Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Потенциальная энергия эл,липсоида 17 = тдйз., Яз = — пя: 1г'(д, гг) = тд(6 — р ягод сояф). Положение равновесия эллипсоида определяется условиями д(У/дд = О, д(7/д4 = О. В положении устойчивого равновесия О,ч = я/2, ф, = О. Положим д = я/2+ Х1, ф = хг и учтем в кинетической энергии величины второго порядка малости по координатам и скоростям Х1, хг. В этом приближении компоненты угловой скорости в системах К' и К имеют вид О/~ = — Х1Х2 + эгг МЗ =- Х2 Згх1, ыг = хг+ Згхг, 1вг = хг яш Зг+ хг соя Зг, ыг = — хг соя гг + хг 31п уг,. вгз Х2Х1 + 12' Кинетическая энергия вращения К = — 1ьог„~, гг 2 К = — 11Х1+ — 12Зг + 1зхг 13Згхгхг+ (11 12) Згхгхг+ 2 1 2 1 2 + (11хг+ 1зхг) Зг е (хгхг+ Зг (хгхг хгх1)!. Получим теперь уравнения движения эллипсоида.
Представим уравнения связи гг1 32ыз + 33«12 =- О, 7~2 ззю1 + 31323 =. О, Ргз — згыг + згыг —— — О (5) Динамика твердого тела [Гл. 6 298 в явном виде. В линейном приближении в1 — — ах2, з~ = — зо, зз 1 ох„гче го = с 1 а, ч = 1 о — зо, зо = а — р. Компоненты вектора в в системе К связаны с матрицей поворотов Я1ь соотношением зь =- =- З';ага, З1 = — РХ2 СОВ ф+ ЯХ1 В1П аг, З2 = — Рхзв!Пег — ЦХ1 Сея ф, ЗЗ вЂ” ЗО. (б) Подставляя (4), (6) в (5), получим уравнения связи в виде С„11)1 =- О, 91 = (г-е1, %, 172; ~р, х1, х2), ег =- 1, 2, 3: ггз ЧХ1Х1 РХ22 2 = О. (7в) Ь = —, тВ.
+ — 1ьее — тлйз. 2 1 12 2 2 Согласно общему методу Лагранжа получим шесть уравнений, содержащих три неопределенных множителя, определяющих силы реакции Л11 = Л С~, [23): л 42 д7). д17„ (8а, б, в) д7, М,— — = — Л,з +Л. (9) др 11 дй дб = во (Л2 соя з1 — Л1 яш Р) — ЛзЧХ1, (10) дг дх1 дх, И д7 дб — — =- зо(Л2 в1пог+ Л1 совр) — Лзрхз. (11) яд*, д*, Здесь дА Мг = — —, Мг = 12ф+(11 — 12) Х1Х2 — 1зх2Х1+Е (Х1Х1 — Х2Х2). (12) дф В линейном приближении следует ограничиться учетом величин линейных по скоростям и координатам переменных х1 и хз.
В этом приближении из (7в) и (8в) находим Лз = тя. Введем новые перемен- ные М, =- — рхзЛ1 + дх1Л2. (13) е1 Згзз го (х1 в1п Зг х2 сов Зг) — О., 772 + 1рв1 + зо (х1 сов х + х2 в1п ег) = О, Лагранжиан эллнпсоида на плоскости Л1 = Лзсояд — Лгшп1р, Л2 = ЛзшпЗ2+Л1соя1р, в терминах которых уравнение (9) приобретает вид (7а) (7б) 6.3] Уравнения ХХагранжа 299 Из уравнений (7а, б), (8а, б) находим йг ег — =- р — огхз — охгег — во (йз + огхз)., т аг Лг 4 д фх1 рхзЗг во (хз фх1).
