Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поток магнитной индукции через поверхность кольца Ф =- 6(8, г)Я, где Я вЂ” площадь кольца. При движении кольца возникает ЭДС индукции по кольцу протекает ток силой Ь'1. Положительное направление тока указано стрелкой на рис. 6.5.9. Лагранжиан системы У = — те~+ — У4~+ ЯЯ,У(1) У(г) — тЬ"в, 6.5] Электромеханика 327 где 5,Я = Ф вЂ” поток магнитной индукции через плоскость, ограничен- ную колыюм, Я = ка -- площадь кольца.
Уравнения Лагранжа Пусть Ью » В. Тогда Я - — Я,)'(1) ('(г)/Л, Ггог О г тБ =-— — — тд. 25 )4г (3) После усреднения по периоду переменного тока получим уравнение ггог ~(г тБ = — — — тд. 45 дг (4) Пусть магнитное поле создается соленоидом длины 5 с )г) витками в области — 5 < г < О. В этом случае функция Поскольку г(г )))1г < О, то кольцо может находится в положении равно- весия х = го при условии рг гг ~~г 4Л д, +та=о. Мощность, рассеиваемая кольцом в виде джоулева тепла [,7оЯ ((хо)))Ц~Я,)2.
Для кругового витка Ь = — доа [1п (8ха(т) — 1,75~, г радиус сечения провода. 6.5.11. Уннполярный генератор Фарадея. Принцип действия генератора, предложенного Фарадеем в 1831 го основан на том, что при вращении металлического диска в магнитном поле возникает напряжение между центром и наружным краем диска. Из множества применяемых генераторов этого типа рассмотрим случай генератора с самовозбуждением, в котором магнитное поле создается выходным током самого же генератора (рис. 6.5.11а) . Внешняя цепь состоит из шгтушки индуктивности самоиндукции Ьо и резистора сопротивления Л. Найти силу тока в цепи генератора.
Решение. Осевой момент инерции диска Г =- таг,)2, а — радиус диска. Электромеханическая система имеет две степени свободы; сила тока, проходящего через диск и хатун)ку — .1(1), угол поворота диска )р(г). Угловая скорость диска — о) (1). Подсоединим катушку к центральной и периферической щеткам так, чтобы поток магнитной индукции, Динамика твердого тела [Гл. 6 328 Перифер щетка Рис. 6.5.11 создаваемый магнитным полем тока в катушке, был Ф = — В,агар/2, В, У(1). Тогда лагранжиан системы Ь =- — У(1о),У + — Уог, 1 2 1 2 где 1 (р) = У о — йу, й -- постоянный коэффициент. Уравнения Лагран- жа (2) (3) Закон изменения полной энергии имеет вид (4) Для запуска генератора необходимо внешнее магнитное поле нли начальный ток.
11усть в момент времени 1 =- О сила тока равна,Уо, угловая скорость ю(0) = еоо. Из (2) следует уравнение 1(1о),У = 1еУ(ог — ые). Здесь а е = УьУк, ЭДО индукции е = Ыог. Очевидно, что возрастание силы тока возможно только при условии ыо > ог,. Из уравнений (3), (4) получим первый интеграл Ь('Р) У У 2 т УоГ +2~ (6) Постоянная интегрирования С определяется начальными условиями. Центральнй щетка — Цу),У =- —,УВ, ас к Уы = — —,У.
2 ~112 1 2~ 1 Уа Уо 0 'о 6.5] Электромеханика 329 Система уравнений (3), (6) интегрируется в квадратурах. Ограничимся решением при условиях А(оо) = Ьо, а1о » а1„.1о (( 121о/1,о. В этом случае С = 1о1о2]1о. Из (5), (6) получим уравнение '1С) ' к решение которого ,1(8) = ', с]1 — = —. С оо С сЬ(оо — 2)/г ' 2 1о На рис.
