Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Очевидно, что в интервале 0 < т < (2п + 1) То решение уравнения (1) х(т) = С[ и, С, =- (Миь) Сь, Меа = Д,»г„ы (5) Для вычисления матрицы А = М" и исследования решения найдем собственные значения Л матрицы М, элементы которой М, =1 — Ь, Мгг = 2 — 61, Мя = Ьг — 6» — Ь»Ьг, Мгг = 1 — Ь1+ 2Ь2 — Ь»62. Аналогичная задача возникает при исследовании областей пропуска- ния оптического излучения многослойными средами [132[.
Из уравне- ния с(е1(М вЂ” Л1) = 0 получим значения 1 йрМ г Л»2= — ЯрМхг 1 — ( ) . имеет вид [ЯрМ[ < 2. Полагая (хгд). Введем далее проекционные Условие ограниченности реп»ения ЯрМ = 2 соя д, получим Л» 2 = ехр операторы М вЂ” Л21 1= л — л М вЂ” Л 1 2— л — л е»п пд 12 — М»2 япд 1 Ап =, [Мп япп — в»п(п — 1)д], япВ яп пВ е»п В 1 Агг =, [Мгг япп — яп(п — 1) В). япВ удовлетворяющие условиям Рг =- Р,, Р, Рг = лл = О» Р, + Рг =- = 1. Учитывая, что М .— Л»Р»., матрица А = М" = Л",Р, + Лг Рг.
Следовательно, 11.2) Релятивистская динамика 301 Решение уравнения (2) следует из (5) после замены начальных условий и элементов матрицы М -~ М': Ьг — > Ь'„.=- — Ьм Ьз — г Ь~~ —— — — Ьы Общая область устойчивости решений уравнений (1), (2) определяется условиями Яр М < 2, Яр М' < 2, 1 1 1+6| — Ьз — — Ь|Ьз <2, 1 — Ь|+Ьз — — ЬгЬг <2, 2 2 представляет собой в плоскости (6~6з) криволинейный четырехуголь- ник ОВМВ на рис. 11.2.12, ограниченный прямыми Ь~ = 2, Ьз =- 2 и кривыми Ьз —— 26|/(2+ 6|), .Ьз = = — 26| /(2 — Ьэ). Полезно отметить, что 1 /' М при Ьг — — Ьз — — ь/2 параметр О = я/2 / решение — периодическая функция. Электродинамическая система двумерной ловушки представляет / возможность разделения ионов по / параметру е = тд/е, зависящему -ь 1 й от массы, заряда и энергии частиц / / 1 релятивистского пучка.
Необходимо, / ! чтобы при изменении Ъ~, Г~ и Т все / ! ионы с различными значениями е / 1 ! последовательно попадали в область устойчивости по рабочей прямой ! 2 Ьз =- 66ы 6 =- ~т,/Ды Оптимальный режим работы реализуется в окрестностях точек В и В. Например, при значениях й, незначительно отличающихся от 2, рабочая прямая пересекает диаграмму устойчивости, в области наиболее чувствительной к величине параметра е. 11.2.13 — 11.2.15. Движение частицы в поле бегущей волны тока. Электромагнитное поле задано 4-потенциалом Рис. 11.2.12 А" (х) =- — ((езх) е~~ — (е~х) е~~~ В(йх), 1 где х" = (с1, х., р, г)., е", = (О., 1., О., 0), е', = (О., О., 1, 0)., и" =- (1, О, О, 1), к" =- (а//с)п", Ьх =- а/1 — а/г/с, В(йх) произвольная функция, удовлетворяющая естественным граничным условиям: В(кх) — ~ В„при Ьх — г — со; В(Их) — э Вз при Ьх — ~ +со, где Вы Вв ) ) Вт —.
постояные величины. 4-потенциал удовлетворяет волновому уравнению д'д А" =- 0 и условию Лоренца д„А" =- О. 11.2.13. Найти общее решение уравнений движения [169). Решение. Тензор электромагнитного поля г" = 1а"В(6х) — — ((е,х) Ьа — (е х) У~"~ В', (1) Релятивистская динамика [Гл. П 502 Г1Е «Я = Е" Ее — ЕН Ее т"' = «С«!Е" — «С Е" 1"' = «С"Ее — й Е.". (2«(1«(Ц (2Р (1«(1Р '(2« '(2Р В' = а«В««е((«сх).
