Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Анализ областей устойчивости решений приводит к выводу о возможности реализации ускорения частиц в режиме параметрического резонанса и сепарации частиц по удельному заряду. 11.2.16. «Бетатронный» режим ускорения. Известно, что для предотвращения потерь частиц необходимо использовать фокусирующее магнитное поле, убывающее с увеличением расстояния от оси системы.
Неоднородное бегущее поле задано в цилиндрической системе координат компонентами 4-потенциала р Ао =- Ар — — А. =- О, А„=- — ] др р В(р, .Ьх), Ьх = оЛ вЂ” — г. 1 Г м Р с о Найти условия движения частицы по цилиндрической поверхности постоянного радиуса й и энергию частицы в конце цикла ускорения. Ре лтиоистская динамика [Гл. 11 506 Решение. Лагранжиан., описывающий движение релятивистской частицы, запишем в представлении собственного времени (в СИ) Е = — т [ра + р~~р~ + х~ — с~1а~ + еф [ е[р р В (р. ш1 — — х) .
2 с о Уравнения Лагранжа — Эйлера имеют первый интеграл йх =- а(т), а(т) = йит+йхо, Найдем решение уравнений движения, рассматривая цикл ускорения частицы на цилиндрической поверхности постоянного радиуса. Полагая ф = й, р = й, имеем систему Я е1Е еый дФ вЂ” — — Ф(а) = 2к [ Ыр р В(р, а)., дт 2к да' о 0 = тй+еВ(й, о), о <И е дФ тй — + — — = О, дт 2к е[т да» ехй дФ 2кс да ' (2) (3) (4) Пусть В(й, а ) = Вы максимальное значение индукции, 5(0) = О. Тогда »о 1, кинетическая энергия частицы в конце цикла ускорения Т(т,„) = еойоВ» ((2т).
Поскольку есйВ,„= 300 [й(м)В (Тл)[ (МэВ), то величину Т(т ) можно представить в виде Т(т ) = 45 ГэВ тс (МэВ) Прн ускорении протонов Т„(т ) = 45 [йа(м)Ва (Тл)[ МэВ, прн ускорении электронов Т,(т,„) =. 90 [йз(м)Во (Тл)[ ГэВ. Отметим, что в случае обычного бетатронного механизма ускорения кинетическая энергия частицы Т(т„,) = (тса)э + (есйВ, )з — тс.. где Ф вЂ” полный магнитный поток, пронизывающий орбиту. Из уравнений (2), (3) находим «1Ф~»1т = 2кйа г1В)«1т. Интегрируя по циклу ускорения с начальными условиями В(й, а) = О, Ф(о) = 0 при т = О, получим аналог «бетатронного правила»: Ф(а ) = 2кйоВ(й, а ), а = йит + йхо.
Подставляя Ф н й в (1), (4), найдем значения кинетической энергии Т = Š— тсо и х-компоненты 4-скорости: ей В(й, ) Е(т ) = тс ус+ 2тпи еой»Ва(й, а„,) тй = тй(0) + 2тсии П.З] Гамильтонов формализм о реллтиоиетекой динамике 507 11.3. 1"амильтонов формализм в релятивистской динамике ай ри= о е р„= тх„— — Ао. с Каноническая система уравнений Лагранжа — Эйлера следует из лагран- жиана Швингера в пространстве Ге~ с координатами хо, ро.
1„=- 1(х, х)+ — (р — тх — — А) =- — рх — Н(х, р), 2т(, с 1 ( е 12 тс 2 Н(х, р) = — — (р — — А1 + 2т1, с / 2 (11.3.1) и представляет собой уравнения Гамильтона, где Н(х, р) — гамильто- ниан. В терминах скобок Пуассона х" .=- (х'., Н], р„=- (р„., Н]. (11.3.2) Фундаментальные скобки Пуассона (х", р'] = — д"".
