Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Приближенное и точное решения аснмптотически близки на интервале ]Ы] в ' (см. также задачу 10.5.1). 9.2. Квадратичные системы й + (агод + 6 сов гоЬ) г = О, где 6 « гоог, аг = 2ого. Решение. Замена переменных го1 =. 2в, х(в) = в(2в,Гго)., д = (2аго,гго)г, р = 2Й,Ггог преобразует (1) к стандартной форме уравнения Матье !131,139, 140] д х , + (р+ 2и сов 2в) х = О.
дв (2) Гамильтониан, приводящий к уравнению Матье Н(х, р, в) =- — р + — (д+ 2р сов2в) х . 1, 1 г Произведем КП х, р — г а, га*: 1 р= — — (а — а ) ъ'2 х = — (а+ а*), 1 й2 9.2.1. Параметрический резонанс. Найти решение уравнения осциллятора с переменной частотой 426 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл.
9 и для нахождения приближенного решения в области д 1 представим гамильтониан в виде Н =- Но + Нм Но = (1+ и соя 2в) аа*, Ь Н =- — (д — 1) а а* + — (д — 1 + 2и соя 2 в) (ае + а*в) . 2 4 Отметим, что СП [а, а') = — г. Решение уравнений а = [а., Но), да — = — г (1+ и соя 2в) а, дв порождаемых гамильтонианом Но .
и а, =. А ехр ( — ге — г — гйп 2в1 2 представляет собой КП к переменным а, 1а* — г А, гА*. Учитывая соотношения, следующие из теории функций Бесселя [5[ ехр( — ги яш2в) = дн(и) ехр( — 2епв), г д соя2в ехр[ — ги я1п2в) = — — ехр( — ги я1п2в), 2и дв ванин|ем гамильтониан гаН в новых переменных я и'(А, 1 А*, в) = — Лн(и) (р — 1 + 2п) ехр [ — 21 (п + 1) в~ А + — 4 и 1 + к. с.
+ — (д — 1) АА*. 2 В первом приближении метода усреднения вклад в сумму дают слага- емые с п = — 1. Поскольку д г(и) = — дг(и), то як =- дАА*+ — о (АЯ + А*Я), (3) е% = — [(д — и) к~ + (д+ о) дв1. 2 (4) б = — (д — 1) /2, о = (3 — д),Уг(и)/2. Отметим, что при значениях и « 1, д1(и) =- (и/2) (1 — иг18+ ) Найдем решение уравнений, порождаемых гамильтонианом (3).
С этой целью произведем вначале КП А, гА* — г д, гп А = (д + Ы) г'у2, где с1., к координата и импульс. Это преобразование приводит (3) к самильтониану гармонического осциллятора 9.2] Квадратичные системы 427 На этом этапе решение (2) и я(в) = гу сов у+ я яп у, у = в+ — яп2в. (5) Медленные переменные удовлетворяют уравнениям — = (Б — т) я, агГ дв 47à — = — (б+ гг) гу. дв (6) 1 1 1 1 вьд й2г — г ' г2г соответствующих собственным значениям Лг а =- +и, и = — (о~ — 5~)гУе. Каноническое преобразование 9, я — э гу', гг'г 9= (9+и), и= — ( — 9+и), и'2г приводит гамильтониан (4) к диагональной форме еУУУ' = пя'гу'. Сле- довательно, 9' = ов ехр(пв), я' = яо ехр( — пв).
Полагая (1Гг)к~а = = (2оггп)~У~ сов сг, (г) У~ = (2вугп)ц~а яп об получим экспоненциально возрастающее решение (5): и х .= — |ехр(пв) сов( у+ сг) гуо + ехр( — пв) вгп ( у — о) яо]. п В. Пусть ба > а.а. Собственные векторы системы (5) 1 1 1 1 соответствуют собственным значениям Лг э = +гЛв, Ло =. (5~ — в~) гУе. Каноническое преобразование гу =- (с + с ), я =- †— (с — с*) 1 „. гу ъ' 2гг приводит гамильтониан (4) к диагональной форме еАГ' = Лосс*.
Следовательно, с = со ехр( — гЛов). В этом случае решение уравнения (2) ограничено. Следовательно, условие ~уг — 1~ = ~(3 — д) уг(р) ~ задает на плоскости угр границы областей, разделяющих в окрестности уг 1 устойчивые и неустойчивые решения. В теории уравнения Матье установлено, что А. Пусть 52 ( от. В этом случае система (6) имеет два собственных вектора каждой точке в заштрихованной области на рис. 9.2.1 соответствуют ограниченные решения уравнения (2).
