Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Отметим, что гамильтониан Н не описывает непосредственно кулоновское взаимодействие. Реакция системы на внешнее возмущение Однако ряд теории возмущений содержит члены — е, е, ..., соответствующие кулоновскому взаимодействию во всех порядках по е — как и в квантовой электродинамике, взаимодействие частиц реализуется явиртуальным» электромагнитным полем. При взаимодействии частицы с полем резонатора возможено индуцированное поглощение или излучение., которое принципиально отличается от спонтанного излучения— направление распространения, поляризация, частота и фаза излучаемой волны полностью тождественны характеристикам волны резонатора.
Для генерации вынужденного высокочастотного излучения используют пучок электронов, движущийся в резонаторе во внешнем электромагнитном поле. Найдем мощность излучения электронов в модифицированной ловушке Пеннинга, в которой поверхность бокового электрода гофрирована (от фр.
8апГгег — складчатая поверхность) и разделяет р пар резонаторов. Сечение поверхности в виде гофры изображено на рис. 8.3.5. В этой периодической структуре могут распространяться медленные волны, эффективно взаимодействующие с электронами. Рассмотрим излучение «магнитной» волны, длина которой А значительно больше расстояния между резонаторами. В этом случае потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. В цилиндрических координатах т, д, г, потенпивл Герца Ж~оч =- (О, О, Ит), скалярый и векторный потенциалы Ао(й, т, д, г) =-О, А =- —, Ао= —, А, =-О. 1 дИ' дИ' т дд дт В резонаторах образуются стоячие волны.
В одномодовом приближении частное решение волнового уравнения в области О < т < Рг представляет собой медленную стоячую волну частоты щ, поджатую к поверхности т = Рс: И" Ке ~~е ™), ~ = — ( — ) гйп (рд) яп[ — (г+ гг)]. Здесь опущен множитель, учитывающий угловые размеры резонаторов. Ограничимся рассмотрением случая плоского движения электронов в области г «Л, полагая ~ — (Л/р) (т~й)г зш (рд).
Далее удобно перейти к декартовым компонентам А, = А„сов д — Аз зшд, Ао — — А„з1п0+ Аг совд, [Гл. 8 412 Каноническая теор я еозму1цений и представить вектор-потенциал в виде А (1, т, О) = [сА~ 1(т, О) с ' '+ к. с.,'~, (1) А„(1, т, О) = [сА'„'(т, О) е ' '+ к. с.~, А~ ~ = — ( — ) соэ [(р — 1) О",, А~„~ = — ( — ~ кйп [(р — 1) О). (2) Постоянная $', представляющая собой эффективный объем резонато- ра, определяется из условия нормировки — "е[~х ((Е + В )) = а1сс*.
8к 1 Угловые скобки обозначают усреднение по времени; область интегрирования ограничена рабочим объемом резонатора. Энергия электромагнитного поля Ро = а1с*с. Переменные с, ее* играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [с, ее*) =. 1. Гамильтониан, описывающий эволюцию системы % электронов и поля М 2 Н = — [р, + — А'~(х,) + — 'А(1, х )~ а=1 — ео [1с'~(х,) + Ао(1, х,)~. Здесь Асом(х), Аеке(х) — потенциалы статического поля ловушки.
Потенциалы поля излучения будем искать в виде (1), предполагая, что коэффициенты с, с' зависят от времени. Найдем приращение энергии поля Ро в рамках канонической теории возмущений. Для этого представим гамильтониан Н в виде Н = Но + +6, Но = — [р + — ' Ае'а(х,)1 — ео Ае"'(х ), 2п21 с а.=1 2 6 = ~ — ~ха А(1, ха) + ', А (1, ха), 1 с ' 2птс тха =. ра + ео А' "(х ). Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Йо, представляет собой КП х = х(1, х', р'), р = р(1, х', р'), которое позволяет исключить вклад Но в полный гамильтониан Н. Реакиил системы на енеиснее возмущение В результате КП, приведенного в задаче 7.2.8, х, р с х', р' — с уо„, 1„, новый гамильтониан 6'(1, с, с*, ср„, 1„) представляет собой функцию 6, в которой следует произвести замену переменных.
