П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 53
Текст из файла (страница 53)
теорему 8 9 52). ж Е Мера Хаара мультиплнкативной группы всех отличных от нуля действительных чисел абсолютно непрерывна относительно лебеговской меры. Что является ее производной в смысле Радона — Никодимаг 2. Если р и ч — мера Хаара соответственно в локально компактных группах Х и У, а ь — мера Хаара в Х)С У, то на баронских множествах в Х)сУ мера ь отличается от гО(ч постоянным множителем. 3. Теорему единственности меры Хаара для измеримой группы с конечной мерой можно доказатгь опираясь на свойство метрической транзитивностн, установленное в упр. 4 4 59. Предположим, что меры р и ч инвариантны слева и ч (( Э', тогда существует неотрицательная измеримая функция у, такая, что ч(Е) = у(х) Лр(х) для любого измеримого множества Е.
Отсюда следует, что ое - (пэ ь( ) = ~л»- *им ) вж и, так как ч инвариантна слева, у(х) =у(у — гх) Я. Если ДГг = (хюч(х)ч„т) то и (Ч Иэ — Фэ) = р ((х: у(у-гх) ч. Г) — (х: у (х) ч. Г)) = О. Таким образом, для любого действительного числа Г либо р()(Гг) = О, либо р ()чг) = О. Отсюда следует, что у постоянна почти всюду Я и ч = ср. Если не предполагать, что ч абсолютно непрерывна относительно р, то вместо р следует рассмотреть р + ч. Так же как в упр. 4 й 59, в этом рассуждении можно освободиться от предположения, что меры конечны. 4.
Если (Х,й,р) — измеримая группа, а Е и Р— измеримые множества в Х, то существуют последовательности элементов (хв) и (у„) из Х и последовательность измеримых множеств (А„), такие, что а) (х„А„) представляет собой последовательность непересекающихся подмножеств множества Е и (у„А„) — последовательность непересекающихся подмножеств Р, б) по меньшей мере одно из измеримых множеств Еэ = Š— 0 хэАн и Ро = Р— (.) уэАэ и м 1 имеет меру нуль. [Указание. Если Е или Р имеет меру нуль, то утверждение тривиально.
Если Е и Р— множества положительной меры, то, согласно теореме 5 й 59, можно указать такие хп уг и Ан что р (Аг) ) О, хгА1 с: Е, узАгс=Р. Если Š— хгАг или Р— угАг имеет меру нуль, то утверждение тривиально. Если оба эти множества имеют положительную меру, то мы снова воспользуемся теоремой 5 5 59. Доказательство завершается применением трансфинитной (хотя и счетной) индукции.) ГЛАНА ХЬ МЕРА ХААРА С помощью втой теоремы можно получить еще одно доказательство теоремы единственности.
Для этого нужно подробно рассмотреть отображение множества значений Р на множество значений «, которое получится, если при любом измеримом Е числу Р(Е) поставить в соответствие число «(Е). Если Р и « — левые меры Хаара, то такое отображение взаимно- однозначно. 5. Пусть Р— регулярная мера Хаара в локально компактной группе Х. Каков бы ни был элемент х нз Х, функция множества Р, заданная на борелевских множествах Е равенством Р (Е) = Р (Ех), также представляет собой регулярную меру Хаара.
Отсюда, в силу теоремы единственности, следует, что Р(ех) =ь(х)Р(е), где Ос.ь(х)с оо. Отметим следующие свойства функции д(х): а Ь (ху) = й (х) Ь (у); Ь (е) = 1. б Если х принадлежит центру группы Х, то Ь(х) = 1. в) Если х — какой-нибудь коммутатор или если х принадлежит коммутанту группы Х, то Ь(х) = 1. г) Функция Ь (х) непрерывна. [У к а з а н и е. Пусть С вЂ” компактное множество положительной меры н в — произвольное положительное число.
Так как мера Р регулярна, то существует такое ограниченное открытое множество К что Сс: (У и Р((У)~(1+«) Р(С). Пусть У вЂ” окрестность единичного элемента е, обладающая тем свойством, что У= У-г и СУ~(У; тогда если х Е У, то д (х) Р (С) = Р (Сх) < Р (()) ~< (1 + в) Р (С) — = Р (Сх-г) ~ Р (О) ~ (1 + в) Р (С), Р(Д) Ь (х) откуда + < б (х) <! + .1 1 д) Мы получаем еще одно доказательство тождества мер, инвариантных слева, и мер, инвариантнык справа, в компактной группе Х, так как, в силу,а' и „г", множество Ь(Х) оказывзется компактной мультиплнкативной группой положительных чисел.
