и +из+ )+... Разлагая функцию г' в ряд по е, получим из (2) в первом приближении еиг+е = ее'(5., с*, ого1; 1). диг (5.1.6) Произведем усреднение правой части (6) по периоду Те с единственной целью выделить слагаемое е г'а 1*:, е) — = (е г (5, (*, ыое:, е)), (5.1.7) изменяющееся адиабатически медленно. Дальнейшая процедура является характерной особенностью метода — мы приравниваем в обеих частях (6) медленно изменяющиеся члены: иг(С, С*, 1) = Р(~с, 5*: 1). Тогда функцию иг можно найти интегрированием уравнения (6): иг = () с11 (Р(С, С*, ыо1; 1) — Р(С: 5*; 1)~.
о В первом приближении метода усреднения имеем х = Весе г'еое и Ве( — гмое5е — гиег) (5.1.8) ( = — (ф(С 4* шо1' 1) е' ег). Функцию Ф(8, с*, иге1; 1) можно представить в виде ряда Фурье: ф(с. ~*, юе1; 1) = ф (с. ~* 1) е Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Пусть (д,(/д1) « ого ) (). Тогда следовательно, (5.1.10) [Гл. 5 Нелинейные нолебон л 220 а = — [ Йф ((х., х., ш1) яп Ф, 2лыо з о 2п а = — [ еЬ~ ( (х, х, ше) соз тд 2яаыо о о (5.1.11) (5.1.12) здесь х, — а сов Ф, х = — ашо япад Ф = шо1 + ее. Уравнения (1Ц, (12) совпадают с уравнениями первого приближения метода Крылова— Боголюбова [77[. 2.
Предположим, что 1(х., х, 1) периодическая функция с периодом Т =- 2я/ш, тогда Ф„(с, с'; 1) = Ф„,(5, 5*) е В этом случае Р(с, с*; 1) = — е ' ' Ф„,(с, с*), п,е где д = (и — 1) ыо + еш « шо. Если ш » ыо, то Р'(5, 5*; 1) —.- О. 5.1.1. Найти решение уравнения математического маятника в первом приближении метода усреднения. Решение. Представим уравнение х+ыо з[пх =О, 2 шо =бд: в стандартной форме х+ моих = е)(х), е г(х) = шов (х — япх).
Если ограничимся изучением движения в окрестности положения рав- новесия, то е1' = (ш~о/3[) хэ. В рассматриваемом случае функция е е РЫ, С. 1. 1) = — м 1 (5е ес + е*е™ее) е™" 1 ыо 3! 8 следовательно, е Р(5 (' ) = 1;6' [5['( Функция С удовлетворяет уравнению С = (ешо/16) [5[за, решение которого ищем в виде С = а е ' . Тогда ыо з ее = — — а 16 а = О., В ряде задач удобно использовать действительные переменные вместо 5, с*. Произведем в (10) замену с, 5* — ~ а., ее: с =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