Эволюция полевых и новых переменных определяется гамильтонианом М* = «.Ас '(г., В.). 6' = ее — (сМ*е ' -~- к. с.), азР Энергия полл излучения. Полагая в (8.1.9) Р' = Ро, 6 =- 6' и ограничиваясь величинами ео, получим 2 с, сзРо =- ~ сйс [Ро, 6'(11)] + ~ ссс1 ~ с(12 [[Ро, 6 (11)) 6'(12)] +... (4) со са са [Ро, 6~(11)] = — сос6 М(11) с' ес ' + к. с., [[ е, 6'(~1)' 6'(12)) = ос6 ( М(11) М*(22)— — с [М(11), М (12)] ос* ) ес"~ ' ос + к. с., где 6 = ео(2я~озЪ')112.
Можно устранить ограничение области интегрирования, используя соотношения с, ссо1 ~ Ссаг (Ч (о1) 7 (а2) + К. С.) = Г Оо1 Г аСа2 сов Т(41) Т (а2) са со са са с с ~ 11ас ~ Й2 ([Т(ас), Т*(12)) — к. с.) = с ~ Ю1 ~ сН2 1ш [Т(ас), Т*(аг)]. со са са са (5) с с 2 2 г со са + 1ш ([М(11), М*(12)] ос*) ) ено сбп Поскольку результат усреднения квадратичных величин зависит только от разности координат 11 — 12а то можно ввести двухвременные Отметим, что СП вычисляются по значениям переменных при 1 = 1о. Для сопоставления с экпериментальными данными необходимо усреднить (4) по начальному распределению электронов и возможным реализациям поля излучения (1). В результате усреднения приращение энергии поля (4) приобретает вид [Ггь 8 Кононичеенол теор в возмущений функции Грина Сг(1, — 1 ) = — О(1, — 1 ) ( [М(1, ), М* (1 )1 ), С.(1, — 1г) = В(1, — 1г) (М(1,) М*(1г)). (6) Статистические свойства злектромагнитного поля резонаторахарактеризуются корреляционной функцией,У(оз) = (ос*)[73).
Переходя к переменным ег г = г тт (2, получим среднюю мощность излучения в виде г р' 1В а.( ) — 1( ) 1 Ке( )), 8;,,(ео) = ~ йг Сь,(т) ед" ~"~ . (7) (8) А~ ~ — гА~~~ = [ л+еу Р— з «А~~~ =- Ве(л ч-гу) (А~ ~ — гА~ ~) = Ке(л+1у) ~ Я Для упрощения вычислений зададим начальные условия, прн которых 1г » 1ы Тогда, подставляя л и у из решения задачи 7.2.8, получим «А~ ~ = С ~Тгг ехр( — гвоггг1+ гвпгг рг — гвпы~рг) + в + Тгг ехр ( гвиггг1 + гвпггугг)~, С вЂ” „, ~ ), Тгг =- озг1г, Тгг =- озг1 1 1 2 'Р1г р1г ер 61г цДг 211 -' ~тй,1 шгг Рмг~ озгг (Р 1) шг + озы Здесь коэффициенты пгг = р, пг, = (р — 1), пы = 1: индекс в принимает значения +1.
