Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Н = согаза1 — оггагаг+ ызазаз, ю1 г = (П х Ь)/2. Переходя к переменным действие — угол аз = 1зе с -зызе-зтэ В новых переменных гамильтониан а =- 1е'"1т'., а .— 1 е'" '"'. — аг .— г 1 г =- (хз — грз)., ъ'2тпыз тыз р, = г' (хз+зрз). 2 [Гл. 7 Урааненил Гамильтона получим решение уравнений движения 2 х = ~ 1! сов(от!1+ ог!) + 1г сов(атг1 — !Рг)), 2 у = [,т1! эгп (!от!+ Зт!) +; 1г Я!и (агг! !Рг)) 21з сов(атзз+ рз): рз = — Утйштыз1з тйп(а!з1+ рз): та!з тЬ вЂ” [ут1! э!и (атгг+ т!!) ь'1г з!и (а!г1 т!г)), тЬ Рг = [Л1 соз (от!! + ут!) — У 1г соз (агг! — !ттг)1.
Нетрудно проверить, что сохраняются СП, вычисленные по новым переменным. В новых переменных гамильтониан Н(!р, 1) = О. Полная энергия электрона Е = а!т1! — атг 1г + а!з1з. 7.2.9. Заряд движется в магнитном поле с вектор-потенциалом А(х) = ( — Ву, О, 0). Найти КП к гамильтониану, описывающему одномерный осциллятор. Решение. Исходный гамильтониан Н вЂ” — (р, +тйу) + — "+ — *., й =- —. 1 Рт Р, еВ 2т 2т 2т ' тс Используя ПФ Рг =- хр'+ (тпй)' ! Ртрг, находим 1 х = х! — Рг., т Ра 1 у=ха — р„з=-хз, тй ! Ри = Рг: р~ р В новых переменных гамильтониан 1г Рг Н (х, р ) =- — тй хг + — +— 2 г 2ш 2та г г г Н = — + — + — (р, — тайх) — (х — у )., Р Рт шота 2ш 2т 2т 2 описывает одномерный осциллятор, движущийся в направлении оси з.
Два первых интеграла совпадают с координатами центра окружности (х', — (тай) 'р', 0). 7.2.10. Электрон движется в статическом электромагнитном поле, задаваемом 4-потенциалом Ао = (2аг) ! Н(х~ — у ), А = В(0, О, — х). Найти КП к переменным, описывающим систему невзаимодействующих осцилляторов. Решение. Исходный гамильтониан 7.2] Линейные канонические преобриооания 369 где Й = еоВ/тс., ш22 — — ееН1таз. Произведем КП й х=-хз+ 2Рз; тщ й 2= — хз+ 2 Рм то»» шз = Йз — шз 1 2: У Х2; Р» = Ры ру = Р2, Р» = Рз используя ПФ Рз = хрз+ урз+ зрз — Й(ты~~) ~ Рзрз. В новых пере- менных Р1 1 2 2 Р2 1 2 2 (~"~2 ) РЗ 2 2 2 Н = — + — то2 х + — + — тш х 2т 2 1 2т 2 »о»2/ 2т 7.2.11. Гамильтониан частицы, движущейся в однородном поле тяжести, Н = р2,12т — тях.
Найти гамильтониан в неинерциальной системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью Й. Решение. Пусть нх — орты неподвижного базиса, и ех — орты базиса, вращающегося с угловой скоростью Й, связаны преобразованием е2(8) = Лзь(1) пь. Производящая функция Рз = Лр (1) ррх реализует преобразование аР2 ..
6Р2 Ра= =Лрар ~ ХЗ= р =Лзала ах. ' ар', (2) [ха, РЗ] = Лр Лов [х, Ра] = ЛраЛрд = бал. Новый гамильтониан г» Н'(х', р ., г) = — — тих'+ ш',Р' х,. оу', = ЛраЛ„а, Очевидно, х =. Лд хз~ + ЛР хз. УмножаЯ это выРажение на на и используя (1), получим»г = зн -~- [Й'х']. Из (2) следует, что р = = р' = р' е .
Поскольку вектор Й' связан с тензором угловой скорости соотношением ш', = ер,Й'„то гамильтониан ~2 Н'(х', Р, 1) =- — — тя'х' — Й' [х'р ]. Поскольку матрица Л ортогональная (Л,', = Л„р), то ха = Л„ахр. Очевидно, КП (2) сохраняет СП: [Гл.
7 370 Уравнения Гамильтона 7.3. Системы специального вида 7.3.1. Простейшая модель биоценоза, описывающая два биологических вида »хищник-жертва», приводит к системе уравнений иу = а (1 — иг) иу, иг = — Ь (1 — иу) иг, где а, Ь постоянные параметры ]96,. 97]. Представить уравнения в гамильтоновой форме и найти решение в окрестности положения равновесия. Решение. Введем замену иу = е, иг = е", которая приводит к каноническим уравнениям х = а(1 — е"), р = — Ь(1 ех) с гамильтонианом Н(х, р) = а (р — е") + Ь (х — е ). Первый интеграл системы — Н(х, р) = К. Разлагая Н(х, р) в ряд Тейлора в точке х .= О, р =- О, получим Н = — (арг + Ьхг) у'2.
