Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 71
Текст из файла (страница 71)
СравниРис. 11.1.6 вая информацию о состояниях тахиона в моменты времени 1ь и 1[, он может сделать заключение о процессах перехода из одного состояния в другое в интервале 1' — Р . С другой стороны, наблюдатель в системе К, приняв в момент времени 1«сигнал, излученный твхионом в момент времени 1', получит свою информацию о тех же процессах, происшедших за интервал времени 1ь — 1,. На рис. 11.1.6 изображены мировые линии наблюдателя 11.11 477 Кинематика х,(с»), тахиона х,(с1) и двух лучей х (с1), х (с1); х,(с1) =- ~Зс1, р =- —, х,(с1) = Д,с(1 — 1,)., х (с1) = с(1 — 1 )., х (с1) =- х,(с1») — с(1 — 1»). Из условия х,(с1») = х (с$») находим 1» = 1~,1(1 — и/и ) > Величину 8г получим из условия х,(с11) = х„(с11): 1г = 1 /(1— — и/с).
Момент времени 1г найдем из условия х,(с1г) = 0: (1 + и/с)1» = (1 + и/с) 1,/(1 — и(и ). Поскольку и ( с ( и„ то 11 > 1». Очевидно, что 11~ > 1'. Следовательно, с точки зрения наблюдателя в системе К тахион сначала пролетел мимо него (событие а), а потом мимо наблюдателя в системе К' (событие 6). Наблюдатель в системе К' сначала «увидит» событие Ь в момент времени 1»~, а потом событие а в момент времени 1'. Мы приходим к выводу, очевидному из рис.
11.1.6, что хронологический порядок событий а и 6 будет различным для каждого из наблюдателей. Предположим, что параметры, характеризующие состояние тахиона, удовлетворяют уравнению некоторого необратимого процесса. Если наблюдатель в системе К видит «старение» тахиона, то наблюдатель в системе К' увидит обратную последовательность событий — - тахион «молодеет». Причина и следствие меняются местами и появляется возможность влиять на прошлое-- на уже ревлизовавшиеся события. По мнению некоторых физиков, это ограничивает область существования тахионов малыми интервалами пространства — времени, в которых строгая упорядоченность событий утрачивает свою универсальность.
Другие ученые считают, что эту трудность можно обойти за счет более расширенной трактовки смысла причинно-следственной связи. 11.1.7. Инварнантная масса двух частиц. Частица массы тг сталкивается с неподвижной частицей массы гпм Найти инвариантную массу двух частиц и импульсы частиц в системе центра масс (с. ц. м.).
Решение. Масса двух частиц Мг = тг + 2рг рг/сг + тгг. Вычислим правую часть в системе покоя частицы тм в которой р" = (тчс, 0), Рг~ = (Ег(с., Рг), Ег = Тг + тгсг: М .=- т1+ — г Егтг + тг -— — (тг+ тг) + г Тгты г г 2 г 2 с с В системе центра масс Рг = ( Е1о, Ра/; Рг = ( Его, Ро), с Ро = Е1о тгс (с ' )' (,с Раскрывая 4-произведение (р1 + рг)'р1„в с. ц. м. и в системе покоя пеРвой частицы, полУчим УРавнение МЕю = т, (т1сг + Ег), из которого находим Рс ятивистская динамика [Гл.
11 где Рта = Тз (с~ + 2тзТгр Нсрслятивистское приближепие. В лабораторной системе Е„= = т„са + т„иа /2, р„= т„ч„, Мс = (тг+ та) с + — 1г(чг — ча) г ьг = 2 2 1 2 тгта 2 ' тгтта 11.1.8. Найти ҄— пороговую кинетическую энергию гге-мезона при неупругом рассеянии на неподвижном протоне в реакции х ' + р ь — ь р + гг е + ггт + л Решение.
Полагая тг = тр, та = т„, Еа =- (т„с) + Та, получим квадРат инваРиантной массы Мз =- (тр+т )а+2трТз(са. Из Условна рождения (11.1.3) находим Т,„= 2гп [1+ 1с, Т,„= 0,36 ГэВ. тр > 11.1.9. Найти пороговую энергию фоторождения ле-мезона при взаимодействии 7-кванта с неподвижным протоном в реакции 7+ р ь — ьр+х . Решение. Полагая в уравнении (11.1.3) тз = О, Еа = 1ги, тг = =. т„= тр, ть = твс, полУчим Ьгг = т„с[1+ т„с1(2тр))с ., Ьгг = = 0,145 ГэВ. 11.1.10.
Рождение антипротона. Найдите энергетический порог рождения пары протон — антипротон в реакции р+ р = Зр+ р в случаях неподвижной мишени и встречных пучков. Решение. А. Столкновение с неподвижной мишенью. Если первая частица покоится, то в лабораторной системе отсчета Ег = = тгс, рг — — О, Ез = тас + Тс. Инвариантная масса удовлетворяег неравенству 2 М = (тг +та)а+ —,тгТь > т, +ть+ с из которого находим пороговую энергию рождения частиц Тп > Ть„ар, Тасар — — [(т, + ть+...) — (тг+ та) 1.
