Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 62
Текст из файла (страница 62)
А. 4Ь ( 1. В этом случае 1 о.=Л2 — Л1, Л21= — х -1/21лг иг = о — 11211~ и1 = и Б. 4/с ) 1. — 114 1 и, —. (н — — ) 11 сов( Й вЂ” — 1пЬ), 1 -114 1 и2 =-. (й — — ) 1 1 81п( к — — 1пс). В. 4Ь = 1. В этом случае и1 —— ъ7, иг = ьс1 ]в 1 8.4.6. Найти решение уравнения х + И'(1) х = О, где Иг(1) = — + Я), Ь < 1/4, 1"(1) = спйп В обозначениях задачи 8.4.1 А = 1, В = 1/т, С = 82 — нг ~тг, Л = т.
Полагая т = 1, получим замену [Гл. 8 420 Каноническая теория возмущений Решение. Функция И'(2) удовлетворяет условию Фукса. Поэтому необходимо представить гамильтониан в виде Н=-На+6, На-- — Р + гх К=- — Пл)х. 2 й 2 1 2 Решение уравнения, порождаемого гамильтонианом Но, является КП: х = ил(1) х'+ иг(1) р', р = ил(1) х'+ иг(с) р', ьл1 ьлл ил(с) = —, иг(с) = — —, ег =- Лг — Лы усо иео Гамильтониан, определяющий эволюцию штрихованных переменных Н (:с, р, с) = — 1(с) х (х, р, 2). Полагая в (8.1.7) 2„=- х, 2„=- х(хо, ро., с), получим решение исходного уравнения х(с) = хц(1) — ~ сМ2 я(ь', сл) 1(ьл) х(сл) +..., о где х(с) = ил(2) хо + иг(1) ро, 8(с ., сь) = ~х(Ье) х(ьь)~„, „, = (1Ьо) (Сл'с~~' — гл'слл).
Отметим, что С(2, Р) = — д(с — 2') д(1, Р)— функция Грина уравнения первого приближения Ряд (8.1.7) содержит интегралы вида с ле сИл д'(с, 22) 2" ~с~2 = о В результате интегрирования находим х = ег (Ь) хо + ег(2) Ро: л, лсо (, 01(т) „Ол(т) 01(т+ и) где Вл(т) = т (2Лл + т — 1). Второе линейно независимое решение следует после замены индексов 1 — ь 2. Гамильтонова тоорил специ льн х функций 421 Пусть ф(1) = С22! й = 1С4 — р2.
Тогда решениями исходного уравнения являются функции Бесселя х(с) = ь'с,с„()сс)! ( 1)!' ЗС 2Ь-~-ь ИГ(1+8+о)(, 2 !' ь=о В этом случае Л2 с = 1,12 пс: и, "!о = ',- Г'-,. (' ) †. ° .! !. ° .>(" ) ° ] Следовательно, Л (]11) —.— (Я2) (2с с!1)с !с Г(1+ р) е2(1). 8.4.7. Преобразование Лнувнлля — 1'рина [110]. Произвести КП гамильтониана Н = р~ с2+ со(1) х~,с2, порождаемое ПФ с Ес(х, х', Х) = — ъсшх с1к(х +~ъсшсй). Ответ. 2р! -2~4 в;п(х! ~ сш,11) р = ъ%' ш "4 ( '+ ~, ш 42)~, с Н'(х', р', 1) = — р' вйп2(х'+ ~ 'со с)1). сг 1 Н'(х', р', 1) = р'( — созтх' + )с з)п~х' ].
(,т Важность преобразования связана с тем, что уравнение х = — соз х + й айп х 1 2 ! т х' = (х'! Н'), не содержит функции р'! которая определяется с помощью простой квадратуры из уравнения р' = р' (т 'с — й) з)п 2х'. В терминах меха- ники р'! т' являются переменными действие — угол. 8.4.8. Преобразование Прюфера (109]. Произвести КП гамильтониана Н(х, р, 1) = рзгс(2т(1)] + й(1)хз,с2, порождаемое ПФ Рс(х, х', 1) = (1С2)х2 с18х'. Решение. В новых переменных х =;/2р' з)их'! р = сс2р' сов х' гамильтониан [Гл. 8 Каноническая теория возмущений 422 8.4.9. Произвести КП гамильтониана Н = рг/2+ ш(1) хг/2, порождаемое ПФ г''г(х: р ) = х Р 12.
решение. Из (7.1.2) следует х = ЛР, р = Р' /2х'., Н'(х', р', е) = =- х' (р'г + ш(1)). Уравнения Гамильтона у] ~г х' = ]х', Н'] = 2х'р', Новый импульс р' = р/х = х/х — логарифмическая производная функции х, удовлетворяет уравнению Риккати. 8.4.10. Найти решение уравнения Эйри х — Гх = О. Решение. Гамильтониан задачи Н(х,р 1)= — — — х. р 2 2 Полагая в (8.1.7) з = х, е6 = Н, получим х =- х'+ р'1+ х' —, 1 +р' —, 1 + х' —,1 +...
=- иг(1) х'+из(1) р'. (Ц и'(1) З ~ Г(З) 1 Г-з1 (З1 ~ )' иг(1) = 3 ~~~ Г( — ) уЛ,Гз~з( — 1~~~). Аналогичным путем найдем р = изх'+ игр'. Решение (Ц является КП х, р — э х', р'. Действительно, поскольку из(0) = иг(0) = 1, из(0) = = иг(0) = О, то фундаментальная СП ]х, р] = изиг — огиз —— - 1. Заметим., что в теории дифференциальных уравнений решение (1) следует в результате громоздкой процедуры с использованием рекуррентных соотношений для коэффициентов разложения по степеням й Другая пара решений может быть получена линейным КП вЂ” Г( )(х +Яр), р' = Г(-) (-хо+ ъ'3 ро).
