Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Даны две точки А и В, не лежащие на одной вертикали. Найти уравнение плоской кривой, двигаясь по которой частица скатится из точки А в точку В за кратчайшее время. Решение. Время движения ь ° — ]г*гь,ч'), г(г,г)— 1 ~.(О - М зависит от вида функции у(х). Каждой функции у(х) соответствует определенное значение т; тем самым т = т(у] является функционалом, а задача состоит в нахождении экстремума функционала. Найдем, как изменяется значение т(у] при переходе от функции у(х) к функции у(х) + еп(х), где е (( 1, г1(х) — любая гладкая кривая, г](а) = О, г](Ь) = О. Приращение т]у] можно записать в виде Ьт = ~ г]х Р(у+ ег1, у'+ ец') — ~ е(х Е(у, у ) = а а ь дР дР = е~дх( — О+ —,т1') +...
а Интегрируя второй член по частям, получим 1дР д дР1 оьт = в~ах у(х) ~ — — — —,~ + .. ~ду д* ду'] а Условие экстремума функционала приобретает вид 1 дР дР ду Умножая на у', получаем интеграл ,дР— у —, + Р' = С.
д„' Подставляя Е, найдем уравнение ((1+ у' ) (у(а) — у)] Пусть точка А находится в начале координат, тогда из (1) получим уравнение 211-т у 1 (2) — у ' 4дС' ' [Гл. 2 Уравнения Лагранжа 102 Произведем параметризацию, полоу жив 9 = — В(1 — сов:р). Из (2) получим х =- й (чг — вбп у). Таким образом, искомой кривой является цикг В' лоида.
Эта задача была поставлена и решена И. Бернулли в 1696 г. до создания дифференциального исчисления. Он использовал оптикоРис. 2.1.6 механическую аналогию, предположив, что движения частицы и луча света подчиняются одинаковым закономерностям. Коэффициент преломления в этом случае н й(а) — й . Можно дать простой рецепт построения искомой циклоиды. Построим произвольную циклоиду с началом в точке А (рис. 2.1.6). Затем соединим точку А с точкой В прямой, которая пересечет циклоиду к точке В'.
Совершая далее преобразование гомотетии с коэффициентом АВ/АВ', получим искомую циклоиду. Интересно отметить, что точка минимума на циклоиде лежит ниже уровня точки В: частица приобретает большую скорость и быстрее поднимается к месту назначения [8[. 2.1.7. Две частицы масс тг и тз закреплены на концах стержня длиной 1. Масса стержня т « ты тг. Эта система движется в однородном поле тяжести. Найти решение уравнений движения и силы реакций. Решение. Уравнение связи и уравнения движения ,( = (гз — гг) — 1 = О, т,г', =- — 2Л(гз — гг) + тгп, тзгз = 2Л (гг — гз) + так. (1) (2) (3) Перейдем к новым координатам гз, гг — э г„г = гз — гы где г,— радиус-вектор центра масс. Тогда из (1)-(З) получим систему (4) (5) (6) гс =ц~ гг — гз рг =- 2Лг. Найдем решение уравнений (5), (6).
Дифференцируя уравнение связи, получим (7) (8) гг = О, г~ + гг = О. 2.1] уравнения Лагранеееа нерееге реда 103 Образуем скалярное произведение правой и левой частей (6) с г и учтем (7). Тогда получим закон сохранения кинетической энергии относительного движения ~ ° 2 д — =4Лгг=-О, гав=те, аг где че =- г(0) начальное значение относительной скорости частиц.
Согласно (7) гере = О., где ге = г(0). Подставляя (6) в (8), найдем 2Л .= — д(ре/Цг. Теперь из (6) следует уравнение г'+ агат = О, ш~ = ( — ) . (9) Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, име- ет вид г(1) = ге соэ ег1+ ( — ) з1п ег1. /ме ~ (10) получим г — 17 7+ г177 = О. 8 ае Далее, используя уравнение движения гпг = — гпш~г+ Л т'7, получим (2) Интеграл энергии Н = тгз~'2+ тег~гз/2. Покажем, что имеется еще д один интеграл.