Напряженности электрического и магнитного полей соответственно равны Е =- ~ — уУо — — хИоВ 0) ! В = — ( — х«со — у«соВ В) 1, 1, 1, 1 ! '12' ' 2 ' )! (,2 '2' ( у х 1 с !' а! 1(1, х) =. ( — —, — ', 0) — В(а!( — — 2) Б(р — ро) ! р! р' )4к (, с р = хэ+ у2. Отметим, что в с««учае В = сонэ( имеем однородное постоянное магнитное поле в области р ( ро. лБегуший» аксиальный ток индуцирует вихревые тангенциальное электрическое и радиальное магнитное поля в плоскости, перпендикулярной оси симметрии системы. Решение уравнений движения частицы (11.2.9) будем искать в виде (е(цх)с~1«(е(2«х)е(2«+ !«Зп ' + О46 (2) Здесь ппи = (1! О, О, — 1), хн = г(х" «с(т — - 4-скорость частицы, т" = = .«(с! ч)! у = [1 — иэ«с2~ 1«2. Начальные данные хи(0) = (О, хо, уо, 0)! хи(0) = и'! и" = 'уо(с, чо).
Образуя свертку (3) с векторами и и и, находим («э = пх«2! 9,1 = = пх«!2. Условие Ра" и .= 0 приводит к первому интегралу пх = пи уравнения (11.2.9). Следовательно, йх —.. о(т)! и = Ьит! ««4 = пи[2. Поскольку хэ =- с, то оэ =. (с + хэ + уэ) «'(2пи). Учитывая значения !«э = (с8 + 2) «!2, ол = (с1 — й) «'2! находим 2 ° 2 ° 2 с( = — пи+ (с2+ хэ+ уэ) = ио+ !(х«2 + у — (и21+ и~~)~ ! (3) 2 ° 2 ° 2 2=- — — пи+ (с +х +у ) — -и,+ [х +у — (и1+и2)1 Подставляя (2) в (11.2.9) получим уравнения х — — [у В(п) + — у В(!т)~ = О, у + — [х В(а-) + — х В(а)~ =- О. (4) ко = а1««с. Очевидно ЕВ =- О. Векторы напряженностей Е и В представляют собой решения уравнений Максвелла в свободном пространстве.
Для получения рассматриваемой конфигурации полей внутри цилиндрической области радиуса ро необходимо возбудить на поверхности р =- ро ток плотностью 11.2] Релятивистская динамика 5ОЗ Подстановкой х + 19 = х (т)., где т хо(т) = 1се 'д~, ят) = — ~ с1д В(о(д)], приведем систему (4) к уравнению осциллятора с переменной частотой (или к уравнению типа Шредингера): х+ 'с — О (5) с начальным условием 1с = ехр ( — 1юот ~2)., юо — — еВ1 /гпс при т — э — оо. Пусть;С =- юрй(т)., юрй(т) два линейно независимых решения уравнения (5).
Тогда общее решение системы (5) имеет вид х =- Вехе., 9 =- 1п1 х.о, хе = (ЮоюОО+ 02юйй]е (6) где Яы ссо — две произвольные комплексные константы. В дальнейшем нас будет интересовать решение уравнения (5) при т — ~ оо., когда функция В(о) достигает постоянного значения Во. В этом случае асимптотика решения (54, 94] — иыот,~о С иоот~о еВо тс (7) В (о) = — (В~ + Во) + — (В~ — В~) 15 р (и — оо) + 4 сЬ (р(а — оо)] где В~ > Вэ — В~ Решение. Наибольший интерес представляет случай рйи » юы соответствующий резкому скачку В(о). В этом случае В(о) - Вы и < < оо, .В(о) = Во, и > оо.
Поскольку на траекториях системы и — оо = =- Ии(т — т,), т, = оо/йи > О, то, интегрируя уравнения (4) по малой Отметим, что для нахождения коэффициентов С1 и Сэ можно использовать решения, известные в квантовой механике, поскольку асимптотика соответствует задаче рассеяния на одномерном потенциале. Величины 1/Сг и Со/С1 играют роль амплитуд рассеяния вперед и назад для волны, падающей на потенциал справа (49]. Поскольку определитель Вронского пары решений не зависит от т, то из условия сохранения вронскиана юрою~о~ — юбОюрй следует соотношение ооо/ооэ =- ]Со]~ — ]Сз]~.