Решение канонической системы ;У74 х = ( — [ (х сов ог1 — р зш ьуе)., (,ь,] у Ь уу/4 р = ( — ] (х' вшауЬ+ р' совуо1), а где уо = »УаЬ. 7.3.2. Записать систему — + А(1) 7" — С® я = О, — — А(1) я+ В(1) 1 =- О у(у 1х Ж ~И в гамильтоновой форме. Ответ. Н([, д, ») = (Ода — 2АЯ8+В1г) уУ2, где 1" — лкоордината», я — лимпульс». Рассмотренная система получается из уравнения Дирака для атома водорода после отде.пения спиновой и угловой частей ]98]. 7.3.3. Записать систему уравнений оусу = — гсусге '', Ууц\ агсг = — всуе описывающую генерацию второй гармоники в нелинейной среде ]13] в гамильтоновой форме. Найти решение канонических уравнений.
— Ууг — У7г Решение. После замены су = 2 о, ам сг = 2ог аг система приобретает гамильтонову форму с гамильтонианом г * — у, *г ууу — у — 1/г Н вЂ” "(а»иге ' + ау аге ): "— 'уу 'уг Рг(а, Ь*, ») =. [ауЬу + [агбге'у. а„— координаты., га*„.— импульсы.
Произведем замену ау = Ьу, аг = = Ьге ", порождаемую ПФ 7.3] Системы специального вида 371 Новый гамильтониан Н =- — 7Ьабг+ й (ЬдЬ~ + 6~~6а). Перейдем далее к переменным ов, 1: Ь„=;/Г ехр ( — г7г„), 1а сов (фа — 2фг). Н' = -71, +2И, Следующая замена переменных 12 12 со~ = ~д', порождаемая ПФ ! гва = Фа — 2ФН 1о = 1( — 21а, Ря(~р, 1') = оо~1,' + (дг — 27г~) 1~, приводит (1) к виду Н' = — 'У1з + 26 (1,' — 21~о) 1а сов Уа. — О1а ч- 26 (1,' — 21а) 1а сов 7га = Но (2) Теперь система может быть проинтегрирована в квадратурах. Учиты- вая (2), уравнение 1' = [1а, Н'] можно представить в виде 1з — — — ~(1~) 1(х) = — 166 х + (г! +166 Сг) х — 2 (2ЬС~ — с!Но) и+ Но (3) Пусть !(х) имеет три вещественных корня хг < хг < хз.
В области хг < 1г < хз функция !(1а) < О. Если произвести замену 1а —— хз + (ха — хз) х, то из (3) получим х~ — 4!с~ (хз — х ) (1 — х~) (1 — ~~ха) где б = (ха — хг) (ха — хг) ~. Интегрируя (4), находим (4) 1а .=- хг + (ха — хг) вп~(т., ~), т = — 26!у'хд — хг . Угловые переменные определяются квадратурами Но+ 71г ] ] Но+ 7!а Сг — 21г ' ] 21г Первый интеграл — 1,' = Сг. Положим у = о1, тогда существует еще один интеграл [Гл. 7 372 Уравнения Гамильтона 7.3.4. Записать систему уравнений 1и1 = уо1и2изе ~ Зи2 = нзи1изе* ~ зиз = йзи1 о2е описывающую нелинейное взаимодействие трех волн [70[ в гамильтоновой форме. Найти первые интегралы (й„постоянные параметры). Решепис.
Г1осле замены переменных и„= ьУк„и„система приобретает вид й„=- [ин, Н), Н =- 12 (и',изизе ''+к. с.)., где й =;4~122122, и„— координаты, ги*„— импульсы. Производящая функция Рз(и, а*, 8) = Зига1 + Зизаз + Гизазезз порождает замену и1 = а1, из = аз, из = азе 12 и новый гамильтониан Н = — 'уаз аз + й (а,*аз аз + агазаз) Перейдем теперь к переменным действие-угол, произведя замену ан = .= угТ„е *"", а затем преобразование ~р, 1 — ~ 1Р'., 1', порождаемое ПгР г2(Ф: 1 ) З2111 + Ф212+ (Ф1 З22+ Ззз) 1з. Учитывая (7.1.2), находим З21 = Ф1, 'дз = Зоз, Фз = Ззз Ф1+ З22 12 12 13~ 13 1З 11 = 11+1з Новый гамильтониан Н(22', 1', 1) = — У12 + 2к (1,' + 1з) (12 — 1з) 1з соз Ззз Очевидно, 11 = С1, 12 = Сз — первые интегралы. Г!оложим у(1) = О!.