Граничные кривые пересекают ось д при значениях д .= 1, 4, 9, ... В поставленной задаче (Ц и « 1, (3 — д),Уг(о) = и. В обозначениях уравнения (1) неустойчивое, зкспоненциаль- 19, и 1 4 ~8 но возрастающее решение реализуется при условии (ш — 2шс~ < Й,12ша. Это явРис. 9.2.1 ление называют пара етричесним резонансом. 9.2.2. Параметрический резонанс в магнитном поле. Заряд движется в переменном магнитном поле, задаваемом вектор- потенциалом А(1, х) = (В/2) 1" (1) ( — р, х., О), 1'ф =- 1 — й соз ш1, й « 1. Найти решение уравнений движения при ш П = еВ/тс [83). Решение. После замены переменных х, у — г и, и*: хт = х+ гр = ъ~2 и ехр ( — ьр), р = — 1 ~Н г" (г), (1) П( соответствующей переходу в систему координат, вращающуюся с угло- вой скоростью аг(~), лагранжиан приобретает вид Ь= — (х х,+й )+ .
)(х х, — хгх ) = т...г пгй 2 41 г = тй*й+ — тй — т( — 1) и*и. 2 (,2 Определяя импульсы дЛ ., „дЛ . рЛ и =- — =. ти*, и* =- . =- ти, рз = —, .=- тг, (2) ди ' ди* ' дх получим гамильтониан хг г Н = — о и+т( — () и и+ —.
гп гп (,2 ) 2т ' Произведем далее КП и, и*., г, .и, о*., рз — ~ и', и*', з'., и', и*', рз: Р 2 т ~ шс м ° мех ~ Рз ~и соз — +и айп — ), г=г + — 1, ты(, 2 2)' т (3) шаг „р . агг р ОЛ') р 2 2 ' 21' (- — — ): — и зш — + и соз —; рз =- Р,. 428 Решение канонических систем методом усреднения [Гл.
9 9.2] Квадратичные еистемъг Новый гамильтониан П2 Н' = 2(б+ — (1~ — 1)~ [(и')~ сояз — + )и')~ гйп — + + — (и и + и и ) гйпаг1~, где б = (Ггз — агз)гг4аг. ПеРейдем к медленным пеРеменным и', и' — г г1, я. В первом приближении метода усреднения яК(д, я) = б()я) + (г1( ) + а(~я~ — (9) ), (4) гг = нГгзгг4аг.
Рассмотрим два случая. А. Движение в области неустойчивости ~б~ < гг. Используя КП г1, я — > 9, гг: я =. — (я — гг1 )., ъ'2 п = ггз — бз приведем гамильтониан (4) к диагональной форме яК' = — п(я'г1'+ + Я*'йм). Решение канонических УРавнений 9' = 9ве "', и' = ггве"'. Рассмотрим движение при точном резонансе (б = 0). Тогда из (1)-(3), (5) находим (чве соя~ 2 + 4) +яОе ягп( 2 + 4))е л г — — — ( — г9ве "г + яее"г) ехр ( — г — 1 — ггр — 1 — ).
При пз » 1 частица периодически приходит в окрестность начала координат. Пусть лт(0) =- р, лт(0) = О. Тогда кинетическая энергия частицы (1гг2) тГгзрз я1г п1. Рассмотренная система может быть г использована в качестве ускорителя ионов (112). Б. Движение в области устойчивости ~б~ > а. Используя КП приведем гамильтониан (4) к диагональной форме яК' = гЛ (я"'9*' + + и'в'). Решение канонических УРавнений в' = Цвегхг, .и' = ггве 9.2.3. Гамильтониан электрона, движущегося в скрещенном поле (см. задачу 7.2.8) и взаимодействующего с электромагнитной волной, можно представить в виде Н = Нв + Н„ Нв =агг1, — агз1, +агз1з+аг1, Нг = р1 — 4гг 11„соя~„соягд.
9 =- — (9' + г а* ) ., чг2 г = п(б+ гг) 9 = — (9 — гй вы), ч'2 й = Л(б+ гг) ', Я = — (и — гй9* ), ъ'2 Л = ьгбз — оз, 430 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл. 9 Последнее слагаемое в гамильтониане — гамильтониан электромагнитного поля (см.
задачу 8.3.5). Найти 1з(1), 1(1), предполагая, что ш шз. Решение. Решение уравнений с гамильтонианом Ног 1„= рем грз з = = 'ркз+шкз1 грз = ~рз — шз1, 1 = р, гб = ~р+ш1. В первом приближении метода усреднения е11 = Др — 2аигррз соз [(ш — газ) 1+ ш + соз]. Произведем КП ~р = р' — (б — (1)1,,р =,р' б1, р .= р' рз — рг порождаемое ПФ Рз = р' [(б — 11) 1+у]+р~з (бз+уз), где 2б = ш — ш + + гд. Заметим, что преобразование описывает сдвиг частот колебаний поля и электрона. Новый гамильтониан яп = — 2а р рз сов (ф + рз) + б(р + рз) не содержит явно времени. Переходя к комплексным координатам а~ ~'р'е '", аз = р~ е етг и импульсам га*, = чгр'е'", газ р' е'"', получим гамильтониан еК (а, а*) = — а(а~аз+ агаз) + б([аг[~+ [аз[э), который представляет общую квадратичную форму.
