Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике (1115223), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Координаты события связаны преобразованием Лоренца Р с1 = "у, (с1'+1зх'), х = х'+.у~3 ' + с1', (11.1.1) „+ос Е =-. гпс у, р.=. гпчч, у =. 2 1 — (о/с)о (11.1.2) где ~3 = и/с., уь = (1 — ио/сз) г~о. Обратное преобразование следует из (1) после замены 1 — ~ 1', х — ~ х',,3 — ~ — ~3. Скалярное произведение 4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца. Энергия и импульс частицы массы т, движущейся со скоростью о.
11.1) Кинематика представляют собой компоненты 4-вектора импульса р" = (Е,1с., р). Отметим, что (Е(с)г — рз = (тс)з или рв р„= (тс)г — масса частицы инвариант. Масса системы невзаимодействуюгцих частиц. Массы двух невзаимодействующих частиц — т1 и тш Энергия и импульс этой системы Е = Е1 + Еьь р = р| + рг. После подстановки Е и р в (11.1.2) можно говорить о составной частице массы т, движущейся со скоростью и = р/Е.
Инвариантную массу М найдем из соотношения М =- (р„р'(с )'~~, где р" = р~ + р~~. Значение массы М одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Отльетим, что каждая из частиц т| и тг может быть рассмотрена как составная (2). Рождение новых частиц при столкновении двух частиц масс т1 и тз. Если рождаются две частицы масс ги1 и тш то процесс столкновения называется упругим. При неупрйгих столкновениях могут рождаться новые частицы в реакции т1+тг -ь т = т,+гпь+...
Законы сохранения энергии и импульса Е1 + Ег = Е + Еь + ; Р1 + Рз =. Р~ + Рь + ... выполняются независимо от характера столкновений. Условием реали- зации реакции является неравенство (11.1.3) М 3 тк тх =- та + ть + ° ° ° Из этого условия можно найти значение пороговой энергии, т.е. наименьшее значение кинетической энергии сталкивающихся частиц, при котором рождаются частицы общей массы т . При М = т все родившиеся частицы неподвижны в системе отсчета, движущейся со скоростью и. 11.1.1. Распад д-мезона. В 1937 г. в космических лучах были обнаружены нестабильные элементарные заряженные частицы— мюоны (устаревшее название —. д-мезоны, от греч. шезоз -- средний) массы равной 207 массам электрона. Время жизни мюона т = 2,2 мкс.
Одна восьмая часть мюонов, образовавшихся на высоте Н = 60 км, достигают поверхности Земли. Найти скорость мюонов и интервал времени, за который мюоны достигли поверхности Земли. Решение. Если в момент времеви 1 = 0 число неподвижных мюонов равно Хо, то через 2,2 мкс половина из них распадется, рождая электрон и два нейтрино. Половина оставшихся мюонов распадается в следующие 2,2 мкс и т.д. Следовательно, в момент времени 1 останется Мф = ДЬо (1,12)Н мюонов. Рассмотрим мюоны, образовавшиеся на высоте Н = 60 км в момент времени Н = О. Предположим, что все мюоны летят вертикально вниз с одинаковой скоростью. Найдем время полета мюонов 1г по часам наблюдателя, находящегося на Земле, и величину скорости мюонов и.
В системе отсчета, связанной с движущимися мюонами, прошло время гг, в течение которого осталась одна восьмая часть от общего числа: дь(1~~) .— Хе/8 или 1~~ — - 3г. Согласно Эйнштейну в системе Ре мтивистская динамика [Гл. П К соответствующий интервал времени 1а -— — у1зм ч = (1 — и~/с ) Поскольку Н = и1з, то из уравнения Н(и = Зт (1 — и~/сс) к~а находим и = сН [(Зтс)~ + Н~~ = с.
Время полета тН~а — (Зт)з+ ( — [ = Н/с =- 200мкс. с Движущиеся мюоны распадаются медленнее неподвижных мюонов. Если бы ход времени во всех системах отсчета был бы одинаков, то время полета до поверхности Земли соответствовало бы 1з~т = 90 периодам полураспада. После 90 периодов осталась бы лишь %(1з) /Ха = .= (1/2)ае = (10) зт часть от первоначального числа мюонов (мы учли, ГОз) 11.1.2.
Частица движется в однородном постоянном магнитном поле в плоскости в =- 0 по окружности радиуса Н: х(1) =- Н ейпьЛ, у(1) — -- Н(1 — созоЛ). В момент времени 1 =- 0 скорость частицы ч =- (ый, О, 0). Найти уравнение траектории в системе К', движущейся относительно системы К со скоростью ч. Решение.
