Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Найти решение канонических уравнений (см. задачу 4.2.1). Р Ответ. хо = с1оех' ро = 0 р х' = — сов(Й,1+у ), р' = — 21 Й яп (Й,1+ д ). 7.1.8. Найти гамнльтониан движения осесимметричного спутника относительно центра масс. Решепие. Используя лагранжиан спутника (см. задачу 6.4.4), получим обобщенные импульсы рт =- (1 зш~д+ 13 соз~д) (у+ Й) + 1зф сов д, рв =1д., рй =1 [(р+Й) спад+41. Гамильтониан спутника Н = е (рт — ре соз д) + — + — — Йрт— 1 2 рв 21 е1п~д 21 21з — — й (1 — 1з) яп р вп д. 3 2 2 ° 2 2 7.1.9. Найти КП, порождаемое ПФ Га(х, р', 1) = р' 1 (х, 1). Ответ. х' = 1 (х, 1), р = (д)д)дх ) р~р — это единственное преобразование., допустимое в лагранжевом формализме.
7.1.10. Найти КП, порождаемое ПФ Кз(р, Р, р~., рз) = р1 р соз д + + рз р вп ~р. Ответ. Каноническое преобразование 1 р1 -— — рр сов х — — р. видар., Р 1 рз = рр яп у+ — р„сов х Р х1 =- р соз р, хе=рвах, 74 ] Канонические уравнения и канонические нреобравован л 347 [Гл. 7 348 уравнения Гамильтона реализует переход к полярным координатам [86[. 7.1.11. Гамильтониан частицы Н = ра/2т. Найти новый гамильтониан и КП, порождаемое ПФ Рг(х, х', 1) = ™ (х — х') ! Еа(х, р'! 1) = хр' — — р' 1. 2т Ответ.
х = х' + (р'/т) 1! р = р'! Н'(х'! р'! 1) = О. 7.1.12. Найти новый ппиильтониан и КП, порождаемое ПФ Ра(х! р'! 1) = хр' — пр'1+ гпхп. Ответ. Искомая замена переменных является преобразованием Галилея: х = х' + п1! р = р' + гпп, Н' = Н вЂ” пр'. 7.1.13. Найти гамильтониан свободной частицы, остающийся форминвариантным при калибровочном преобразовании, порождаемом ПФ Рг(х, р', 1) = хр' — !с(х! 1). Решение. Согласно (7.1.2) ! д( ва та! Ра Ра дв Новый гамильтониан Н'(х', р', 1) = — (р' — у1) 2гп дг Уравнения Гамильтона *а = — (Ра — д ! )! дУ д2( д2( Мы видим, что исходный гамильтониан Н = рз/2т неинвариантен относительно калибровочного преобразования, хотя уравнения второго порядка х' = О сохраняют свою форму. Можно восстановить инвариантность гамильтониана, если ввести дополнительное калибровочное поле заменой Н вЂ” г Н+ е !Р(х, 1), р — г р — — А(х, 1) с и потребовать, чтобы при переходе к новым координатам функции преобразовывались по правилу А — г А = А+ — у1, 7! — г !Р = 7! — —— с ! 1д~ е е дг Следовательно, форминвариантный гамильтониан должен иметь вид 1 е 2 Н(х, р, 1) =- — (р — — А(х, 1)) + е7!.
7.1] Канонические уравнен л и канонические преобразован и 349 Таким образом., требование форминвариантности Н(х., р, 1) относительно калибровочного преобразования приводит к необходимости введения электромагнитного поля. Аналогичное условие, используемое в квантовой теории поля, явилось основой для построения калибровочной теории элементарных частиц. 7.1.14. Аднабатнческое представление многомерной системы.
