Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 53
Текст из файла (страница 53)
задачу 3.3.3) (Ц. Решение. В инерциальной системе гамильтониан 2 Н = ' + У(гг, гг, гз). 2т а Произведем КП г„р, — ~ х, ггг, гпн р, ргг, рлз, порождаемое ПФ гг(га; Р, Ргг Ргз) = зьр+ (Гг Г1) Ргг+ (Гз Г1) Ргз, где В радиус-вектор центра масс. Из (7.1.2) находим «П1 тг Р1 = — Р Ргг Рлз Рг = — Р+ Ргг т т тз рз 11+ Р12, х = К~ Г12 = 12 Г1~ Глз = гз 11. После замены переменных получим Р 1 2 1 2 Н = — + р12+ ргз+ — рггрг;1+ П(глг, ггз), 2т 2рлг 21112 тл 2 Н Рл С т1то 1о 2рл„гл„ 1 слтгтз ЬН = — Рлгргз тл )Гл2 — Г»З~ Составляющая гамильтониана ЬН может быть учтена как возмущение. 7.1.28. Коллективные координаты в задаче трех тел.
Найти КП, которое при тг « т1, тз приводит к задаче о движении частицы тг в поле двух «центров». Решение. Помещая начало координат на частицу гпг, получим л г 2 Н = — + + + — РмРгз + У(ггм ггз). Р Ргл Ргз 2т 2ргл 2ргз тг Выберем ПФ ц21 л кг л' г = л»ггв + — ( — — гг1) Г21 + тг (,2 "гз 7 к» вЂ” ( — +,).„. тг (,2 которая реализует КП г»«гга~ Р; Р2«» с1о~ Ча~ гсо., гга.
Г21 Рм =- Ргз = здесь т = тл + тг + тз., д з приведенная масса частиц а и Ь. ОчевиДно, Р полный импУльс. Если т1 » тг, тз, то Н можно представить в виде Н =- Р (2т + Н12 + Нгз + ляН, [Гл. 7 Ураоненил Гамильтона К = с[о, р = во. Новый гамильтониан Н .= яо~/2т+ Ньз + Нг, г 111 тг у Ч1'З тг 1' Ч1'~ Нгз = — Стггпз — [Чг+ — ) — — [Чг — — / 2М1 Зггз 2 дм 2 2 — 1 — 1 22 Ц21 111 ргз Ч1 Н2 = Ст2т1 Ч2 Ст2тз Ч2 + 2Мг та 2 2 гп2 2 — 1 — 1 М н12 1 н11нгз М 2 1 н111пз 2 тмтгз тмтгз Поскольку при тг (( тг, тз массы М1 ды, Мг тг, то гамильтониан 2 з., С тгтз 2Н12 [Ч1 [ описывает движение системы частиц тг, тз по кеплеровой траектории.
Гамильтониан 2 Н г =- 2тг Стгтг СтгтЗ Чй Чг 2 111 Чг + 2 т г + тзгз1 Рг =- Наго + (гз — г1) Л'1 + г2— тгз реализует КП к переменным Якоби (см. задачу 3.3.5). Решение. Из (7.1.2) находим тг тз ей 1 гл1 гг = Чо — — Чг — Ч11 Р1 = — нов т ты ' т тгз тгз т2 гг = Чо+ Чг, Рг = — ого+но, т т тг тг гз = Чо — — Чг+ Ч1, т тгз тз тз Рз гго ггг + н1 т тгз В новых переменных гамильтониан Н = — + + — — Н(Ч1 Чг) 2т 2нгз 2н Стгтпз Сн12 гпз тп1 Ч2 Ч1 н112 тз Чг+ Чг тгз приводит к задаче движения частицы тг в поле двух центров. Преобразование (1) позволяет в адиабатическом приближении рассмотреть процессы перестройки тг+(тзтг) — з тз+(тгтг) в связи с расчетами сечений перезарядки [91[. 7.1.29.
Задача трех тел. Показать, что ПФ вЂ” 1 — 1 — 1 где р =т,з +тг . 7.1.30. Найти решение системы с гамильтонианом = (1г/1г) я|пггг сояуг+соя рг ягпЗгг [02]. Указание. Производящая функция гг = (Фг + 'Рг) Рг + (ггг — 'Рг) Рг реализует КП 1г, г = рг х рг, Рг, г = [хг+ хг)/2. Новый гамильтониан Н(х, р) = я]пхг+ я]пхг. Рг Рг Рг 'Рг Рг — Рг Первый интеграл Но(рг — рг) =- рг яш хг + рг гйп хг. Отсюда находим С = Норг — Рг Ягпхг, С = Норг+Рг Ягпхг. Поскольку Рг Рг — — — сов х~., Рг -Рг Рг Рг = — соз хг, Рг — Рг то эти уравнения равносильны системе арг "Рг Рг серг Рг дрг 1 Л 7.' 7 Л 1п =- рг — (С вЂ” Но рп ) г .
