Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если ограничиться приближением квазинеоднородного поля, то сила Ампера Уд = р~ ~дВ;(дК. ЭДС индукции можно представить в явном виде: еф = — = — [ е]Я вЂ” + ~ Н1 [(К+ [игг'])В]. И' г ав э<с> сд> Первое слагаемое обусловлено вихревым электрическим полем, второе -- движением элементов контура. Твердое неферромагнитное тело в магнитном поле. Внешнее поле индуцирует в дна- и парамагнетиках плотность тока](1, х), которую можно представить в терминах плотности магнитного момента: ] =- го1 пь Энергия взаимодействия проводника с внешним магнитным полем индукцией В = го1 А имеет вид: И'(1, К, д) = — ~ й~х'.](1, х') А(1., К+ х') = = — ~ азх' гп(1, х') В(8, К + х').
В приближении квазинеоднородного внешнего поля Иг(1, К, оь) = — рг"ч В(1., К) +..., рг"ч -- магнитный момент проводника., ро'и = ~ г] х пт(г, х ) = — ~ Й х [х ](1, х )]. Полагая р~~~ = р~,е~ь(оь), В~(1, К, оь) = е~ь(оь)В(1, К) во (Он ) Вн~ (г1 К) полу гим И (1, К. и„) =. -р', Э„( „) В (1., К). Здесь р'„компоненты магнитного момента в системе покоя проводника.
Сила и момент силы, действующие на проводник в магнитном Динамика твердого тела [Ггь 6 314 поле; Р'„(1, К, о„) =- — = рь Яы(о ) =. р, (6.5.4а) Ь г(1., К, о„) = —, = р,', "' В; = и, [р~ ~В]. (6.5.46) Ь~„(ог) .= ~ с[1 Ь~„(1) е'"', (6.5.5) 7ь„(ео) тензор магнитной поляризуемости неферромагнитного проводника, 1' — объем проводника [13]. Магнитный момент, характеризующий отклик проводника на внешнее поле, дь„(1 ) (6.5.6) можно представить в терминах запаздывающей функции Грина 1 г Сьи(г) =- — ] дог Сьа(ог) ехр [ — г(ог+ гО)г], (6.5.7) Сь„(м) = 7ь„(ог) 1гДгюро), удовлетворяющей условию причин- ности: Сьа(т) =- О при т < О.
Производная функции Ь'„(1) = Я „(сгг(1)) В (г., К(1)) в (6.5.6) равна „" =- Я„(1) И, ч" = — + „'" — [шК]. (6.5.8) Согласно (6.5.6), (6.5.8) магнитный момент проводника [151 — 154] р; ~(1) = Вырыть =- — ~ е11~ Яы(Х) Сьа(1 — Е') Я„(1') Ъ' (1'). (6.5.9) Последнее равенство следует из соотношения дЯьг/дог, = — Яь е „.(и,), где е .; тензор Леви-Чивита, пг = ез, пв = =- е!, пг = е4 орт, направленный по линии узлов. Угловая скорость твердого тела ео = и, е[о,/еИ. Вычисление магнитного момента предсгавляет собой задачу электродинамики движущихся проводников. Из решения уравнений Максвелла следУет линейное соотношение Р' (ы) = 7ьо(ео) П'„(ы) ~'/Рв между фурье-образами магнитного момента р'„(ео) и магнитной индукции Ь'„(1) = В„'(г, К(1), о,(1)): 6.5] Электромеханика 315 Соотношение (6.5.9) представляет собой интегродифференциальное уравнение Кирхгофа.
Ферромагнетик в магнитном поле. Если шар состоит из «магнито-мягкого» ферромагнетика, то вектор плотности магнитного момента параллелен вектору напряженности магнитного поля Н. Начальный участок кривой зависимости намагниченности от величины напряженности магнитного поля — отрезок прямой линии. В слабых полях магнитный момент р1«»1 = 3 (р — 1)/(д + 2)НГ., д —. магнитная проницаемость материала. Твердое тело в электрическом поле. Внешнее поле напряженностью С поляризует диэлектрик. В результате возникает дипольный момент р,.' =- ашС»Ъ', где с«гя тензор поляризуемости., Ъ' объем 1«1 тела. Энергия взаимодействия тела с внешним полем 'гг « = — — г» «ь С, С ь К 1 (6.5.10) Определение коэффициентов а«ь — проблема электродинамики сплош- ных сред. В случае эллипсоида вращения ео (е — Ц со (с — Ц (1-Ь (с — Ц и] ' ]1-Ь (е — Цпо] где е — диэлектрическая проницаемость вещества тела, и, из — коэффициенты деполяризации, удовлетворяющие условию 2п + пз = 1 [13].