т е1г (14) Из (14), (13) следует уравнение М, = О, М, = М,о. Полагая в (10), (11) аг = ац аг = М,о]Хг, получим линеаризованную систему, которую удобно представить в переменных лХА хг =- зы ъХС хз = хз. вз — нзз+ йззз+ аг,зл = О, з зз — Кщ — ззззг + ыззз = О. (15) (16) Здесь введены обозначения (з+гоаг ); ыз = С (з+гоаг ) А =- твоа+Хм С = тго + Хз, Й = ъ'АС ' йл =- ]Хз — Хз + С вЂ” тзор] йз — ]Хз — Хз + С вЂ” тгогХ].
ъ'АС Характеристическое уравнение системы (15), (16) Р (1 й ) + Р (Пз Пз) + Р (агз + ага + Пзгез) + аглагз = О. Согласно критерию Раусса — Гурвица амплитуды колебаний экспоненциально возрастают (в пределах применимости линейного приближения). Из (12) следует, что при начальных условиях аг(0) = О, .хз(0) =- О., хз(0) = О., хз(0) = — хю > О, хз(0) = хзо > 0 эллипсоид начинает вращаться с угловой скоростью Зг(1) ( О, а при начальных условиях еа(0) = О, хз(0) = О, хз(0) = О, хз(0) = хю > О., хз(0) = хю > 0 эллипсоид начинает вращаться с угловой скоростью ~р(г) > О. Рассмотрим случай движения шара с симметрично распределенной относительно двух перпендикулярных осей плотностью массы., полагая Хз -— — 1з =- 1з =- 1, с = а, р =- О.
Тогда й= —, А=та +Х, ыз=О, ага=О. хз ъ'А 1 —,ле й+ глгг1 - И .лг =гге ~ .д — — нз Сле ' '+гсе Сзе', (17) После подстановки в (14), (15) йы йз ехр( — БАЛХ) находим, что характеристическое уравнение Лз (1 — а~) — аг~ =. 0 приводит к двум действительным корням Лз з = +Л, Л = агХъ'Т вЂ” йз. Общее решение представим в виде суперпозиции собственных векторов, соответствующих собственным значениям Лы Лз. [Гл. 6 Динамика твердого тела 300 где Сы Сз — константы. Очевидно реализуется обмен энергией двух мод колебаний шара. Из (12), (17) следует, что среднее значение скорости прецессии 1- йа (ф) =- аг + (хат~) =- аг + ~С, + Сз + 2кС1Сз].
6.4. Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 6.4.1. Найти потенциальную энергию взаимодействия тонкого стержня с Землей. Решение. Положение стержня длины 1 определяется радиусом- вектором центра масс Н и углами Эйлера. Потенциальная энергия стержня в неоднородном поле тяжести где п =- 1,11.
Вычисляя интеграл, получим Мт 2[К вЂ”; п1г2[-~ 1+ 2йп 2[К вЂ” п1/2[ — 1 т 2йп Единичный вектор, задающий направление стержня, и гйпеов[пд е ° — совр ебпд еи + совд е, . Вводя сферические координаты вектора К = Л(в1п а сов,З, гйпо гйп 6, саво), запишем скалярное произведение Кп = саво совд + гйпо в1п 0 сов(р —,9).
Если Л )) 1, то из (Ц следует ~У(й., и) = — С +, [Л~ — З(йп)~1+..., (2) где 1 = т12/12. Найдем приближенное выражение (1) при движении стержня на расстояниях [К вЂ” а[ (( а, где а — радиус Земли. Полагая в (2) К = а + г, получим 6.4.2. Найти потенциальную энергию взаимодействия твердого тела с Землей, если его размеры малы по сравнению с расстоянием между центром Земли и центром масс тела. Решение.