Его можно диа- гонвлизировать методом Боголюбова — Тябликова [94]. Прямой путь со- стоит в решении линейной системы аг = [а~., е1го! = -1(баз — ггаз), аз —— г (баз — наг). Однако значительно проще воспользоваться КП а„, га*„— г рм г1*., гг, и*: 1 ., 1 аз = — (Г1+ Ы ), аз = — (4*+ 17г). ъ'2 чг2 (1) Тогда новый гамильтониан совпадает с гамильтонианом (4) зада- чи 9.2.2, следовательно., 1 ог .=. — (кое" — гг*те " ), (2) о Из (1), (2) находим решение (3) 1 д = — — (дое " +осот е" )., ъ'г2 т.= п(б+а) 1 аг = 2 [Чое (1 — 1т) 1 аз =- — [г1ое "'(1 — 1т) +1огое" (1 — зт )]., + Мое"е (1 — 1т ')].
9.2] Квадратичные системы Эти формулы определяют КП к постоянным коллективным коорди- натам оо, хо., описывающим новые невзаимодействующие возбужде- ния, образованные суперпозицией состояний электрона и поля. Пусть ао(0) =- аю, ао(0) =- аоо. В этом случае аз(1) =- аоо ей п1 — гп ' об п1 (баоо — аалто) ао = аоо ейп1 — 1п обп1 (таоо — бато). В случае резонансного взаимодействия (б = 0) энергия поля оз 1(1) = ы [1(0) сб аХ+ 1о(0) зЬ аХ~ (4) экспоненциально нарастает. Два слагаемых в (4) соответствуют вкладу индуцированного и спонтанного излучений. Кинетическая энергия электрона также возрастает.
Однако полная энергия системы сохраняется. 9.2.4. Найти решение уравнений (см. задачу 7.3.11) с„= [с„, Н], Н = У„„с*„,с„е' "'"~ в первом приближении метода усреднения. Решение. Если собственные значения энергии не вырождены, то, переходя к медленным переменным с„-+ а„, получим из (9.1.3), (9.1.4) / Н с, — -- а, + [а„КН] +... =- ае — а„е™""~., Ю, еК = ЬЕ,а,*ае, ЬЕ, = У„+ '" +... ]11е„]~ х>ю [ф<о)+ ' ° ф(о))А е-'и,' з п где Е, .= Е, + дьЕе — спектр собственных значений уравнения 00 Шредингера.
9.2.5. Найти решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Н(х, р) .= р'„/2+ й „х х„1'2 в первом приближении метода усреднения. к„„, = аьт постоянная матрица., е(е1 ь' ) О. Решение. Точное решение получено в задаче 7.1.7. Произведем КП х„— (2ш„) к~в (с„е '""'+ с*„е' "'). Здесь мы учли, что У „= У* „. Поскольку гамильтониан еК является диагональной формой, то интегрирование системы (9.1.1) приводит к решению а, = А, ехр ( — 1ЬЕ,1).
Подставляя с,(1) из (1) в формулу (2) задачи 7.3.11, получим [54, 94] еЬ = Нрйе ™М, (иш) = н1о11 + тйгшг., (н1 1212 21/югшг Н, 1 = йсгсг., Ны = нсгсг., Нерезонансный случай шг ф шг. Переходя к медленным переменным 2' = (с, гс*) — г и = (а, го*), находим из (9.1.3), (9.1.4) ! 1н) 1 г еК =- — — 2, '[Н1„р Н*„~) +...
=- 2~~ нш йгг '"~ш1,2 ш 2 г + 2шг, 2 (ш1 - шг) гаиш„а„*а„, Решение уравнений (9.1.1) о„= и17„ехр ( — гглш„1 — гоо„). Сравнивая приближенное решение 211 х1 — — — соз [(ш1+ ьш1) 1+ 221~— Ю1 йгг 21г — — соз [(шг+ггшг)1+ ~рг) +. ш1 — ш22 Мг с точным, можно заметить, что первое можно пол~нить из второго, разлагая Й„, .гл„„в ряд по мапому параггетру 912 (шг — ог ) Резонансный случай шг = шг = шо. Теперь гамильтониан гг — гнно 1 П„е ей = Но+ нгг Но = — Й (с1с2 + сгс1)~ Н2 = Йс1с2, Й =— 2шо Замена переменных (9.1.3) с1,2 = а1,2 — аг,е + .. * 21мо1 2шо Усредненный гамильтониан (9.1.4) сК = "(оге2+ ого1) 2 Цог~ + ~ог~ ) +... 2шо с помощью КП а1 2 .= 2 172 (А1 ~ Аг), приведенного в задаче 7.2.6, приобретает диагональную форму '112 ~12 2 Ьшг г=х — — г+..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
