Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Из (1), (2) получим М,— М,и (1 1) М, — Ми " 1, 1 + 1 (1 Подставляя в (3) р из (4) и учитывая (2), найдем Е'=Е— 21з Р(и) =- — (Е' — т81и) (1 — и ) — —, (М, — М, и)~. Полагая и = и = О, получим систему 21 (Е' — т81и) (1 — иг) — (М, — М, и)г = О., — !ти1 (1 — и ) — 21и (Е' — тфи) + М, (М, — М, и) = О., Из (1), (2) находим угловую скорость регулярной прецессии вокруг оси з М,— М, сояВ М 1япВ 1 [Гл. 6 Динамика твердого тела 286 из которой следует 2 М,— М,и= М, ~ М2,— 41те1и 2и Очевидно, должно выполняться условие М2, > 41тк1и, которое опре- деляет область допустимых значений М, и и.
Из (4) получим угловую скорость препессии 1 уУ~ —— М, + М2, — 41тя1~ В случае быстрого волчка М2, » 41тфи, те1 . М, ~Р1 — М ~ '» 2— Отсюда видно, что ф1 соответствует медленной прецессии, а угловая скоростырз — быстрой прецессии, не зависящей от ускорения свобод- ного падения д (как в случае свободного волчка).
Угловая скорость 1 — 12 1 »)11,2 = М, + — (М, + М2, — 41т81и). Пг Для быстрого волчка М, 1 — 1 тдуи »р1 — 1: »Р2 М»' 1 1 + Мор' = 1Фо в1п до = Мо сйп (Оо — у), Мо ' = 12 (4о + ого сов до) = — Мо сов ('у — Оо)., (1) (2) где у угол между вектором Мо = М(0) и осью 2., (3) М = Мог в1пдо+ Мо, созда = Мо соз У. Вводя переменную и = сов д, получим уравнения Мо а — Ьи ~р= — 2., а=сову, 6=сов(у — Оо); 1 1 — и (4) МоЬ(1 1) + 1 2 и = ( — ) 1(и)., (6) 6.3.26. Найти решение уравнений движения осесимметричного волчка с закрепленной точкой (случай Ж. Лагранжа).
Решение. Воспользуемся первыми интеграламн, найденными в предыдущей задаче, и зададим следующие начальные условия: ~р(0) = ф(0) = 0; д(0) = до ~р(0) = ро; д(0) = О, ~(0) = — фо Из рис. 6.3.26 следуют соотношения 6.3] Уравнения Лазранлса 287 где 1(и) = (сз — яи) (1 — иг) — (а — Ьи)г., сз = зйп ( у — до) + я соя до, я = 21т81,УМог. Функцию 1(и) можно представить в виде )'(и) = — (и — ио) (и — иго+ я (1 — и~)~, (7) ио = соя до, иго = соя (2 у — до). Очевидно., 1'(и) обращается в нуль в трех точках иы иг, из: ,,= — З~ г — гга „:)~, 1 г' 2з (8) иг = ио причем -1 < иг < иг < 1 < из при условии 4я(иго — я) < 1.
Область изменения и = сояд определяется неравенством 1(и) > О. Запишем (6) в виде Мг иг = — Я(и — иг) (и — иг) (и — из) (9) Рис. 6.3.26 и преобразуем это выражение, вводя обозначения и — иг иг- иг Мо ю = ., /з =- ., р =- — я(из — иу) иг — иг ' из — иг ' 21 Из (9) найдем юг = р (1 — юг) (1 — аггог). Решением этого уравнения является эллиптический синус: ю(1) =- яп (ру:, Й)г следовательно., и = иг + (иг — иг) яп (рз; й), (10) а период движения по углу 0 Т = (2Ур) К(й)., где К вЂ” полный эллиптический интеграл.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи. А. Свободный волчок. Положим и = О. Тогда функция у'(и) имеет два нуля иг = соя (2ч — Во), иг = соя до. В этом случае й =- О., р =- МоУ21 (из — я ~)., яп (р1; 0) =. сйп р1. Решение (10) приобретает вид 1 1 Мо сов 0 = иг + (иг — иг) сйп РЗ = — (иг+ иг) + — (иг — иг) соз — 1 = 2 2 1 Мо = соя( у — до) соя.у+ сйп ( у — до) ягп у соя — 1.