В гамилътониане Н = Не+ В, Но = р»,Г2т+Н(х), Н = Но(г), .и)+ + 1'(х, .г)), х, р -- координаты и импульсы медленной подсистемы, г), и — координаты и импульсы быстрой подсистемы. Найти калибровочное преобразование, позволяющее исключить гамильтониан быстрой подсистемы. Решение. Уравнения дг . дВ . дй (1) дх' дя' дгг' порождаемые гамильтонианом Н = Н(х, гб п)г позволяют рассматривать движение быстрой подсистемы при фиксированных координатах медленной подсистемы. Решение системы (1): г) =- д(б, 8), я =- я(б, 1), , дг(х', .гг(б., 1')) х=х, р=р — ~)г)1 д* где С вЂ” совокупность переменных х', г)', я', В резульгате КП х, р., г)., и -» х', х', р', д', я' новый гамильтониан с 1 Г, Г, дГ(х', 4(4, г')) ] Исключение гамильтониана быстрой подсистемы порождает «калибровочный потенциал», представляющий собой аналог поля Янга-Миллса.
В квантовой теории эффективные калибровочные поля возникают в адиабатической трактовке систем молекул с вырожденными электронными состояниями. При пересечении потенциальных кривых возникает знаменитая геометрическая фаза Берри (Веггд М. )' Ргос. В. Бес. 1 опд. 1984. Ъ'. 52. Р. 2111.) 7.1.15. Частица движегся в однородном поле тяжести. Найти новый гамильтониан и КП, порождаемое ПФ Ра(х, р', 1) = хр'+ тд'хб. Ответ.
х =- х', р = р' + тн1., Н' = (1,Г2т) (р' + тк1) ~. 7.1.16. Гамильтониан осциллятора 2 2 Н(х, р) = — + х . Р тго г 2т 2 Найти новый гамильтониан и замену переменных, порождаемую ПФ а) Ре(х, р') = (1гг2) (Гр'а — гтгоха + 2лг2тгохр'): б) Ел(х, х') =- — (1гг2) тагха 1н х', в) Рг(х, х', 1) = — (1гг2) тгоха 1к (х'+ го8).
[Гл. 7 350 уравненил Гамильтона Ответ. а) х = (х' — 1р'), р = — г' (х'+гр'), Н' = — нар'х', ъ'2тм Ф б) х =- в) х=- 2р' сов х', р =- — й2тюр' в[п х', Н' =- юр'., сов(ы1+ х'), р =- —;/2тмр' в[п (ю1+ х'), Н' = О. дС Ьх„= х„— х„= в др. да Ьр„= р' — р„= — в дх следовательно., бГ = Ьх„+, Ьр„= в [Р', С]. дР дР дх„" др„ Смещение системы как целого задается функцией вС =- баР, где Р— полный импульс. Если гамильтониан при смещении остается инвариантным, то сохраняется величина Р: [НР] =- О. Поворот системы как целого определяется функцией вС =- бзеМ, где М момент импульса. Если при повороте гамильтониан инвариантен, то сохраняется момент импульса М: [Н, М] = О. 7.1.20.
Известен первый интеграл ((х, р, 1) = С, х, — циклическая координата. Показать, что д" ~/дх" -- первый интеграл. Решение. Дифференцируя соотношение О=Я+У, Н], получим ха х' х 7.1.21. Доказать равенство [А(уг(х, р, 1)), В(рг(х, р, 1))] = [уы ьог] дА дВ 7.1.17. Найти КП, реализуемое Пер а) Рг(х, р') =- х~р',12, б) Рг(х, р') = х~/2р'. Ответ, а) р =- ъ'2х' р', х = и'2х'; б) р =-,~2р', х =- ие2р' х' 7.1.18. Найти КП, реализуемое ПФ а) Рг(х, р') = х 1пр', б) Рг(х, р') =- р' 1и х; в) Р~(х, х') =- хх'.
Ответ. а) х' = хе г р' = е"; б) х = е*, р = р е: в) х = — р', р = х'. 7.1.19. Даны две системы локальных координат в окрестности точки фазового пространства. Показать, что при бесконечно малом КП, порождаемом функцией Рг(х, р', е) = хр'+в С(х, р', е), приращение динамической переменной Р(х, р, 1) равно бР = — е [Р, С]. Решение. Учитывая (7.1.2), находим 7.1] Канонические уравнен л и канонические преобразован л 351 7.1.22. Гамильтониан системы имеет вид Н вЂ”.— Н(>з(х» р>)> хз> рш ...). Показать, что ьо(х>, р>) — первый интеграл. 7.1.23. Гамильтониан системы Н(1, т, р) = Н[ьо>(х>, р,)> ..., >>з,(х>, р>)> 1'. Найти решение уравнений движения. Решение.