А. Диэлектрический шар. В этом случае по .=- п =- 1/3, а = аз, а =- Зео ((е — 1) /(е + 2)~. В. Вытянутый эллипсоид. В этом случае Для металлической сферы аш .=- оды, а =- Зео. 6.5.1. Конденсатор с подвижной пластиной. В схеме иа рис. 6.5.1 электрическая цепь образована конденсатором, резистором и батареей с ЭДС равной г'. Конденсатор представляет собой две плоских пластины площадью Я., скрепленных двумя пружинами.
Нижняя пластина закреплена. Конденсатор помещают во внешнее поле напряженностью Е'"' =- С(1)., С =- (О, О, С), потенциал которого ~р'"«(1, в) =- =- — С(г)ш Получить уравнения движения системы. Решение. Положение верхней подвижной пластины конденсатора массы гп определим значением координаты з на числовой оси с началом на нижней пластине.
Положительное направление тока «»1 указано стрелкой на рис. 6.5.1. Лагранжиан системы 1 = — гп5 — Н' в 2 Динамика твердого тела [Гл. 6 316 Рис. 6.5.1 2 (в ~~) гни~+ 2С( ) Ч Р = — й(г — [о) + пгниг+ — ЮС . 2 Я г 2гол Уравнения Лагранжа яг тй = — 2ь (г — 1о) — та — + Ясг, 2гоЯ О = — + Сг+ 1г — ЯРг. 1,)г го5 (2) Пластина в положении равновесия. Полагая 5 = О, Я = О, получим систему уравнений О = — 2й(г — 1о) — туг — + ЯС, 2 Ц 2гоЯ О =- — + Сг + 'и'. го 8 Равновесные значения координат и заряда можно найти приближенными методами или численным расчетом на компьютере. Теперь получим закон изменения полной энергии Н =- тйг/2+ И'.
— = — — + Я1г — ~ Н, — э — = — Яг — '+ Ц1' — Я Н. аН 55 дН ОС Ж дс дс дс 6.5.2. Бесконтактный поднес. Тонкая металлическая пластинка помещена между обкладками двух одинаковых конденсаторов, к которым подключены два электрохимических элемента (рис. 6.5.2в). ЭДС элементов ег, ео, внутренние сопротивления гг, го. Найти условия равновесия пластинки [145). Решение. Введем обозначения: 25 расстояние между обкладками конденсатора, Я площадь обкладки, т масса пластинки.
Направим ось х вертикально вверх, начало координат расположим 6.5] Электромеханика Рис. 6.5.2 на расстоянии 11 от нижней обкладки, х(1) — координата плоскости пластинки. Эквивалентная схема системы изображена на рис. 6.5.2б. Емкости конденсаторов ЕОЯ ЕОЯ 2ЬООЯ СΠ— ) С2 — ; СΠ— СО + 5+ ', 52 2 12 2 2 2 Я[ ~( ) 2( ) ( ) 26 Уравнения Лагранжа имеют вид тх = — тя+ [11'1 — Я2+ Я1+ ОО'2) — ~, (1) О= — —— ОЕ1 121 т 'О)2 — 1,22г1+ Е1., С1 Со (2) О = — Я2Т2 + Е2. ( ~2 ОЕ1 и ОЕ2 С2 СО (3) В положении равновесия х = ха, Я1 = д1, Щ = 112.
Из (2), (3) находим значения 1 111 + д2.= — (СОЕО + СОЕ2). 2 Положительные направпения токов ЯО и О12 показаны на рис. 6.5.2б стрелками, соответствующим токам, связанными с производными функций 4 и Я2 зарядами на обкладках конденсаторов, ЯО = ОЕ1+ + Ч2 -- заряд на правой обкладке конденсатора СО. Следовательно, система имеет три степени свободы.