(11) 1 Это решение может быть получено независимо интегрированием уравнения (6). (С этой целью, дифференцируя (6), удобно перейти к уравнению осциллятора.) Период движения по углу 0 Т =- 2и1УМо. Представ.ояя Зг, гуу в виде М уважь а — Ь) + 21 (.1-Ьи 1 — и 1 — 1з Мо /а+ Ь а — Ь) ~=МЬ + — ( 11з 21 (,1+ и 1 — и [Гл. 6 Динамика твердого тела 288 и учитывая (11)( получим (р(Ь), »Ь(1), например, о(= «~, «ф )« (( ((( ( а.~- Ь ( 1-', и( Мо + агс$8[ 1я — Й. '((( (((( ( Заметим., что при 7 =- 0 и(1) = созда( а =- 1, Ь =- соя до. В.
Спящий волчок. Положим Оо = т = О. В этом случае иш = ио = =- 1, ((и) =- (1 — и) [я(1+ и) — 1). Исследуем устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. Полагая и = 1 — л( л « « 1, разложим 1(и) в ряд Тейлора: г" (и) =- (1 — 2е) то +... Таким образом., колебания по углу д будут устойчивы при условии 2е < 1 (Мог > 4!тпе1). С. Быстрый волчок. Предположим, что параметр я « 1. В этом случае кинетическая энергия собственного вращения волчка велика по сравнению с потенциальной энергией в поле тяжести.
В этом случае из (7) получим и» ию — я (1 — и~~о), ия —. я 1. Мы видим, что нижняя граница движения по углу О увеличивается на малую величину е. Поэтому функцию 1(и) можно аппроксимировать выражением (12) )'(и) -(и — и») (и — ия), которое можно получить, разлагая 1(и) в ряд Тейлора в точке (и» + + ио) (2. Подставляя (12) в (6), получим решение соя О = и(~((1) — — (1 — и ) 1 — соя — 1) ( где и(о((1) решение (11). Запишем решение в случае 7 = Оо. Тогда иш = ио. В отсутствие силы тяжести ось волчка неподвижна ((Ь = 0), а угловая скорость «Ь = Мо(!я. При е « 1 происходит нутация по закону г Мо соя д = соя Оо — — я[п до [ 1 — соя — 1) 2 [, 1 и возникает прецессия вокруг вертикальной оси с угловой скоростью «» = [1 — соя — 1).
Вследствие трения в точке закрепления нутации быстро затухают и волчок движется со средней скоростью прецессии (р) =- п»д(/Мо. Такое движение волчка называется псевдорегулярной прецессией. 6.3.27. Волчок на гладкой плоскости. «Основание» симметричного волчка может перемещаться по гладкой горизонтальной плоскости. Найти первые интегралы. 6.3] Ураенения Лагранжа 289 Е = — (хз + уз + 1зВз згнзВ) + — (Вз + (рз зшзВ) + + — (ф+ зг созВ') — тя созВ.
1з,' 2 2 Первые интегралы (1) (2) (3) (4) тх = ра*, ту = раю М =- 1з (В~ + зг соз О), М, = 1р япзО+ 1з ф+ Зг сов В), Е =- — (хз + у + 1здз я'и В) + — (Вз + р~ зшзВ) + + — (гр+ Зг созО) +тд' созО. (5) 2 Полагая Е' = Š— раз /2т — ра„/2т, получим из (3) — (5) уравнения, решения которых приведены в задаче 6.3.25. 6.3.28. Кинематика карданова подвеса на вращающейся платформе. Гироскоп на кардановом подвесе установлен на вращаю- щейся платформе (рис. 6.3.28).
Гироскоп состоит из внешней рамки, ось вращения которой ЫП закреплена на платформе. Внутренняя рамка может 6)! вращаться вокруг оси х~~~, жестко связанной с внешней рамкой. Ротор гироскопа вращается вокруг оси з®., закрепленной на внутренней рамке. Все три оси пересекаются в одной точке.