Подставляя (2) в (1)., получим х = Ф(1) хо + ег(1) р". Здесь Ф(1) .= — К,~з(В) =- — ) аз сов[ Вз+ — ), Зя ,Г;) (, з) о Эо(е) = — [гцз(В) + .à — з!з(В)]. зд 3 Здесь иг(е)., иг(1) два линейно независимых решения, которые могут быть представлены в терминах функций Макдональда [111]: Глава 9 РЕШЕНИЕ КАНОНИ'ЧЕСКИХ СИСТЕМ МЕТОДОМ 'УСРЕДНЕНИЯ 9.1. Введение Пусть гамильтониан Н(в, 1) =- Нв(в) + г.'гН(в, г). Произведем КП в — -- в(я', г), которое исключает Нв из полного гамильтониана.
Новый гамильтониан е 6(з'., г) = ЬН(в(в', г)., 1), где е — - неотрицательный параметр, введение которого — удобный прием., позволяющий построить КП, обладающее заданными свойствами. Произведем теперь преобразование к медленным переменным. С этой целью построим произвольное преобразование з' = с'(и, 1, е) к переменным и„ = (д., гг)., порождаемое некоторой функцией е И'(з', 1, е)., играющей роль гамильтониана: Ь'„=. ~з', еИ'(% 1, е)~., причем г,'„(1в) =.
иг, Потребуем, чтобы новые переменные удовлетворяли системе уравнений (9 1 1) посковьку функцию е Иг(з', 1, е) можно выбрать так, чтобы гамильто- ниан е Л(и, е) = егз6(з'(и, 1, е), 1, е), Ь6(з', 1, с) = 6(я', 1) — Иг(в', 1, с), (9.1.2) не зависел от времени. Из (2) следует, что неопределенная пока функция е Иг(% 1, е) должна иметь вид е И' =- ел'(г', 1, е) + еС(з', е). Для определения составляющих ел'(з', 1, е), е С(з', е) явно и неявно зависящих от времени, наложим два условия. 1) Составляющая Н компенсирует зависящую явно от времени часть гамильтониана е гг6(в'(и, 1, е), 1, е) и одновременно дает вклад в замену в' -э и.
2) Составляющая С дает вклад в гамильтониан е К(и, е) и одновременно компенсирует в замене с' — г и, не зависящие явно от времени составляющие, которые привели бы к возникновению секулярных членов. В этом -- основной принцип интегрирования методом усреднения. Для определения функций о и С необходимо произвести замену в' — г и в гамильтониане с 6(в', 1) и в функции е Иг(в', 1, е), которая неизвестна и в то же время определяет искомую замену. Эта нереальная на первый взгляд процедура осуществляется соотношением (8.1.9). Искомое КП имеет вид (Ц: да =па+с(п*, Ъ 6',+е Ъ'(~иа(М6, Ъ'6Ц+ Цпа: Р6)1 6))+ ° ° ° ~ (9.1.3) и з е К(и, е) = М(е6+ — (1'6, Р6] + — ЦЪ'6, "г'6) 'г'6] +...), (9.1.4) где 6 = 6(п, «). Здесь символ М обозначает операцию выделения функции, не зависящей явно от времени, .о'1 = « — М « — переменная с составляющая «., 'г'« = ) с(«Ъ'1".
Следует отметить., что оператор М вводится лишь для того, чтобы исключить появление секулярных членов, ухудшающих сходимость решения (3). Поэтому предложенный метод интегрирования можно использовать для произвольных гамильтонианов Но(г, «): функции х = х (е', «) могут соответствовать апериодическим степеням свободы.
Пример. Линейное сингулярно-возмущенное уравнение ей+ Ь(«) е+ с(«) о = О, е « 1. Полагая о = х ехр( — ~Р), х = 1' 6 с««, 6 = Ь(2е., находим, что х(«) удовлетворяет каноническим уравнениям с тами.ньтонианом Н(х., р, «) =- — р + — ш(«) хз, и(«) = — «с~ — 6+ —. 2 2 е Произведем теперь КП вЂ” (хеи+ре "), 2 х= (хее — ре е), р= ъ'26 порождаемое ПФ Ез(х, р', «) = — [кх~+2ъ'2«ее тхр'+е ~тр'~).
1 Новый гамильтониан е6 = — (с — Ь) е ввр з + — (Ь вЂ” 2с) х'р'+ — е~ех'~. 2Ь 2Ь 2Ь Перейдем к медленным координатам х', р' э у, я. Пусть действие оператора М приводит к исключению экспоненциальных функций е 1 Меб = — (Ь вЂ” 2с) уя. 2Ь Интегрируя по частям, находим 'г'е6 = е ~ —, езтс«2 — — (с — Ь) е зтнз + о(ез). (2Ь 2Ь 424 Решение канонических систем методом усреднен л [Гл. 9 9.2] Квадратичные системы 425 Учитывая значение СП [9г, хг! = 49я, получим Из (3), (4) следует искомая замена х=9 — —.(с — 6)е "я+..., — гт Ьг с р= я — е —.е ~гг+ Ьг и гамильтониан, определяющий эволюцию медленных переменных, К=( — — )9, Ь с с в =- — + в — (с — 6) + Ь 6в Теперь найдем решение системы (9.1.1) х = яое ™6 Рг, т = ~ггг в(Х). 9 — оо тЬ!~ Решение исходного уравнения =- иге !до (1+ е — + .) — в (1 + я + )1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