Из (11.1.1) получим преобразование Лоренца сг'.=- у(с1 — их/с) — ~ ы1' — — у ~Л вЂ” [ — ~[ з[пы1 ~ сг х' = у(х — и1) =- уй(зшх1 — ы1), у' =- у =- Н(1 — созы8). Траектория частицы представляет собой циклоиду. Для частицы, движущейся со скоростью и с., величина у » 1. В интервале лабораторного времени 1, удовлетворяющего условию уы [1[ — 1., = — [1+ — ~ ы 1 ), 2 2 21 у[, 6 з *'=- —,(1 1)', р'= —. (З 1)' 6зУ 2у~ Уравнение траектории кубическая парабола у' =- (Н/2уз) х х (6 у~[х'[/Н)~~з. Производная с[у'/с[х' имеет разрыв.
11.1.3. Фотографирование стержня. Стержень длины А движется по оси х со скоростью и. Найти длину стержня, измеренную по данным на фотографии стержня [161[. Решение. Измерение длины стержня — процедура, не связанная с фотографированием стержня.
Когда мы видим или фотографируем какое-нибудь тело, мы регистрируем излучение, одновременно пришедшее к сетчатке или к фотопленке. Пусть на концах стержня а и Ь нахочятся источники света. Если наблюдатель, находящийся в начале 11.11 Кинематика 476 координат системы отсчета К, видит удаляющийся стержень в момент времени 1а, то на фотографии получится »искаженное» изображение, поскольку стержень занимал различные положения, когда источники а и 6 излучили волны, одновременно достигшие фотопленки. На рис. 11.1.3 изображены мировые линии источников и двух лучей т (с1) и х ь(сь): первый испущен источником а в точке х,(с8 ~) в момент времени 1,ы второй источником 6 в точке хь(с8ьз) в момент времени 1ьз..
Рис. 11.1.3 хаа(сь) = та(сьы) — с (1 — 1аз), хаь(сЮ) =- хь(сььз) — с (Х вЂ” ььз), Л Л х (сХ,з) = — + и1ы, хь(сны) = — — + и1аь а а 2 27 Наблюдаемая длина стержня д равна разности оптических длин с(1е — 1аз) = ха(с1аз), .с (1в — 8»2) = хь(с1ьз) лучей а и 6: Ы = с(арье†-1,»). Две волны падают на фотопленку одновременно, если х,а(с8в) = = х„ь(с1е).
Из этого уравнения получим О = Л/ у — (и + с) (8ы — 1а1) Следовательно, видимый размер стержня д = Л/[7 (1+ и/с)! окажется даже меньше, чем длина стержня ! = Л/~, измеренная в системе К. Если стержень приближается к фотографу, то видимый размер стержня 1 Я вЂ” и / с) . 11.1.4 — 11.1.5. Измерение скорости тела.
11.1.4. Пусть тело, к которому прикреплено зеркало, движется вдоль луча зрения наблюдателя, удаляясь от него. Световой импульс., посланный к зеркалу в момент времени рм возвращается в момент времени 1з. Найти скорость тела. Решепие. Мировые линии сигналов до отражения х7(з) = с (ь' — Н), после отражения х„(8) = с(1 — 1з) и тела х(8) = Дс1 изображены на рис. 11.1.4.
Из условий х(12) = х7(ьз) = х,.(ьз) находим ьз = 1, (1+ Д) = 6 ь'„й = 1+0 1-Д 1-О' Следовательно, скорость тела с (сз — Н) и аа Ьз + зз Найдем момент времени прихода сигнала к телу по часам системы К'. Подставляя в преобразование Лоренца с1~2 — — чь [с1з — Д х(1з)] значение х(ьз) = Дс1~., найдем ь~з —— 1з /~в. Световая вспышка наблюдается в системах К' и К в моменты времени 1! = 61м 1з .— 61~2 —— Йззм [Гл. П Ре мтивистскал дии мика 476 Рис.
11.1.4 Рис. 11,1.6 11.1.5. Наблюдатель после посылки сигнала поставил зеркало, которое отражает лучи обратно к движущемуся телу. Найти последовательность моментов времени, в которые световой импульс отражается от обоих зеркал. Отпвепп см. рис. 11.1.5.
11.1.6. Движение со сверхсветовой скоростью. В настоящее время в научной литературе продолжается обсуждение проблемы существования частиц, движущихся со скоростью большей скорости света. Они получили название тахионов (от греч. 1ас[»ув -- быстрый). Анализ экспериментальных данных не позволяет пока говорить о реальности этих объектов. Докажите, что хронологический порядок событий а и Ь на мировой линии тахиона будет различныл«для наблюдателей, находящихся в разных системах отсчета.
Решение. Обсудим, какие «сюрпризы» могут ожидать нас при встрече с тахионами. !1усть наблюдатель в системе К' встретился с наблюдателем в системе К в момент времени ! =- !' = 0 и удаляется от него со скоростью и. Оба наблюдателя регистрируют положение тахиона, движущегося со сверхсветовой скоростью и, ) с. Рассмотрим два события: (1,, я = 0) — встреча тахиона с наблюдателем в системе К и (ььч ть) -- встреча чвхиона с наблюдателем в системе К'. В момент времени 1 тахион излучил сигнал, который примет наблюдатель в системе К' в момент времени г' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