Умножим (1) на — т77 и учтем (2): ае (17,7) г — 17,7 = — ег (17,() г — 17,7 — (г — г7~ — 2ег ~17,7 — 17,7. 2- ' 2 2 21 СИ ае (, ае де Поскольку г(е) вектор постоянной длины, то г(е) должен удовлетворять уравнению г =- (еег). Отсюда находим агге .=- О, угловая скорость системы аг = (гетге)/г . Силы реакции К1 = — Кз = дювг.
2.1.8. Частица движется по плоскости, которая вращается с угловой скоростью Й вокруг вертикальной оси. Найти реакцию плоскости как функцию радиуса-вектора и скорости частицы. 2.1.9. Частица движется по эллипсоиду. Сила, действующая на частицу г' = — нце~г. Найти множитель Лагранжа и первые интегралы. Решение.. Дифференцируя уравнение связи [Гл. 2 Уравнения Лагранжа д Поскольку г — 17 1 = О, то сохраняется величина еЫ ! = — (у р") (г — у ( — 2аг~]. (3) хз — а=О 'н тх„=- — й х„+Ла ха.
— 1 (2) Равенство (1) совместно с уравнением (2), поэтому из условий х х = О, х х'г + хз = О находим 2 1 2 Л= — — г+ — йх„. а а (3) Подставляя (3) в (2), получим нелинейную систему уравнений тх =- — Й х„— —, (ганг — Йдхр)х ° 2 3 а интегрируемость которой мы хотим установить. Действительно, кроме интеграла энергии Н= — тг+ — Й х (4) существует еще один интеграл 1= М й М- И1ИзИзхай "х та", (5) где М = га ]гг]. Эта задача исследовалась К.
Нейманом еп1е в 1850 г. Алгебраический интеграл (5) был найден Уленбеком и Девани [35, 36]. Вместо (4), (5) удобно ввести три зависимых интеграла: 2 1 (е* дМе) 2 гн 2 — 1 2 Р'' = *' + г ь ь =- х' + г (хгх хнхг) (ьг "н) та а а,р нФ1 Нетрудно проверить соотношения 1 ~1~2~3 — 1 та е=1 з г'„= а . з Н= —, й„г', 2 и=1 Интегрируемость системы на зллипсоиде в поле Н = тевггз/2 была доказана Якоби [34]. 2.1.10.
Частица движется по сфере в поле Н = й„х~,12. Найти первые интегралы и множитель Лагранжа. Решение. Уравнение связи и уравнение движения имеют вид 2.2] Уравнен л Л гранхса в незавио ммх координатах 105 2.2. Уравнении Лагранжа в независимых координатах 2.2.1. Частица движется по кривой линии. Записать лагранжиан, уравнение Лагранжа и первый интеграл.
Решение. Кривая является линней пересечения двух поверхностей. Уравнения связи 11(х, р, х) = О, 12(х, д, х) = О равносильны параметрическому заданию кривой х; = х;(д), где о — параметр. Лагранжиан Ь(о, о) = — гп6(о) о — Ъ'(о), 6(о) = ( — „*), Ь'(о) = Н(г(д)). Поскольку д1 /д1 =- О, то имеет место ингеграп энергии. Уравнение Лагранжа д6., дУ тЩ+ — т — д — — = О 2 до до эквивалентно уравнению дид 1 др тв = — — — = — — —, дг дв Я; до ' где в длина дуги, д = у'Ь д. Если в качестве параметра выбрать длину дуги х; = х,(в), то лагранжиан приобретает вид Ь = твэ/2 — Н(г(в)). 2.2.2.