Ориентация платформы относительно неподвижного базиса пь (к = 1., 2, 3) задана азимутальным и полярным углами сг., Д вектора ез з базиса е„(1) (и = 1, 2, 3), жестко связанного с платформой. Угловая скорость платформы ЗЗ = Пае„, 111 = — — о з1п,З, Пз = д, Пз = о сов Д. Найти угловые скорости рамок и ротора. Рис. 6.3.28 Решение. Следует отметить, что термины кардан, карданов поднес и формула Решение. В отличие от случая Лагранжа волчок на плоскости— система с пятью степенями свободы. Выберем обобщенные координаты: х, у проекции радиуса-вектора центра масс на плоскость и три эйлеровых угла.
Радиус-вектор центра масс В =- (х, у, 1 соз О), скорость центра масс й = (х, у, — 10 яп О). Лагранжиан волчка Динамика твердого тела [Гл. 6 290 ез —— — 81п(о1 е1+ сов)21 ез, (1) ез' -ез. (1) е,' = соз )21 е, + вп 321 ез, (1) (1) Поскольку е =- (Йе), то вычисляя производную е„, получим соотношение е„= (ео(~ е„], из которого найдем компоненты угловой скорости внешней рамки а11 =- Й2 81п 321 + Й1 сов)21, а12 =- Й2 с08 1Р1 Й1 8!п )211 (1) (1) (1) (1) огз = А+Йз. Ориентацию внутренней рамки относительно внешней зададим углом поворота 1рз. (2) (1) (2) (1) (1) е1 — е1 , ез — СО81рз ез + 8!п (22 ез (2) .
(1) (1) ез —— — вп~Рзез +сов(азез В результате вычисления производной е(2) .—.— [ео(~)е(~))„певучим ком- поненты угловой скорости внутренней рамки 1о1 —— . 1Р2+ м1 ., агз -— агз со8322+ а13 вп~Р2, (2) (2) (1) (1) огз = о/3 Соз 322 — и12 81П (22. Угол поворота ротора относительно внутренней рамки обозначим 323.
Преобразование поворота (3) (2) . (2) (Ц . (2) (2) е„=сов(озе, +вп3гзез, ез = — вп(озе, +со832зез е() =-е() ЕВ ЕЗ Теперь имеем е(3) =- (ео(3)е(3)). Компоненты угловой скорости ротора (3) (2) (2) (3) (2) (2) а11 = а11 сов (оз + а12 вп (оз агз = агз сов)оз — а11 вп (оз 3 (з) . 69 а13 = 'Рз+ 1оз Отметим, что углы 1р„представляют собой эйлеровы углы поворотов вокруг осей 3, 1, 3. Используя (1) — (3)., можно прийти к исследованию множества проблем движения гироскопов (см. задачи 6.3.29 — 6.3.32). Кардано для корней кубического уравнения связаны с именем выдающегося итальянского математика Джероламо Кардано (1501 †15).
Обозначим (21 †- угол поворота внешней рамки относительно платформы, е„ вЂ” единичные векторы, направленные параллельно глав- (1) ным осям инерции рамки. Преобразование поворота ортов базиса рамки относительно платформы 6.3] Уравиенол Лагранлса 291 6.3.29. Гироскоп на кардаиовом подвесе. Гироскоп находится на неподвижной платформе (см. рис, 6.3.28). Ось внешней рамки совпадает с вертикалью. На оси ротора 21~1 прикреплена частица массы т на расстоянии з от оси я121. Найти лагранжиан и первые интегралы [142, 143]. Решение. Пусть 1~1,~ = 1з~зН = 1П>, 12~~ = 1о ~ — главные моменты инерции внешней рамки, ! = ! = 1 2, 1 = 1 — главные моменты инерции внутренней рамки, 16 ~ = 1~ ~ = 112~, 1~ ~ = 1~ ~— И вЂ” 22 — ЗЗ вЂ” О главные моменты инерции ротора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
