Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 77
Текст из файла (страница 77)
П 512 — [С е 'г~гт!г + С е~~г~!г1 ю = (2о) ыг гас Отметим, что поскольку вронскиан линейно независимых решений ю<ц =- ю, ю<г~ =- ю' равен 2г, то решение (17) представляет собой КП х'„., р'„— г х„= о„, р„=- га*„(п = 1, 2), порождаемого производящей функцией, зависящей от старых и новых координат: аР, рл ах„ дРг Рл=д г х Рг = — „[ю*хгх~г — гъг2 (хгхг + х~гхг) + юхгхг~. Учитывая значение вронскиана, находим, что после замены переменных новый гамильтониан Ь =. Нгл + дРг,~дт обращается в нуль. 11.3.2. 'Частица в плосковолновом поле. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и решение канонических уравнений. 4-потенциал поля Ал(х) = 6(~Р) ал, ~р =- кх (см.
задачу 11.2.7). Решепие. При движении в плосковолновом поле полный интеграл можно искать в виде гг г Р(х, р', т) =. — р'х+ [ — — т + ю(гг), ',2пг 2 / гДе Р'г =. тс . ПосколькУ дГ/дх" = — Р' + Й„г[юггг[Зг, то УРавнение (11.3.5) принимает вид г ,дю е, е 2ьр — = — 2 — р + — гА.
др с с Следовательно, производящая функция КП— г г г Рг(х., р, т) =- — р х+ [ — — )т+, ~ с[у( — 2 — р А+ —,, А ). [,2пг 2 ( 2йр ~ ( с с а 4-импульс частицы— дрг е, е 1,. / 2е, е гпи = и А =р А ~~ рА+ гА). дх" с " с " 2йр'~ с сг .г 11.3.3 — 11.3.4. Интегрируемая гамильтонова система -- релятивистская частица в поле волны, бегущей в гиперболическом волноводе.
т — г — оо и решение при т — г оо, когда функция В(ггх) достигает постоянного значения Вг. В атом случае асимптотика имеет вид 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике 513 11.3.3. 4-потенциал электромагнитного поля в злектродинамической системе ловушки Паули (см. задачу 11.2.10) Ав = А =, (х — у ) соз(~Л вЂ” йх), 2й~ А — А =-О. х-- ив Найти решение канонических уравнений движения частицы [170[. Решение.
Гамильтониан частицы 1 / е 1з 1 Н(х, р) = — — [р — — А) + — те~. 2т[, с ) 2 Учитывая значения фундаментальной скобки Пуассона [х", р'] = — ф"', получим систему тх" = ро — — А", с е. дА Ро= ход о с х х" = [х", Н~, р„.= [р„, Н1„ (2) = лр' с1 — й =-— т (3) Следовательно, фаза волны на траектории частицы Йх = — йр т + йх . Р (4) Другой тривиальный интеграл системы (1), (2) имеет вид хз = сз или (с1) — х — у — Е =с .
(5) Разрешая (3), (5) относительно 1, 3, находим Р с8=- — +,(с +х +у), 2т 2ир = — — +,(с +х +у). 2т 2ир' (б) (7) Таким образом, задача фактически сводится к решению линейных уравнений для поперечного движения частицы. Полагая в (1), (2) р = 1 и учитывая соотношения (3), (4), получим уравнение с начальными УсловиЯми хо(О) = х', Ро(0) = Ро Система (1), (2) обладает двумя интегралами. Один из них найдем, образуя свертку уравнения (2) с 4-вектором е" = (ш/с) и", и" =- (1, О, О, 1).
В результате имеем йр =- кр'. Далее, образуя свертку (Ц с Йо, получим тих = Йр', или в координатной форме Релятивистская динамика (Гл. 11 которое в безразмерных переменных 2(, т,)' пр'ле й приобретает следующий вид: 4 я + 2Ь сов (2е)л = О. де (8) Полагая в (1), (2) д = 2, аналогичным образом получим уравнение — — 2Ь сов(2е)9 = О.