Система уравнений (11.3.2) имеет первый интеграл Н(х, р) = сопя!. Если начальные данные х'(0), рр(0) удовлетворяют уравнению Н(х(0)., р(0)) =- О., то сопз1 = 0: на траекториях системы Н(х, р) — О. Из (11.3.2) следуют уравнения (11.2.9). Канонические преобразования. А. Если КП х, р — ~ х', р' определяется уравнениями аг:, ро = дг1 ри я и х порождаемыми производящей функцией Р~(х, х', т), то новый га- мильтониан Н'(х', р', т) = Н(х(х', р', т), р(х', р', т)) + + — Р'~(х(х', р'., т), х'., т). В. Производящая функция г'з(х,, р', т) порождает каноническое преобразование (11.3.3) Канонические уравнения. Наиболее последовательный подход к гамильтонову формализму классической динамики основывается на предельном переходе в квантовополевом лагранжиане системы дираковских злектронов, взаимодействующих с электромагнитным полем. В классической динамике Ю. Швингер использовал новый подход. В соответствии с (11.2.10) 4-импульс частицы Ре мтиеистскол динамика [Гл.
11 508 Новый гамильтониан Н (х, р,т) = Н(х(х, р,т), р(х, р, т)) + + — Ез(х(х', р', т), р', т). (11.3.4) Уравнение Гамильтона — Якоби. Полагая Н'(х'., р', .т) = О, получим уравнение Г1олный интеграл Р' = Р(х', р', т) + Се должен удовлетворять условию дЕ/дт = О. Выбирая, например, постоянные Си = р'„в качестве новых импульсов, получим производящую функцию Е = Рэ(х, р', т).
Уравнения (11.3.2) представляют собой характеристики уравнения Гамильтона-Якоби. На траектории частицы 4-импульс е туг = — д;Р" — — А;,. с где диР' = дЕ/дх". Г1одставим полный интеграл в уравнение (11.3.5) и возьмем 4-градиент д; обеих частей: х д,( — дьŠ— — Аь) = — х дгьà — — 'х д,Аь =- ь е 1 ь г е ь с * с = тх~дьх, + — х"дьА, — — хьд;Аь = О. с с Поскольку х" дьхг —.
хо получим уравнение движения второго порядка тих = — Р хь. е с Законы сохранения системы частицы — поле. 4-импульс частицы я, = — д„.Р— (е/с) А, удовлетворяет уравнению непрерывности дгр(х)х' =- О., р(х) = та ') г[т брй(х — х,(т)), а где р(х) плотность массы. Тензор энергии-импульса системы невзаимодействущих частиц Т™ = дя'я~ удовлетворяет уравнению д Тгь 1ргь1 с у'(х) = е, ~ Йт х'(т) дйй(х — х,(т)) =. р— а 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 509 А" (х) = — ((езх) е" — (е1х) еЦ Н(йх), 1 (1) где хи =- (с1., х, й, с), е1, — — (О, 1., О., 0), е~ ~ — — (О, О, 1, 0), пи =(1,0,0,1),И=(.,(с) П". Решение. Гамильтониан (11.3.1) частицы, движущейся в электро- магнитном поле, задаваемом 4-потенциалом (1), 1 Г е 1э 1 Н(х, р) = — — [р — — А(х)1 + — те~.
2т~ с ) 2 (2) Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона (СП) (х", .р ) = — яр", получим систему х" = (х", Н1, тх" = ри — — А", е с (3) е. дА р„= (р„, Н], р„= — х (4) Начальные условия хи(0) = (О, хо, до, со),х"(О) = и'",и" = Ос(с, то); ~о = (1 — (той)') '" Система (3), (4) обладает тремя интегралами.
Один из них найдем, образуя свертку уравнения (4) с 4-вектором к'". В результате получим йр =- тки. Далее, образуя свертку (3) с йр., будем иметь 1т =- йи, или в координатной форме с1 — 1 = пи. (5) Следовательно., фаза волны на траектории частицы йх = Кит -ь кхо. Другой тривиальный интеграл системы (3)., (4) имеет вид хэ =- сэ илн (с1) — х — р — = с .