6.5.11б изображен график функции,1(Е) ]144]. Сила тока достигает максимального значения,7 = С при 1 = 1о. 6.5.12. 1'енератор переменного тока. В генераторе переменного тока имеются два контура. Один из них (ротор) подквючен к источнику ЭДС и вращается под действием постоянного момента сил М. Другой (сгатор) подключен к нагрузке сопротивления й2. Найти угловую скорость вращения и силу тока в стационарном режиме ]44]. Решение.
Пусть оо — угол поворота ротора. Лагранжиан системы 1 = — (А11Я1+ 2 1.12(Ф) ЯЯ2+ ь22Я2) + — 1Ф + М~Р. Уравнения Лагранжа 11 (1'11оо1 + 1'1202) 11191 + б~ 11 22 (1'121о1 + 1 22ог2) — 1о2О2~ 41,1 4 1р =- д 11М2+ М. и 4р В стационарном режиме Я1 —— З1 = Е/В1, С12 = 12, 1Р = а1 4112 4112 4<~ а1а1 = — Аопг; О =- 11 а2+ М. Следовательно, ,1 41 Мй ио 41р,11 (4112/422) 6.5.13. Электромагнит. В конструкции многих электротехнических устройств входят лоагнитиые цепи — совокупность ферромагнитных тел, через которые проходят и замыкаются силовые линии магнитной индукции.
Неразветвленная магнитная цепь является основой [Гл. 6 Динамика твердого тела 330 устройства с подвижным якорем — электромагнита, изображенного на рис. 6.5.13. Сердечник выполнен из стали в виде цилиндрического стержня сечения Я, якорь представляет собой пластинку массы т. Обмотка сердечника электромагнита, содержащая % витков, подключена к генератору напряжения, ЭЛС которого равна е. Сопротивление цепи — й. Получить полную систему уравнений электромагнита и найти силу, действующую на пластинку (е = 1 В, й = — 0,5 Ом, М = 125, Я = 10 а мг, длина средней линии магнитопроводов — сердечника и якоря— 1 =- 30 см). Положение пластинки определяется координатой х — толщиной зазора между пластинкой и сердечником. Положительное направление на контуре цепи обозначено ка в цепи Я =- .1.
Лагранжиан системы Рис. 6.5.13 стрелкой, сила то В =- — тх + — I (х) Я + т3х — Й (х, — 1о); 1 .г 1 г г 2 2 (1) где Ь(х) —. коэффициент самоиндукции электромагнита с воздушным зазором, й — жесткость пружины. Полная система уравнений, описы- вающих электромагнит с подвижным якорем, г аь тх = тд + —,7 — — 2й (х — 1а), 2 дх (2) Н,/ = — /й+ е. (3) = — (ВН[В+ 2дойохл) Соотношение между напряженностями магнитного поля в стали и в за- зоре найдем из закона Макснелла-Ампера (5) Для определения 5(х) необходимо найти энергию магнитного поля электромагнита У .=- 1„Уг/2 это проблема электродинамики сплошных сред.
Пусть Н, В напряженность и индукция магнитного поля в стали, На — напряженность поля в зазоре. Величина индукции данного сорта стали зависит от напряженности поля: В = 1(Н), где 1 (Н) — известная функция. Энергия магнитного поля электромагнита 6.5] Электромеханика Пренебрегая краевыми эффектами, получим из (5) соотношение Н1 + 2Нох =-,УМ. (6) Поскольку на поверхности раздела сердечник-якорь нормальная к поверхности стали компонента вектора В в сердечнике и якоре непрерывна, то В =- роНо. Следовательно, имеем два уравнения для определения В и Н: (7) доУП+2хВ(Н) =- доЛМ, В = У(Н). Положим х = О.