Среднее по фазам произведение в (6) (М(1г) М (1г)) = г«С Ч~~ е в Величина е — в 0 введена для того, чтобы полюсы дн, (ог) соответствовали запаздывающей функции Грина. Первое слагаемое в (7) — мощность спонтанного излучения, второе мощность вынужденного излучения или поглощения. Вычислим теперь фурье-образы (8) функций С,(т) и С;(т) (6). Предварительно отметим, что согласно (2), 8.3) Реакц л еиеойемы на внешнее возмущение Согласно определению СП Учитывая периодичность А и В по угловым переменным, имеем ]106) ((А, В]) = — д (Адд). Следовательно, среднее по фазам СП (е(М(1д) М*(1г)~) = — 11йС в(пгй — — пгй — )(Ргй)~е Используя фурье-представление тэта-функции ОО д(т) = ~ г11 д(1)е" =- — ~ е1и получим из (6), (8) де(йо) = — МС в(пгй — — пгй — ) т д1г д1г ) ш — вшы т ге 8,(ш) = гулаг- гй й После вычисления суммы по индексу в имеем не(йо) = — 2%С оогй~ п,й — — пгй — ) г г,, (9) д1й д1г) ш — шгй -Г 21еш е,(ш) = 2гЖС ш~ — мгой т 21еш Для того чтобы учесть эффекты, обусловленные столкновениями электронов с молекулами воздуха в резонаторе, необходимо усреднять (6) с функцией распределения по «времени жизни» электрона.
Эта операция соответствует замене е конечной величиной 1/2, где 1 среднее время жизни электрона. В результате получим необходимые для вычисления мощности излучения (6) соотношения (10) ы шгй Г й7~"~ (ш ~ ~2й) т (7ы) 1 тйо г г г г г г шгй г й ~йо (ш шгй) Ь ( /~ ~) [Гзь 8 Каноничеенол теор л возмущений Теперь, учитывая (10), окончательно получим мощность спонтанного 6Ро.
2пео 4яео уС2 тоз Тзо 2 2 2 2 1 1, лз 1, ( 2 2)2 ( )2 и вынужденного излучения йро, 2кео 2 01 '( ' — ' )'+(~ )' Мы приходим к выводу, что в резонаторе реализуется мазерный эффект — возникает индуцированное излучение на частоте ю22 = роз2, мощность которого йро,(ы22) 2яео Жр ызз /А21~~г А2 = (212(тпЬ)из. Излучение частоты ы22 = (р — 1) оз2 + оз2 поглощается при условии (р — 1)212 » 1ь В случае гладкого резонатора (р = 1) вынужденное излучение на частоте оз2 рассмотрено в рамках классической и квантовой теорий [19, 108).
Отметим, что при условии 12 » 12 возникает нндуцированное излучение на частоте ю22 = (р— 1)оз1 + оз2 » оз2. Подставляя Е =- л„(1), у,(1) (а =- 1, 2, ..., %) в (8.1.9), получим решение уравнений движения в виде ряда, содержащего вклады кулоновского взаимодействия электронов пучка и электронов с полем резонатора. 8А. Гамильтонова теория специальных функций 8.4.1. Представить уравнение ~2 А(т) 2 + В(т) — „~ + С(т) = 0 в лагранжевой и гамильтоновой формах. Решение. Умножая уравнение на неопределенный множитель Л(г), наложим условие д(ЛА) /й1.=- ЛВ, учитывая которое, получим — т(т) — = -Й(т), о, а дд Йт ат тп(т) = ЛА, й(т) =- ЛС, Л = — А 2 ехр ~тат — ~.
В Следовательно, лагранжиан [109[ В =- — т(т)( — ) — — Цт) о 1 /йд12 1 2 [йт1 2 8.4] Рам льтонооа теор л еиециальнык функций 417 описывает в терминах механики движение частицы переменной массы, связанной с пружиной переменной жесткости. Вводя импульс я =. т Йг1(йт, получим гамильтониаи к~ ку~ 6(д, к, т) = — +— В частности, для вырожденной гипергеометрической функции о = Ф(а, с, 1): А = т, В = с — т, С = — а, Л = е т' г, т = т'е й =- — ат' ге '. Эта функция играет большую роль в физических задачах. Различным значениям параметров соответствуют полиномы Эрмита, Лагерра, функции Бесселя и т.д. 8.4.2. Произвести замену независимой переменной т — ь 1: т = т(1).