Тогда существует еще один интеграл Но = — 012+21 (С1+ 11) (Сз — 12) 1з соз~рз. 7.3.5. Преобразование Фрелнха. Гамильтониан системы Н = Но+~', з Но = ыьаьаю 1' = й (агазаз+ агазаз). о=1 Найти КП, которое позволяет исключить из гамильтониана члены и. Решение. Произведем КП а, а* — ~ с, с*, генерируемое функцией з = з(2') (см. задачу 7.1.35): Н'(2') = Н(2') + [Н., з) + — [[Н, з), з) + .. 7.3] Системы специального вида 373 Генератор преобразования, содержащий малый параметр 7, выберем в виде в = 17сгсзсз+ к. с, Величина 7 12 подлежит определению. Собирая члены одного порядка малости., находим Используя фундаментальные СП [с*„, сь] = зб„ь, вычислим предвари- тельно величину [Нв, в] + Ъ = ( 7 ((вз — (в( — (вз) + й) с(сзс3 + к. с.
Полагая у = и (ыз — а(1 — а(3) 1, получим 1 й — [Нв, 3] + Ъ' = — с„*сзсз + к. с. Для вычисления последнего слагаемого в (1) достаточно найти СП 1 [с*,с,сз, с, с*,сз] = — [с, [' ]с,]'+ ]сз]' ([с,]' — [с,['). Переходя к переменным действие — угол: с„= 2(7„е'т-, запишем га- мильтониан (1) Н (((2", 1) (вн1н + + й (1112 — 13 (11 — 12)) и=1 (а(2 (в1 а(2) Если 13(0) «1„12, то второе слагаемое можно интерпретировать как энергию взаимодействия между частицами 1 и 2, обусловленную обменом частицей 8 [94). Замена переменных имеет вид а„= с„+ [с„, 3]+...
= с„+ у (б„гсзсз — б„зсгсз+ б„зсгсз) + .. Яз = — (азаг — а',аз)., 2 1 Я, = — (а,аг+ аза1)., 2 1 ЯЗ = — (а1а1 пза2); 2 м = — (а,а1 + азаз)., 1 2 то, используя фундаментальные СП [а„', аь] =- гб„ь, получим [Я ., Яд) =- е„д.,Я., [Н„, Х] = О. 7.3.6. Вектор Я и скаляр М определены соотношениями Я =- (Р*о'32((2, Ю =- 32*((2/2, где (р — двумерный спинор с компонентами а(, аз, о — матрицы Паули.
В комплексном пространстве с координатами а„и импульсами за*„гамнльтониан Н = (31 ~31~ + 32 ~32~ + ез ~Я)((2. Найти уравнение, которому удовлетворяет вектор спина Я. Получить решение уравнений движения. Решение. Поскольку [Гл. 7 374 Уравнения Гамильтона Соотношения (1) совпадают по форме с перестановочными соотношениями для оператора плотности магнитного момента во вторичноквантованной теории. Сферические углы В, 22 вектора Я вводятся соотношениями а1 = ь12 сов (0212) е ЗЕ12, аг = у2 гйп (В/2) е1"12. Учитывая (1), находим Следовательно, система (2) о1 = огоз; ог =.
оЗо1~ оз = о1ог (3) Е2ЕЗ ЕЗЕ1 Е1Е2 после замены Я вЂ” 1 — Я совпадает с уравнениями Эйлера для свободного асимметрического волчка (23). Решение (3) следует, по существу, из соотношений, связывающих эллиптические функции (5]: д — СПЗ =- — ЗП212ПЗ, 42 а1 — ВПЗ =- СПЗ днг, а13 — дпг —.— — й вп2 сп2. 2 212 Переходя к переменным действие — угол а„= ь27„е '"'", 1112 сов(121 — рг), Яг = — 1112 31п(д1 — Рг), 1 1 оЗ = (21 22) 2У вЂ” (21 + 22) 2 2 (4) запишем исходный гамильтониан 1г1 1'1 1Е1 11 Н = — ( — + — )1112+ — ( — )1112 сов2('Р1 'Р2) + 4 Е1 Ег 4 Е1 Е2 + (2 22) 1 2 8ЕЗ Ограничимся далее решением в случае е1 =- ег = е.
КП 72„, 1„— 1 хн, Рн: Ф1 = — Рг+ — (Р1 — Рг) + и1, 3 (Р1 Р2) + Яг~ 4ЕЗ 61 =Р1, (5) 3 'Рг Р1 2Е 22 Р2; порождаемое ПФ 3 3 2 2е 8е обращает новый гамильтониан в нуль. Из (4), (5) находим решение системы (3) Я1 = УРЗРЗ сов (о21+ Х1 — лг), 1 ~З 2 (Р1 Р2)1 ог УРЗР2 Знг (о21+ я1 лг)1 ОЗ= (ЕЗ вЂ” Е ) оЗ 7.3] Системы специа«нного вида 375 Заметим, что гамильтоново представление уравнений (3) позволяет использовать методы теории КП для исследования асимптотического поведения эллиптических функций. 7.3.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