Положение тела определяется радиусом-вектором центра масс К и углами Эйлера оа относительно референционной системы отсчета. Потенциальная энергия взаимодействия тела с Землей У(К, оа) =- — СМ [К т х[ 6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения 301 Если размеры тела а « В, то подынтегральное выражение можно разложить в ряд Тейлора: 1 1 д 1 1 д 1 ~К-!-х~ й ' д11, В 2 ' ~ дрмдйз Л 1 хгдг 1 1'З(хК)~ х дз + 2 1 11з дз)- Учитывая, что свертка тензора инерции 1„= 1ы + 100 + 1зз =. 2 ~ д~х Р(х) хз, 1 1зх р(х) хгхь =- — 1сь + — 1 Аы 2 получим где Л', = е'„В, е', базисные векторы системы отсчета, связанной с телом.
Таким образом, сила, действующая на твердое тело, зависит от его размеров и ориентации. Только для однородного шара (1 в = — 1б в, 1„=- 31) второе слагаемое равно нулю. 6А.З. Центр масс осесимметричного спутника движется по кеплеровой траектории. Найти лагранжиан, описывающий движение спутника относительно центра масс. Решевие. Обозначим К вЂ” радиус-вектор центра масс спутника, ез„— углы Эйлера. Лагранжиан спутника в инерциальной системе 10> отсчета 1 10) (Н Н (01 .(О)) Н 2 + 1 (О) (Оз (1(Н 10)) (ц Поскольку размеры спутника Ь « Л, то потенциальная энергия определяется приближенным выражением, найденным в задаче 6.4.2.
Лагранжиан (1) порождает систему, состоящую из шести связанных уравнений. Три из них имеют вид Лля реальных космических аппаратов отношение второго к первому члену (Ь/Рт)з « 1. Следовательно, собственное движение спутника (неизменных размеров) относительно центра масс незначительно влияет на характер траектории. Поэтому рассмотрим задачу в приближении заданного движения центра масс К .—.
В(г), где 1ь(г) закон движения [Гл. 6 Динамика твердого тела 302 по кеплеровой траектории. Опуская в (1) члены, зависящие явно от времени, получим лагранжиан движения спутника относительно центра масс 2 11~ Далее удобно перейти в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью й вектора К(1): е = Л ь(1) пь. Здесь пь -- базисные орты инеРциальной системы отсчета: е = [йе ], й, = Пег = ег ьЛ,Лть. В новых координатах Ь( „.,Л„,1)=~1г ( +й);( +й) — и'( „,1), (З) (4) 2 я ГдЕ П'; = Е',1Ь, Е', = Яг (1) Ет, Яга(1) МатрИца ПОВОрОтОВ На ЭйЛЕрОВЫ углы, е', = Я; е + Яг е = [(ог + й)е') .. Учитывая соотношение а„дЬ/да„= аг„дЬ/дог„, получим обобщенную энергию относительного движения Не(о„, 1) = — — 1гьйгйь+ — ' ', 1гьНг Нь„К К„., (5) 1 3СМ 2 На где Нп, = Я; Л гм Нг = В.пь Первый член в (5), пропорциональный квадрату угловой скорости й~, аналогичен центробежной энергии.
Если центр масс движется по окружности, то дЬ(д1 = О. Обобщенная энергия сохраняется. Направим ось а референциальной системы отсчета с началом в центре масс спутника параллельно вектору й, а ось я-- к центру Земли. Тогда К(1) = — й(1) е, й = йе,. Векторы е, и е представляют линейные комбинации базисных векторов ем подвижной системы, связанной со спутником: е = (соЯРсоа Вг — Яп Р совд в[пф)еа — (совр Яп~Р+ + яп р совд сов уг) еа + ялмар япВ екч е =япВ впфе +вид сояфе„+соэде,. Подставляя в (3), (4) векторы аг и К, получим Ь(а„, Ь„, 1) =- — [В +(|р+й) вп~д~ + + —,' ~(р+й) .В+~,' — и'( „, 1), (6) Н'(оа: 1) = а ~1 — (1 — 1з) яп'0 вп'р~. 2й~ 6.4] Движение космического аппарата в ньютоновом поле тяготения ЗОЗ 6.4.4. Центр масс осесимметричного спутника движется по круговой орбите.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