Лагранжиан системы Динамика твердого тела [Ггь 6 Положим для упрощения вычислений е1 — — ез = С. Тогда д1 =- С|С/2., цз =- СзУ/2, х-компонента силы, действующей на пластинку в электрическом поле, хой Р = е~зи (Ь вЂ” хо) гора присоединены к Ь1г-цепи, содержащей генератор переменного напряжения в(г) =-. С соз ог1, 1 ) О (рис.
6.5.3). Найти условия равновесия пластины. Решение. Направим ось х вертикально вниз, начало координат расположим на верхней обкладке, х(1) координата плоскости пластинки. Положительное направление тока Я показано на рис. 6.5.3 Рис. 6.5.3 стрелкой. Лагранжиан системы Ь = — тх +тдх+ — 14 ° 2 "2 Я 2воЯ Уравнения Лагранжа имеют вид ~-)2 тх = тд— 2гоЯ ' 14 =- — — дЛ+ и Ях гоЯ (2) Пусть ш )) 1(Т, где Т характерное время движения пластины. Найдем решение уравнений (1), (2), используя метод усреднения. Представим х и Я в виде сумм плавных и быстроосциллирующих функций: т =- в+ и., Я =- о+ е: (и) = (е) = О.
Подставляя х и Ч' в (1), (2), получим В положении равновесия — тд+ Г, (хо) = — О, г1Р /г1х ) Π— положение равновесия неустойчиво. Согласно теореме., доказанной английским математиком С. Ирншоу (Я. ЕагпвЬач~), система неподвижных зарядов не может быть устойчивой. 6.5.3. Пластинка в переменном электрическом поле. Тонкая подвижная металлическая пластинка представляет собой нижнюю обкладку конденсатора, которая может перемещаться в вертикальном направлении. Обкладки конденса- 6.5] Электромеханика уравнения тнй = тд' — (д + (е )), (3) ое пгй = —— еаЭ' (4) 1 Ьц = — (а + (еи)) — йй, еоЭ 1 1 е = — (о1и+ ех) — ей+ У совм1. (5) (6) Ищем решение (6) в стационарном режиме в виде А е = — зш (м1+ о). (7) Подставляя (7) в (4), находим и = (Ай/юз) а]п (ы1+ о), и = д/(теоЯ).
Подставляя и в (6), получим А = (1/Я, где Я вЂ” «импеданса цепи, ~г =(Хс-Хь)а+Дг., Теперь уравнения (3) и (5) приобретают вид о г 11г тй = тя— 2еаЯ 4еоЭХ аа (8) (9) В положении равновесия г = го, о = до. Из (8), (9) находим оо = О, ха = еоЯм ~Хь — т' — гог], т =,, т ) Л. У' отдеаЯы Пг Ф тг — дг г сает 6.5.4. Конденсаторный микрофон. Найти лагранжиан и уравнения Лагранжа конденсаторного микрофона (рис. 6.5.4). Переходя к уравнениям, .описывающим систему в окрестности положения равновесия, находим, что при значениях 1 )) 1./1«, решение уравнения (9) о(1) -+ О. Из уравнения (8) следует, что положение равновесия г = го устойчиво. Частота вертикальных колебаний пластинки в окрестности положения равновесия равна й, [Гл. 6 Динамика твердого тела 320 Решение.
Пусть х — координата верхней пластины конденсатора, 1о —,алина пружин в ненапряженном положении. Емкость конденсатора С = еоЯ/х (Я вЂ” - площадь обкладок). Лагранжнан системы ь= — тх ~(х ео) +хЕ(С) 1 .т з яах 2 2еоЯ Уравнения Лагранжа тх = — 2й (х — 1о) —, + Е(1); = — ЛЯ+ б. се' Ях 2еоЯ еоо Запишем теперь закон изменения полной энергии; Е= 2пгт +й(х го) + С( 2С(х) Умножим обе части первого уравнения на х, второго — на Я и сложим полученные соотношения. В результате имеем р' цзд+~) + гг Элементарная работа, совершаемая внешней силой Рис. 6.5.5 Рис. 6.5.4 5А =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