Тогда из (3), (7) находим,1 =,У,,У, = е/й = = 2 А, Н = Н„Не = еМ/й1 =- 1000 АУм. Из графика функции У (Н) для электротехнической стали 1511 найдем значение индукции В, = У (Не), В, = 1.,5 Тл и коэффициента магнитной проницаемости р, =. В,(роНе =- 1200. При х ~ 0 магнитная индукция в воздушном зазоре в р, раз больше индукции в отсутствии стального сердечника. Поэтому в уравнении (7) можно положить В = де до Н. В этом приближении из (7)получим (8) В— 1 +2р,х Подставляя роНо .= В в (4), и учитывая (8), найдем 2 ВВ (Н1 + 2хйо) 2 ВЯ ~М 2 У (~) М28 дроМВ 1-~-2р х Из уравнений (2), (3) следует закон изменения полной энергии электро- механической системы — =. еЛ вЂ”,У й, Е =- — тпх — гпбх+ Й(х — 1о) + — У,(х) Л. 4Е з 1 ° з 2 1 2 сН 2 2 Из (2) следует, что со стороны магнитного поля на якорь действует сила Е = (Е„О, 0), й = (Лз,12) гУУ ]г]х = еШ у'е]х, которую можно представить в виде Г, = — ВзВУдо.
Подставляя значения х = О, В = =- Ве, 1/до = — 8 10о А~/Н, получим Е (0) = — 180 Н; при х = 1 см значение Е = -27 мН. Отметим, что в электротехнике поток магнитной индукции в магнитопроводе представляют в виде Ф = ЛМ/й„„величину й = У У(М'реда) = Е(1(р ро + 2х/ро) называют магнитным сопротивлением цепи (ге1пс1апсе). 6.5.14. Магнитный мотор.
Ротор в электрических часах представляет собой ферромагнитный брусок, который вращается в зазоре электромагнита. Обмотка сердечника электромагнита, содержащая М витков, подключена к генератору напряжения. ЭДС генератора е(1) = =- К> соз ыос, 1 ) 0; сопротивление цепи — й. Магнитное сопротивление Динамика твердого тела [Ггь 6 цепи й = а — Б соз 20, где 0 угол между вертикалью и осью бруска (рис. 6.5.14). Найти частоту кооебаний бруска в окрестности положения устойчивого равновесия.
Реигение. Лагранжиан системы ог уг Л = + — 102, (1) 1 = т[г (12, т -- масса бруска, 1 — длина бруска. Уравнения Лагранжа: д,УЮ~ — = —,Уй+»'о сов ого1, 41 й„, 10= 2 тг0 й Рис. 6.5.14 (2) ~(1) = —. сов(ыоа+ сг), (3) йз+(ог1,)о. ь(0) = —, созе» = —, з[псг =— М~ й . »го 1 й ' У' Я «Медленное» движение бруска описывается уравнением гг Аг 10 = —, Ь ззп20. йг После подстановки 1(г) из (3) получим уравнение 1,» угь 10 =— гйп 20. 2 [(йй ) -~- (ыо% ) ~ (4) В окрестности положения устойчивого равновесия 0, = 0 уравнение (4) приобретает вид 0 + П'0 = 6. Здесь й - — частота линейных колебаний бруска, П2 рмь г [(а — 6) й + (»год' ) ) 6.5.15 — 6.5.16.
Трехфазный асинхронный двигатель. В асинхронном дви~ателе токи в обмотках статора порождают бегущее магнитное поле, которое индуцирует токи в витках ротора и, взаимодействуя с этими токами, создает вращательный момент сил Ампера. Рассмотрим движение бруска в стационарном режиме при условии ого» [0[. В этом случае из (1) находим 6.5] Электромеханика 333 1 (~0' ~г) Рис. 6,535 Для получения бегущего магнитного поля в трехфазной системе используют три обмотки, поперечные оси симметрии которых образуют друг с другом углы, равные 120'. Обмотки включают в сеть трехфазного напряжения по схеме «звезда». На рис.
6.5.15а показано сечение обмотки одной фазы статора в плоскости ху. Проводники обмотки равномерно намотаны на одну треть площади внутренней поверхности статора. Две другие обмотки заполняют соседние участки статора. Тонкий воздушный зазор отделяет статор от ротора, выполненного из медных стержней, торцевые концы которых замыкаются накоротко медными кольцами (так называемое «беличье колесо»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