В нашем случае массы всех частиц одинаковы и равны массе протона тр. Следовательно, Тв „,р — — бтрса. Подставляя значение трса = 0,938 ГэВ, получим Ть „,р — — 5,628 ГэВ. При значении Ть = Ть „,р масса сталкивающихся протонов М = 4тр. Б. Столкновение встречных пучков. Рассмотрим столкновение одинаковых частиц, импульсы которых удовлетворяют условию рг+рз = О. Полагая тг = та = те, Ег = Еа = тас +Та, получим значение массы М = 2 (гпе + Та(с~). Из условия рождения 11.1 ) Кинематика новых частиц следует неравенство 1 2[то+ — о7о) ) та+то+ ° ° ° ~ То > Топор е (1 Тонер =- [ (та+то+. ) то~с В случае реакции рождения пары протон — антипротон получим критерий рождения То > То „=- трс = 0.,938 ГэВ.
При значении То = = То „„р инвариантная масса М =- 4тр. Таким образом, для рождения четырех частиц в первом случае необходимо разогнать один протон до энергии Ть = 6трс, а во втором — каждый протон до энергии 7'о = д = трс . Выигрыш очевиден, поскольку в первом случае энергия 4трс в бесполезно переходит в энергию центра масс сисгемы и в процессе взаимодействия протонов не изменяется. Специально для детектирования реакции рождения пары протон— антипротон был построен ускоритель в Беркли (США) эбеватронр с энергией пучка протонов 6,3 ГэВ.
Антипротон был открыт в 1955 г. (Нобелевская премия., 1959 г.). 11.1.11. 'Ускорители ва встречных пучках. Найти кинетическую энергию относительного движения частиц равных масс. Решение. Рассмотрим столкновение частиц равных масс тг —— — тз = т, движущихся навстречу друг другу; импульсы частиц рэр (Е(с., р), р' =- (Е/с., — р).
Кинетическая энергия частицы -- Т. Найдем кинетическую энергию относительного движения частиц 7', =- тс [у, — 1]., где и„— скорость одной из частиц в системе покоя другой частицы. Для этого запишем инвариант рэрэ = (Мс) /2 — (тс) в системе покоя первой частицы. Полагая р", = (тс, О), р' = (Е„/с, р,), Е, = те~ у„., получим ро рз =.- .~„т с ., 1 з (Мс) Т, =- — р~ рз — тс = — 2тс . т 2т В лабораторной системе Мсз = 2 (Т+тсз).
Следовательно, Т„= 4Т+ + 2То/(те~). Мы получили чрезвычайно важный результат. В ньютоновой механике всегда Т =- 4Т, т.е. возможен лишь четырехкратный выигрыш в энергии при использовании встречных пучков частиц. В релятивистском случае, когда Т » те~, получаем существенное увеличение энергии: 2Т' Т„= » 4Т. тс [Гл. П Ре лтивистснал динамика 480 Самый большой в мире синхрофазотрон -- «Тэватрон» Фермиевской национальной ускорительной лаборатории в Батавии (США) разгоняет пучки встречных пучков протонов и антипротонов до энергии Т =. 1 ТэВ (1 ТэВ =- 10ш эВ).
Поскольку масса протона тр = 938.,2796 МэВ/са., то этот ускоритель эквивалентен обычному с энергией одного пучка Т„2 10з ТзВ. 11.1.12. ПРоисхоДит РеакциЯ та + тз -» т~ + та. неУпРУгое столкновением электрона массы т~ с неподвижным атомом массы та. В результате абсолютно неупругого взаимодействия образуются электрон н возбужденный атом массы т'. Найти величину т'. Решение.
Пусть Е~., р~ — — (рм О, 0), Еа =- тасе, р~ = О, Е[, р[ —— =- (р[, О, 0), Ез, рз = (ра, О, 0) энергии иимпульсычастицдоипосле рассеяния. Из закона сохранения энергии — импульса следует уравнение (Е, + тес ) — с р, =- (Е,' + Ез) — с (р', + рз) . (1) Поскольку столкновение абсолютно неупругое, то электрон и возбужденный атом неподвижны в системе центра масс, движущейся со скоростью и = с р~/(Е~ + тас ).
Следовательно, правая часть (1) в соотшз ветствии с (11.1.3) равна [(т~ + т~а)са1[ . Тогда из (Ц находим 2таТ, тз = (т~+та) + а — тм с В предельном случае малых энергий Т~ << (гпв + та) с, Ть — т~и /2. Используя разложение бинома Ньютона (1+ в)ц~а = 1+ в/2, в << 1., получим известный из классической теории результат: тас = тзс + Я., 2 2 та~1 т» -~- та Второе слагаемое, равное приращению полной энергии атома., связано с приращением массы атома т' — та =.
Я/с . Напомним, что 2 когда вторая частица представляет собой макроскопическое тело, то величину Я называют приращением внутренней энергии тела. 11.1.13. Кинематика упругого рассеяния частиц. Частица массы тз сталкивается с неподвижной частицей массы тн Найти энергии частиц после упругого рассеяния. а — угол рассеяния в с. ц, м. Решение.
Интересно сопоставить решение задачи с результатами нерелятивистской теории и получить новую информацию о кинематике рассеяния релятивистских частип. Законы сохранения энергии и импульса можно записать в виде закона сохранения 4-импульса: у + и рш + ш В лабораторной системе р", =- (тзс, 0)., р~~ = (Еа(с, Ра). Найдем соотношение, связывающее угол рассеяния В в с. ц. м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