'э ° э ° э .э э (6) Разрешая (5), (6) относительно 1, с, находим 1 1 сг 2пп+2 (с +х +у) х= — — пп+ (с +х +7/ ). 1 1 2 2пи где ~" (х) = (ср., рт) — плотность тока, р — плотность зарядов. Вторая пара уравнений Максвелла д„г т = — (4я/с) )' согласуется с уравнением непрерывности дД" = 0 (2). Вводя тензор энергии-импульса электромагнитного поля Г~, можно доказать закон сохранения суммы энергий и импульсов поля и частиц дь(Т'ь + Ргь) = 0 (2). 11.3.1. Релятивистская частица в поле бегущей волны тока.
Получить точное решение гамильтоновых уравнений движения релятивистской частицы в поле электромагнитной волны, возбуждаемой бегущей волной тока в аксиально-симметричной электродинамической системе (см. условия задачи 11.2.13). 4-потенциал электромагнитного поля Релятивистская динамика (Гл. 11 510 Первый интеграл (5) следует, по существу, из системы четырех уравнений (3), (4), соответствующих значениям р =- О, 3: шс1= Ро, тй = р, Ро = — йо (Ух — хУ) В', Р» = — йо (Ух — хУ') В'.
(8) 2с ' ' ' ' 2с Приращение кинетической энергии частицы Е =- тсЧ обусловлено вихревым электрическим полем: дЕ . дЕ ест — = ехЕ, — =- — — (ху — ух) В'. (9) дт ' дт 2с Полагая в (3), (4) д = 1, 2 и подставляя первый интеграл (5), запишем уравнения как гамильтонову систему е е тх = Р„+ — У В(п), тУ = Рк — — х В(п), (10) 2с ' ' " 2с е е Р =- — у В(п), рэ —— — — — х В(о), п(т) = И ит + йхс, порождаемую частью гамильтониана (2), не завися- шей от компонент импУльса Ро и Р,: 2 Нш =- — тп (Р +Р~) + [ур, — хр„) В(п)+, (х +у ) В (и). (12) Уравнения (10), (11) имеют первый интеграл — проекцию момента обобщенного импульса на ось с М, = пт (ху — ух) + — (х~ -~- у~) В(п).
Закон изменения энергии (9) приобретает вид —, ('+ у') (в')' — — 'м,. Мт 8тпс тс Из уравнений (8) находим с с1р )г1т = 6Е)с(т. Отсюда следует весьма важное следствие одновременно с увеличением энергии возрастает продольный импульс частицы. Решение уравнений (10), (11) можно найти в результате ряда канонических преобразований (КП). Произведем вначале КП х, у, р, Р Р !.
Ря тх У Рк Рл: (13) Рл Рк =- — (х + у'), 2т —,(Р',+Р'„), — (х — у ), Р 2тп 2 ( 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 511 В новых переменных гамильтониан (12) имеет вид »2 Теперь исключим из (14) второе слагаемое, производя КП у = е»Р~ х2 х =е 'Р~х, г) (т) .Г Ю В(о (У)) ' (15) о р„= ег'о рг, р =е гд~р2 о Новый гамильтониан— В 12 /еВ') Н»2 Рг)22 + ( ) хгх2 (,2тс) (16) Решение канонических уравнений фх, »1т фХ» 4 =- Р»1 4т (2тс) г)т (2тс) можно представить в виде хг — — — (юбцаг + ю~»)а»), »»2 » х2 (ю(г)а»+ю12)а )~ »»2 1 1 Р, = — (юрца2+ юр)а,), Р» = — (юрцаг + юр)а»), (17) ъ'2 ъ'2 4'-, ев(-) ' 0 (18) с вРонскианом юрцю<2) — ю~цюр) = 2».
ПодставлЯЯ (15), (17) в (13), получим решение уравнений движения (10), (11): х =- )ге(юр)аг + юййа»)е 1 — гд/2 У = 1пг(юрцаг+ю)2)а2)е 1 — 1Р/2 (19) Подставляя (19) в (7), найдем функции 1(т) и 2(т). В дальнейшем нас будет интересовать решение уравнения (18) с начальным условием ю = 2/а»г ехр( — »гогт/2), озг = еВ/тс при где аг, а» константы, ю1ц(т), ю12)(т) два линейно-независимых комплексных решения уравнения осциллятора Ре мтиаислгская динамика [Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