Найти новый гамильтониан и уравнения движения. Рассмотреть случай т = 1 Решение. Производя в функционале 1 =- ~ Йт(к — — Ь(д, и, т)) замену Я =- д(т(1)), Р = к(т(1)), т =. т(1), найдем новый гамильтониан В(Я, Р, ь) = та(д, к, т)~ = — Р~+ — огГ4~, где М(1) = тт ~, ое(1) =- 1ет. Канонические уравнения Я)=М ~Р Р=(Р ф= — ого. (1) Замена т = 1 ~ используется для исследования решений в окрестности бесконечно удаленной точки. В этом случае система (1) эквивалентна уравнению А(-)о+ (-А(-) — —,В(-)1 4+ —,о(-)о =О.
Вычисление ое, М существенно упрощается, если преобразование т — г 1 задано в дифференциальной форме т =- 1(т). 8.4.3. Произвести КП Я, Р— г к, р, порождаемое ПФ Рз(Ю, Р, г) = ЪгМ ИР— 1 МЮ Решепие. Из (7.1.2) находим ( 2М ) [Гл. 8 Каноническая теор л возмущений Новый гамильтониан О(х, р., г) = — р + — И'(1) х, 2 2 1 з 2 И'(1) = — — — 1 М вЂ” -( — ! М) + — = 2 е!ег 4(а! г' М = -- И-'~г — (И-'~гМ) +— Функцию И'(1) можно представить в виде И'(1) = (1/2) (М г, 1) + + ге/М, где (С, 1) — производная в смысле Шварца [1101: 2 д З ечг (с, ) „,!.а,(„,! с),( ).
е! = х ехр — — ~ е11 —, я =- (р — — х) ехр — ~ е11— 2~ А ' (, 2А ! 2~ А 1:В~г С И'(1) = -- — — — -~ — ~ + —. 2 е!1 А 4~Аг' А' В частности, для вырожденной гипергеометрической функции — !ее Е) — !е Е 1) 1 — ! е! 1 (с — 2а) (с — 2) с 2е 4гг Приведем также другую форму замены, полагая т = 1г, т. е, т = 2,/т. В этом случае у = Ф(а с 1г) = ъ'2е' ~~1 ' е~г~ х(1) 1( 1) х1 е- '/~1евз/г Го — 1/4 И'(1) = 2п — (, — г~), и =- с — 2а, р =.
с — 1, 8.4.4. Найти преобразование Уиттекера цилиндрических функций. Решение. Цилиндрические функции д .= Х (Кт) удовлетворяют уравнению Канонические уравнения х = р, р = — И'(1) х эквивалентны уравнению х + И'(1) х = О, не содержащему первой производной функции х.
Замена (1) является обобщением преобразования Уиттекера. Полагая т =- 1, находим Я(1) = о(1), Р(1) = »(1), М(1) = .(1), (1) = !е(1), 8.4] Гал4 льтонова теория специальных функций 419 2 ч = — ~ я(г) = ог(Р ); Н'(с) — 8 ь14 ' 21 8.4.5. Найти решение уравнения 1) + (Ь/1) 1) + (с/1 ) ч которого 1 = О является регулярной особой (или правильной) [109]. Решение. После КП Уиттекера О, для точкой Ь о=1 ~ х и= р — — х)1~ 21 получим гамильтониан Н(х, р., 1) = — р + —, х ., Ь = с+ — Ь вЂ” — Ь . 2 к 2 1 1 2 2 24 ' 2 4 Решение уравнений х = [х, Н] = р, р = [р, Н] = — —, х Ь является КП х, р — 1 х', р'. х = и1(1) х'+ иг(1) р', р = иг(1) х'+ иг(1) р', где и1(1), иг(1) — два линейно независимых решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