Если 1,1р -- характерный масштаб изменения функции В(о), то в адиабатическом случае ]ИВ(о~)(с1т] << рйиВ(о) отношение Со/Со ехр ( — хюо ~рйи) имеет экспоненциальную малость ]53]. 11.2.14. Найти решение уравнений движения в случае резкого скачка функции В(о): Ре мтиаистскал динамика [Гл. 11 504 окрестности точки т = т„ получим граничные условия — приращения компонент скорости частицы 1 1 ьт =- — (ю2 — ю1) у(т„)., ьу = — — (022 — ю1) х(т,). 2 2 В соответствии с (7) два линейно-независимых решения уравнения (4) имеют вид ю10 =- ю1 ю121 = ю*1 2 — 1н1 к/2 т т„:, 011 (8) 2 (Ре — 1"'2'/2 1 801~~г' /2) Ю1 Р 8 (р 8 ) — *' 1т,/2аа ои/2 р 8 (1 а 1"1 ) 21 ю2/ Пусть хо =- О., уо ) О, ио = (О1, .О, .0). Тогда хти(0) = (ио, и1, О, 0), и1 —— иои1., // = югт — 180.
Подставляя (8) в (6) и полагая т = О, находим Сд е ~'/ = 1/С Ю1 — Цзе* '/ = 1(уо — /с), /с =— 2 и1 Ю1 Ю1 В интервале 0 < т < г, уравнение траектории х(т) = й сйпюзт, у(т) = =- /7 сов ю1т + (уо — В), 2(т) =- О. Частица движется по окружности радиуса й, координаты центра (О., уо — гс, 0). После подстановки /д =- = ю2 (т — т,) + ю,та — /до и (8) в (6) полУчим Решение УРавнений (4) в области т з т,: х(т) = кех,, у(т) = 1ш хэ1 х (т) =1 [Роде *"' "+ ЯО(уо — Л)) е ' '1 '+ +1~$0Гье '"' "+ Ро(уо — гь)). Полагая [Ро/7 ехр ( — 2021т,) + Яо (уо — /7)) = йз ехр ( — 12/), получим компоненты 4-скорости х(т) = и2 соз [ю2(т — т ) + г/), у(т) = — и2 з!п [т — т ) + г/]., (9) где и2 = юзй2. Из (3) находим значения кинетической энергии Т = =- тсЧ вЂ” пгс и продольного импульса р, =- т.х: 01 — ио + 2 (и2 и1) 1 2ио 2= — (и — и ).
2 2 2ио (10) 2-компонента трехмерной скорости и, = (и2 2— и2) /[2с + (и2 2+ и1)/'с). Частица движется по винтовой линии радиуса Л2, ось которой нахо- ДитсЯ на РасстоЯнии т2 = фо Л ехР ( — 1рюгт,) + Ро (Уо — й) [ от оси 2. 11.2] Релятивистская динамика йоб Отметим., что в случае иг — — О имеем х(т) — — иг сов ма(т — т,)., у(т) = =- — иг гйпмг (т — т„'), Вг .= ВоУо, тг — — РоУо.
В ДРУгом частном слУчае уо =- й находим х(т) = иг соэ (мг(т — т )+м|т ], у(т) = — иг гйп (мг (т— — т ) + ма~.]; Вг =- РоК г = — Вой. ПУсть иг » иг, иг « с. ТогДа Ь = 1+ (1/2) (иг(с))), г = иЦ2с, кинетическая энергия частицы Т = тиг~/2, продольная и поперечная компоненты трехмерной скорости частицы иг!с 2 2 2иг иг г и«+по г 2+ (иг/с) " 2+ (иг/с) После прохождения скачка магнитного поля г-компонента скорости и энергия частицы возрасгают. 11.2.15.
Движение частицы в монохроматическом поле. В другом важном случае 4-потенциал определяется функцией Ь(Ьх) =. = Во + Ь соэ Йх. Найти уравнения движения. Решение. Из (5) получим уравнение д Х 2 Йт 4 г + — ~йо + мо сова(т)] Х =- О, йа =- еВа/тпс, мо =- еЬ/тпс, которое представляет собой уравнение Хилла. Полагая йга »маг/2 майа р ма Хг 2о=йит+йхо., р= г, О= г; Чг=( (Ьи) ' (Ьи)~ ' (,2Ьи) получим стандартую форму уравнения Хилла д и! , + (д+ 2о соэ2о+2аг соэ4о) ш =- О. Показатель экспоненты Ят) = Пот+ (ма/йи) гйп (Ьит+ Ьха).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