4'р еле (9) Уравнения (8), (9) относятся к типу уравнения Матье, которое в стандартной форме имеет вид (1391 л1 и , + (р+ 2л1 соз2е)и = О. л1ев (10) Пусть два линейно независимых решения М(д, д, е) и %(1л, д, е) удо- влетворяют условиям М(д, и, 0) = — М(1л, д, 0) = 1, — М(п, д, 0) = гл(д, и, 0) = О. д д я = М(О, Ь, е) я' + —, лУ(0, Ь, е)р', Ьр' 9 = М(0, — Ь, е) 9 + —, лллл(0, — 6, е)рл /ср (12) где р'„, р'„— контравариантные компоненты вектора р'Р. Подставляя выражения (1Ц, (12) в уравнения (6), (7), получим решение системы (1), (2) в форме канонического преобразования к постоянным координатам и импульсам.
Анализ устойчивости движения частицы. Пусть начальные условия имеют вид лр(0) = лр, л'(0) = у(с, и), у = (1 — и 7с ) величина пр' =- тЗ(с — пз). Найдем множество начальных данных, для которых решения уравнений (8), (9) ограничены. Из теории функций Матье следует, что уравнение (10) имеет два класса решений ограниченные и неограниченные. Области устойчивости и неустойчивости решений в плоскости параметров (р, д) разделены семейством симметричных кривых [139].
В нашей задаче представляют интерес только те значения параметра 6, для которых одновременно устойчивы Тогда решения уравнений (8), (9) имеют форму канонического преоб- разования 11.3) Гамильтонов формализм в релятивистской динамике решения уравнений (8), (9): это множество точек (О, — Ь), (О, Ь), где Ь Е Е 1,11ь~ пРеДставлЯет собой отРезок [оь ~., ол ) (к =- О, 1, ...). Из таблиц., значений функций Матье имеем Ь)~Щ = — (О; 0,92), Я~О =. (7.51: 7,58], Ь)1~~ =- (21,309; 21,312), 2есЪ' (ь~ дь < 2 2 < дн й 0 1 пры й Для реализации этого условия необходимо, чтобы поперечные координаты частицы удовлетворяли неравенствам ~х(т)~ < Л, ~у(т)~ < 17. Полученные неравенства определяют полосы пропускания волновода по скоростям частиц.
11.3.4. Найти решение уравнения Гамильтона-Якоби. Решепие. Каноническое преобразование х, р — ~ х', р' порождается производящей функцией Рз(х, р', т): др, дР д "' а'"' х р (1) Новый гамильтониан О'(х', р', т) следует из выражения Н(х, р) + + ДР~дт после замены х, р — г х', р'. Произведем каноническое преобразование х, р э х', р', обращающее новый гамильтониан в нуль. В этом случае функция Р удовлетворяет уравнению Гамильтона— Якоби (11.3.5) Полный интеграл уравнения (2) Р(х'", Со, т) должен удовлетворять условию дЕ/дт = О.
Выбирая С„= р'„в качестве новых импульсов, найдем производящую функцию Р(х", р'„, т). Ищем полный интеграл уравнения (2) в виде /1 тс1 Р = — 1х+ ( — — )т+ ~р(в, х, У), (3) где 1"'" = (1"~, О, О, ~~), в = Ьх/2. Подставляя выражение (3) в уравне- ние (2), имеем укороченное уравнение Гамильтона — Якоби — + — Ао(в, х, у)+ ~~ [(~ ) + ( — ) ~ = О, Условие Ь Е сР~~ приводит к финитному движению по координатам х и у. Отсюда найдем ограничения на величину пр', зависящую от начальной скорости Ре мтиаистскал динамика [Гл. 11 эквивалентное хорошо известному уравнению в случае квадратичного гамильтониана двумерной системы.
Разделяя переменные, представим полный интеграл в виде суммы квадратичных трехчленов 1с(в, х, й) = Эгг(в, х) + Рг(в, й), ЙУ дМг г ! 2гчг ~ г1 — х +2р',х — „(р') ~, ! дМг г ~ 2гУг 2 Ыв " к1' 1 ~рг(в~ у) = М Здесь индексами 1, 2 обозначены линейно независимые решения урав- нения Матье, соответствующие значениям параметров а = 6 и а = — 6. Подставляя (3) в (1) и полагая Р г ,а нр шс Х = — + 2 2нрР ' г нр тс У' = — — + 2 2нрР ' получим решение, приведенное в предыдущей задаче. 11.3.5.