7.1.31. Введем новые координаты ег" г = хь н импульсы зг" = рь (й = 1, 2, ..., з). Записать канонические уравнения в переменных зп, н=-1,2, ...,2з. Решение. Введем набор функций аг Р = — огзо, представляющих матрицу, имющую блочный вид, причем на ее диагонали выстроены 2 х 2-матрицы с элементами огг = — огг =- 1, оы = о.гг =- 0: О ... О Скобкой Пуассона функций А и В является кососкалярное произведе- ние их градиентов. В новых переменных СП приобретает форму [А В] .д дА дв дз уравнения Гамильтона в переменных еп имеют вид градиентной си- стемы с «кососимметричным градиентомь [7[: йн =- [е'", Н] =- агн дН дг 7.1] Канонические уравнен л и канонические преобразован л 355 [Гл.
7 356 Уравнения Гамильтона Фундаментальные СП являются инвариантом КП в — ~ с'с [а, в~], = [- (а, 1)аСс(а~, с)], = со о, поскольку асз ли Ю дат да'" 7.1.32. Показать, что [А В] д д АдВ д д ВдА д" де " д, д 7.1.33. Доказать, что якобиан КП с =- г(с', 1) является постоянной величиной. Решение. Якобиан преобразования д ,У =- с1е1 Лд, Л~ —— да'~ Согласно правилу дифференцирования определителя ,7 —..13рЛ-'Л = М(Л-'4ЛУ. Поскольку то, учитывая соотношения (Л с)б~Л = б~~, соа' = — со ', получим а О а~ (Л с)аЛ~~ —— 0,,1 = — О.
Правило (1) следует из цепочки соотношений [41] б 1п с1е1 Л = 1п с1ес (Л + бЛ) — 1и с1е1 Л = 1п деС (Л+ бЛ) с1еС Л = 1пс1е1(1+Л ~бЛ) = 1п(1+ ВрЛ 'бЛ) ЯрЛ бЛ. 7.1,34. Действие оператора ЬА определяется скобкой Пуассона: ВЛР' = [Р, А]. Показать, что [Хл, Хв] Р = В1,с н,Г, где [Хл, Хв] = ВА1 в — 7 в ХА — коммутатор операторов.
Решение. Поскольку [1А, Вв] — Е = Вл [Р, В', — Ав [Р, А] = [[Р, В], А] — [[Е, А], В~], то, используя тождество Якоби, получим искомое соотношение, которое, по существу, эквивалентно тождеству Якоби в операторной форме ЕлйнР+ ЬкйдВ+ йв1кА = О.
7.1] Канонические уравнения и канонические преобразован л 357 7.1.35. Дана аналитическая функция в = в(в') и оператор 1/, = =- ехр 1,. Показать, что преобразование в -э в', определенное соотношением ви = 11в'Р,является каноническим [72, 93], Решение. Произвольная функция г (х') выражается через новые переменные г по формуле Р ( ': 1) = иР( ') = Р(Н ') = Р( ( ')). Учитывая теорему Лейбница о дифференцировании произведения Л" Р(в') С(в') = [1,(Г) + ЦС)]" Г(в') С(г') (Ь(1) — оператор, действующий только на функцию ('), находим БР(в') С(в') =- —, С~1" Р(в') Е" С(в') =- БР(в') 17 С(в') = = г (в(в )) С(в(в )). Следовательно, преобразование в' -в г сохраняет СП и[Р(в'), С(в')],, =- М(в'), ис(в')) =- [Р(в)-, С(в)], и является каноническим. Штрихованные переменные удовлетворяют уравнениям в' = [в', Н'(в')], где Н'(в') = (7 Н(в').
7.1.36. Найти КП, генерируемое функцией в(в') = — Лх'р'. Рсшспис. Для вычисления (7, введем вспомогательный параметр Л заменой (7, — в ехрЛЬ, (прием, широко используемый в квантовой механике [94]) и разложим экспоненту в ряд Тейлора около точки Л =- =- 0: Следовательно, произвольная аналитическая функция преобразуется по закону Г(в(в')) =- НГ(в') =- —, [... [[Р(в'), в(в')]в]...]в].
(1) и=-О Полагая Е =- ва (р = 1, 2), находим х = е~х', р = е хр'. Найдем преобразование простейшего гамильтониана Н = р. Из (1) находим Н'=е ~р. 7.1.37. Модель одномерного кристалла. Найти гамильтониан одномерной цепочки атомов в гармоническом приближении и решение уравнений движения (см задачу 4.2.14). [Гл. 7 Ураененил Гамильтона Решеяие. Используя обозначения задачи 4.2.14, перейдем к нормальным координатам Г1й. Будем считать, что выполняются периодические граничные условия ип .=- и„»,у.