Полная производная с]рь(хь, рь)(>11 = О, lс = 1, 2, ... Следовательно, ась(хь, рь) = Сь — первые интегралы. Разрешая эти соотношения относительно рь, получим уравнение рь = дь(хь, Сь). Подставляя рь в уравнение рь = — — дН,>дхь, получим решение в квадратуре дхь(х>н Сь) ] дН ОСь [ дСь 7.1.24. Задача Кеплера. Показать, что полная энергия, момент импульса и вектор Лапласа являются первыми интегралами. Решение. Гамильтониан Н =- ра,>2т — о>>г.
Поскольку Н =- дН]д1, то Н =- Нв. Далее найдем М„= [Мо, Н) =- сов,„[хнр, > Н)=- со».,хв [рч, Н] + о — > + е в. р [хд, Н] = — в д. хдхт — + в дтр .рвгп = О. Производная вектора Лапласа -> 1х„1 1 й„= (от) е в- [рд, Н] М. — [ —, Н) = — в в.,хдМ.,— тат 1 х — — р. +, х,з р>з =- О. тг тгз 7.1.25.
Одномерная задача Кеплера. Гамильтониан частицы р 1 Н= — — —, х>О. 2 х' Найти решение уравнений, порождаемых КП х, р о х', р'. х = 2р'~ сйпз~, х' = 2~ — в>п 2~. Ответ: Н'(х'> р') = — 1>2рз, х' = ха + 1(р'~> р' = р". 7.1.26. Гамильтониан трехчастичной цепочки Тоды [68] Н = — ян + У(у>>, >рз, >дз)., 2 сг = екм -Ь еем + е™ >доь = >>зь — >>зо. [Гл.
7 Уравнения Гамильтона 352 1 — Ягизиз + ггге™ + ггзегы + Язетгг Существование трех независимых интегралов обеспечивает интегриро- вание уравнений цепочки. Заметим, что КП 1 1/1 якз = — Рз + — [ — Рз т Рг); 3 2[2 1 1 Рги = — [292 — Ог), Рзз =- — [29з+ Ог), ъ2 У2 1 1 из Рь Яз: 3 2 Ргз = ъг2 пг, порождаемое ПФ 1 и =-3[ 1 /1 + 2 (гог — 'Рг) [,2 Рз Рг) + 1 /1 †, [Рз — Рз) [ -2 Рз + Рг), приводит гамильтониан к виду 1 2 3 2 1 2 Н = — Рз + — Рг + — Рг + г' Иг чз) 6 8 2 Потенциальная энергия в окрестности положения равновесия может быть представлена в виде ряда Тейлора: )Г [Ог ггз ) = е "~з гн + е ~г ~з ~г + е я =- 3+ — (ЗГ1г +4г1з) +2 ~ (Ог — 4цгдз) + ~ [ЗОг + 49з) + ..
Слагаемое с кубической нелинейностью было использовано Хеноном и Хейлесом при изучении движения звезды в модели галактики с цилиндрической симметрией [68[. Тода показал., что КП, порождаемое ПФ з Е [, ') — [а [ ' , ) + т. — т' ~ и[ †,из †из †а =- сопз1, сохраняет форму гамильтониана [69[. Такие преобразования известны для некоторых нелинейных уравнений и называются преобразованиями Бэклунда [70[. Они позволяют получать новые решения, используя известные частные решения [даже тривиальные). Поскольку йг = я, у' = и', то дрг гдп а,„' аР, 'Рп=0 зг Найти первые интегралы.
Решение. Очевидно, сохраняется полный импульс системы яо яг + ггз + яз и полная энергия Е = Н[р, гг). Далее, учитывая уравнения движения, найдем специфический интеграл 7.1] Канонические уравнения и канонические преобразован я 353 Полагая, например ул„= р„= О, получим лр'„из уравнения первого порядка лр'„=- 2 сЬ ул'„— а. 7.1.27. Найти гамильтониан задачи трех тел в системе отсчета с началом на одной из частиц (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