Частица движется по винтовой линии. Найти закон движения. Решение. Параметрическое представление винтовой линии х = — а сов о., у = а в1п а, х = 6о. Направим ось х под углом о к вертикали, а ось х расположим горизонтально. Лагранжиан Л = — (а + 6 )д — Ъ'(д), Ъ'(д) = — тра гйп о в1п о+ тд6д сова. Используя интеграл энергии, получим решение т(а -~-6) 2]Я вЂ” Ъ'(д)] ' Если ось винтовой линии расположена вертикально, то д6 1 ц — Чо+ Чог 2 э а -~-6 2 Поскольку шаг винтовой линии Н = 2к6, длина одного витка 1 = 2к~/а~ + 62, то д(6) можно представить в виде д(8) = де + Се1 — кДН вЂ” , 12 [Гл.
2 Уравнен в Лагранжа 106 Пусть да = 2я, ов — — О. Тогда время спуска 7' = 1 21'(дН). 2.2.3. Частица движется по гладкой кривой й =- а ьйп йх. Ось х горизонтальна., а ось д образует угол ег с вертикалью. Найти функцию Лагранжа и первый интеграл. 2.2.4. Точка подвеса маятника движется в вертикальном направлении по закону з = в(1). Найти лагранжиан и уравнение движения частицы. Решение 1. Направим ось з вверх по вертикали, а ось х — в плоскости качаний маятника. Обобщенная координата — угол ~р отклонения маятника от вертикали. Тогда х = 1 гйп ~р, х = в — 1 сов ~р, следовательно, Х = — (в +2вЦ з[пр+1 р ) — тя(з — 1 сов~р). (1) 2 Учитывая, что е1 в~р ьйп ~р = — — з соз ~р + в сов ~р, аг и опуская в (1) функции времени и полные производные функций, зависящих от координат и времени, получим 1, = — 1~~р~+ т(д+ в)1 совр. 2 (2) дГ г= ол.
ад, Векторы дГ/дцх образуют базис в плоскости, касательной к поверхно- сти в точке;е. Квадрат скорости 2 „„д'н д'н = Йн е1нЯн~ йя = д д 9н Е (2) Соотношение (2), представленное в виде е1за =- д е[е1н 46„, называется первой квадратичной формой поверхности [б., 7, 37, 38[. Эта Уравнение движения у+1 в(8'+ в) гйп р.— О. Решение х. В неинерциальной системе с нача,вом в точке подвеса х' .= 1 в[п р, з' =- — 1 сов р. Обобщенная потенциальная энергия 11,з = = — тиг' + ттгг', где тг(1) — ускорение поступательного движения неинерциальной системы, пе = (О, О, в), следовательно, (7,е = — т (д+ + й)1 сов ~р.
Поскольку иез =-1 р~, то лагранжиан совпадает с (2). 2.2.5. Частица движется по поверхности в потенциальном поле Н = (1(х). Найти лагранжиан и уравнение движения в независимых координатах. Решение. Пусть уравнение поверхности имеет вид х = 7 (йы дз), где оы оа — гауссовы координатные параметры (криволинейные координаты на поверхности). Скорость частицы 2.2] Уравнения Лагранжа в невавиеигвых координатах 107 форма определяет метрику двумерного многообразия (совокупности точек на поверхности). Координатные векторы ех .=. ВГ/дух образуют локальный базис.
При замене криволинейных координат дх — ~ дх их дифференциалы преобразуются по правилу (3) Любой объект А', преобразующийся по аналогичному закону: А" = ~*А", дуг называется контравариантным вектором. Второй тип векторов образуется величинами ВФ/дуг, где Ф(9) — скалярная функция точки на поверхности. Согласно правилам дифференцирования ВФ/дуг =- (дФ/ддь) (дав,1дг)г).
Любой объект В;., который преобразуется согласно закону В; = (дав/дг1г) Вы называется ковариантным вектором. Можно показать, что д„„является ковариантным тензором. Тензор д о = (д ~) д, обратный к д д, с элементами д в = (1ггд) дд/дд д.' 3' = 3' = : К и вгг ш вгг зз вп я к К д = Йе1 ~г„. = оп дзз — д„ 2 является контравариантным тензором. Предположим далее, что метрика является эллиптической: г, > О. Согласно (3) дифференциалы координат являются контравариантными векторами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