Тогда значения 1е = 2яа,11»'Ы (е = О, т1, т2,...) пробегают квазинепрерывный спектр. Смещения ип можно разложить в ряд Фурье: й й 1 1йа ип = — байи„, ип = — е Подставляя (Ц в лагранжиан и учитывая соотношения М йй — й гпа «Г 1 йй' ~ гу гп ип ип =- бйй *й й' п=г получим 2 г й а12 Несгейа 4а12 ЕШ 2йа й= о Определяя кинетический импульс рй =- д1 1'дг)й =- д й, получим гамильтониан 2 1 2 Произведем теперь КП к комплексным координатам 11й — — сй и импульг сам р„= »сй.
ой = (сг,. + с*а), рй = -1 — (с. й — сй). ъ'2агй Р2(с*., а, 1) =1 айсйег"". й Из (7.1.2) находим сй =- айехр( — ггой1), следовательно, решение (1) приобретает вид ( — гм»1-»гйпа + * ап»1 — Гйпа) 1 й »' 2агй тХ 11реобразование гь р — » а, га* реализует переход к «представлению взаимодействия» [1, 67[. 7.1.38.
Найти решение задачи Коши ип(0) = 1»(п), ип(0) =- Ь(п). В новых переменных гамильтониан Н' = 2 гойсйсй. Произведем еще одно КП, порождаемое ПФ 7.1] Канонические уравнен в и наноничесние преобразован л 359 Решение. Функция и„(1) удовлетворяет уравнению Л,и, =О, (~ т Лтв = ( 1 + 100)Амв 010 (бт,вь1 + бт,в — 1) ° 1 аг Имеем дифференциально-разностное уравнение, в котором произведение п11 играет роль координаты. Согласно теории дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных решение задачи Коши и„(1) =- Р в(1, 0) 6(в) + Рпв(1, 0) 1(в), (2) где Р,(1, 1') — решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям Р,(0, 0) = О., Рпв(0., 0) = бпв В квантовой теории поля Р,(1., Е) представляет собой перестановочную функцию Паули.
В классической теории Р,(1, Е) можно представить в терминах скобок Пуассона: Р,(1., Е) = т(и (1), и,(Е)',. Подставим решения уравнения (1) и учтем значение скобок Пуассона (аь, ва*] = бьч. В результате получим 01п 1оь(в — г ) ц„, Ртв11 1 1 т е ь Отметим, что запаздывающая функция Грина Св„(1, Е) уравнения (Ц Л вС,„= б „Б(1 — ~') имеет вид С,п(1, Е) = Р,п(1, Е) д(1 — Е), где д(1) обобщенная функция Хевисайда. 7.1.39. Модель одномерного кристалла в континуальном приближении. Найти гамильтониан и каноническую систему уравнений в предельном случае непрерывного распределения масс.
Решение. Ведем числовую ось х. В континуальном приближении частице с номером п соответствует положение равновесия в точке с координатой х = поь Одномерному полю деформации и(х, 1) соответствуют смещения и„(8), п =- 1, 2, ..., и„е,(1) = и(х, 1) + (в11) — -Ь + .. ди (вд) д и дх Пусть р, Е линейные плотность и модуль Юнга. Произведем в лагранжиане задачи 4.2.14 замену т„— 1) дахр, Й11~ — 1 '(ахЕ, и и учтем приближение (1) . В результате после интегрирования по частям запишем функционал Е = ~ Ж 11х Ь, .Е = — (р(д1и) — Е(д и) ~.
[Гл. 7 уравнения Гамильтона Уравнение Лагранжа-Эйлера д5 д5 д5 ~ддги эдди ди (2) приводит к линейному уравнению 1 ди ди г дг д г (3) 1 = 7 — — (Р— рд, ) =Рд,и — Н, 1 г 2р Н= — + — (д и). Р ~ г 2р 2 Уравнение (2) (после замены 1, — > 1') имеет вид дР дН др дги дг *дд,и' д1 дх (4) Уравнение Лагранжа-Эйлера, связанное с вариацией функции р(х., 1) д5' д5' д5' д'дд +д*дд = д приводит к каноническому уравнению ди дН ди р дс др ' дс р (5) Канонические уравнения (4), (5) эквивалентны уравнению (3). 7.2.
Линейные канонические преобразования 7.2.1. Найти КП., порождаемое ПФ г1(х. х, 1) =. (оггх — 2хх + егпх ) ~ 2огг 1 гг(х, Р; 1) =- (оггх~+2хр' — егтгрг). 2огг Ответ. х = опх'+ оггР', Р = оюх'+ оггР'; опогг егггою = 1 7.2.2. Преобразование подобия. Найти условия, при которых КП х, Р— э х', Р', поРождаемое ПФ Гг(х, х', 8) = (ахг — 2Ьхх' + + сх'г),12, сохраняет форму уравнения х + го(1) х =- 0 (95). где и = Е,1р — скорость звука в среде. Импульс поля деформации р = д1.1ддеи, р = р дегь Для перехода к гамильтонову формализму введем согласно Швингеру новый лагран- жиан 7.2] Линейные канонические преобразования 361 Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