Найти решение уравнений движения релятивистской частицы во внешнем поле, используя каноническую теорию возмущений (см. главу Н[П). Решение. Гамильтониан частицы Н(х, р) =- — — [р — — А(х)~ + Полагая в (8.1.11) гв — — х„и заменяя 1 — ~ т, получим решение в виде КП х, р э х', р'. г в т .. т хв = хл+ ивт+ ин + йн + ин — — [х~, Н(хх р )~ (р А(х )) л и„= ~[х'„а Н) Нг = — Р„„(х') и", йв =- Щх'„, Н) Н[Н' =- — д Р„(х') и и + + г Р„,(х') Р' (х ) и„, т с А" (х) =- 6(р) е", Ь(р) = — — — Еер, р =.
йх, Отметим, что для однородного постоянного поля из (1) следует точное решение уравнений движения в виде матричной экспоненты х =- =- ехр ((е/гпс) Рт)и. В случае скрещенного поля П.З) Гамильтонов формааивм в реллтивистсквй динамике 517 А (1, х) = — В(1) (д, — х, 0), А(1, х) = — — б(х) 7(с) сбив(8), где д(х) — дельта-функция Дирака. Не учитывая проблем фокусировки, исследовать методом усреднения канонических уравнений процесс ускорения протона и получить уравнение фазовых колебаний [171]. Решение. Гамильтониан протона, взаимодействующего с электромагнитным полем Н = — — '+ + — [р — — Ат(1, х) — — А(1, х)) 2т 2 2т~ с ' с Представим гамильтониан Н в виде Н = Но + 6, г г ро тс 1 е .г Но =- — — + + — (р — — А (8, х)' 2т 2 2т с г 6 = — — А(1, ) + Аг(1, ), с ' 2тс (2) тч = р — (е/с) А (1, х).
Произведем вначале КП: 1, ро — э 1', р,'„ г г=г + т1 ро=ро тс (3) порождаемое ПФ г г Рг(г Ро т) = Ро1+ ( — ) т. Гр той Новый гамильтониан Н' .=- — (р — — А (Е, хЯ ряд (1) обрывается и совпадает с точным решением (4), полученным в задаче 11.2.7. 11.3.6. Ускорение протонов в синхрофазотроне. Синхрофазотрон наиболее современный циклический резонансный ускоритель, предложен в 1943 г. профессором Бирмингамского университета М. Олифантом.
Протоны движутся по окружности постоянного радиуса Н в переменном магнитном поле и ускоряются в электрическом поле, создаваемым электродами, расположенными в окрестности плоскости х = О. Вектор-потенциал магнитного поля А (1, х), вектор-потенциал электрического поля А(1г х) =. (А(1, х), О, 0), Реалтиеиекаенал динамика [Гл. П 5Г8 формально совпадает с ипоперечнойк частью гамильтониана в задаче 7.2.8. Для того чтобы ввести координаты центра окружности и коор- динаты, описывающие движение протона по окружности, произведем КП х, и, Р, р„— э х„, Р„: 1 У вЂ” (х2 х1) ~ ът2 1 — Ъе- (Х1 + Х2)~ ъ'2 1 Р =- — (х1+ хг), ъ'2 (4) ъ2 и КП х„, р„— 1 х'„, р'„, порождаемое ПФ Р2(х ., Р'„,т) = -1 х1х2 + ъРщй (х1Р',е* + хзр',) + 1Р',Р',ее ., 1Р = ') ит й(т ), о х1 = [х,е Ят — 1Р2), хз = [х2~ — 1Р1е1т',).
(5) ъ'тй Переходя к дейсгвительным каноническим переменным х'„ ;/Т„ехр( — еее„), р'„=. 1~7„ехр(еее„) (и = 1, 2), получим из (4) — (5) параметрическое представление траектории протона 2 х = [ 11 соз (1р + Р1) + 12 соз Р2) ° (6) 2 ~(ъ')1 Я!п (1Р+ 1Р1) — ъ [2 Я!паз~. Очевидно 211/тпй радиус окружности, (т соя е22, — тя1п 1Р2, 0) координаты центра окружности, т = 212/тпй. Каноническое преобразование позволяет исключить вклад гамильтониана Не в полный гамильтониан. Новые переменные 1„, 1р„удовлетворяют каноническим уравнениям с 1амильтонианом (7ьй5) Нв =- — — 1,12 гбп(зе-~- ~р~ + 1р~). Поскольку среднее за период Т = 2к/й значение гамильтониана Нн равно нулю, то эволюция медленных переменных определяется гамильтонианом (2), в котором следует произвести замену переменных (3), где й(т) = е ВЯ/тпс, Х = М' + р'т/тпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