е) Для любого борелевского множества Е Р (Е-г) = ~ — ар (х). г 1 = 3 Ь(х) (У к а з а н и е. В силу теоремы единственности, для мер, инвариантных справа, г 1 Р (Е-г) с ~" — би(х), — .) А(х) и где с — некоторая положительная постоянная. Отсюда для любой интегри- руемой функции у ) у(х — 1) с(Р (х) = с~ — ар(х). Взяв у(х-') вместо У(х), положив а(х-') = — и воспользовавшись з (х) Ь (х) последним равенством, получим — ~ а(х-г) ар(х) = с / а(х-г) Нр(х).) 1 г с ) % ае.
единственность меРН ХААРА 2бу ж) Если г (х) —,правый аналог' функции Ь(х), т. е. если ч(хЕ) = 1 = х (х) «(Е), где ч — мера, инвариантная справа, то Г(х) = —. А (х) 6. Относительно иивариаятиой мерой в локально компактной группе Х называется бзровская мера ч, не равная тождественно нулю и обладающая тем свойством, что для любого фиксированного х из Х мера ч, определенная равенством ч (Е) = ч(хЕ), отличается от ч постоянным, не равным нулю множителем.
Для того чтобы мера ч была относительно инвариантна, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде «(е) = / т(у)Ф.(у) где Р— некоторая мера Хаара, а т — непрерывный гомоморфизм группы Х в мультипликативную группу положительных чисел. (У к аз ание. Если у неотрицательна, непрерывна, в(ху) = й(х) т(у) и ч(Е) = / й(у) бр(у), то ч(Е) = ~ в(у)бр(у) =~ у(ху) ф.
(у) = = / й(х) й(у) с(Р(у) =в(х) ч(Е). Если, обратно, ч (хЕ) = в (х) ч (Е), то (см. упр. 5) у (ху) = е (х) р (у) и в непрерывна; следовательно, существует и, в силу теоремы единственности, Р = Р.) 7. Если Р— а-конечная инвариантная слева мера на баронских множествах в локально компактной группе Х, то она отличается от меры Хаара (на бзровских множествах) постоянным множителем. Отсюда, в частности, следует, что на компактных множествах Р конечна. (Указание.
Если Р не равна тождественно нулю, то (Х,йа, Р), где Бз — класс всех баронских множеств, представляет собой измеримую группу.) Глава ХП МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ в 61. ЗАДАНИЕ ТОПОЛОГИИ ПОСРЕДСТВОМ МЕРЫ В предыдущей главе мы показали, что в любой локально компактной группе можно задать инвариантную слева бэровскую меру (или инвариантную слева регулярную борелевскую меру), притом, по существу, единственным образом. В этой главе мы обнаружим теснейшую связь между свойствами группы как пространства с мерой и как топологического пространства. В частности, в итоге ряда отдельных теорем мы получим, что не только мера может быть задана на основе топологических свойств группы, но и обратно, топологические понятия в группе могут быть определены в терминах теории меры.
Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что Х вЂ локаль компактная топологическая группа, Р†регулярн мера Хаара в Х и р(Е, Е) = Р(Е Ь Е), где Е и Š†произвольн борелевские множества в Х. Теорема 1. Если Š— борелевское множество конечной меры и г (х) = р (хЕ, Е), то функция У непрерывна. Доказательство. Пусть а)01 в силу регуларности меры Р, существуют компактное множество С и открытое борелевское множество У, содержащее С, такие, что р(Е, С) < 4 и р(У, С) < 1 ° Пусть — 1 Ъ' †окрестнос единичного элемента е, такая, что и УС с= У. Если у 'х ~ У, то и х 'у ~ )с, откуда р (хС, уС) = р (хС вЂ” уС) + Р (уС вЂ” хС) = = Р (у-' хС вЂ” С) + Р (х — 'уС вЂ” С) ( (2р,(Ъ'С вЂ” С) (2р.(У вЂ” С) < 2.
Отсюда следует, что ~ о (хЕ, Е) — р (уЕ, Е) ~ ( (р(хЕ,уЕ) (р(хЕ,хС)+р(хСуС)+р(уСуЕ) < е. 4' Из теоремы 1 вытекает, что, каковы бы ни были борелевское множество Е конечной меры и положительное число в, (х:р(хЕ,Е)<е) представляет собой открытое множество.
Наш следующий результат состоит в том, что открытых множеств такого рода достаточно много. э аь ВАдАние тОпОлОГии посРедством меРы Теорема 2. Если У вЂ” любая окрестность единичного элемента е, то существует бэровское множество Е конечной положительной мера и положительное число е, такие, что (х: р (хЕ, Е) < а) с У.
До к азате л ь с т во, Пусть 1' — окрестность единичного элемента, такая, что ьгьг 'с У, и Š— бэровское множество конечной положительной меры, содержащееся в К Если 0 (е < 2р(Е), то (х: р (хЕ, Е) < э) с (х 1хЕ П Е ф О) = ЕЕ с У ~' 1 с У. Из теорем 1 и 2 следует, что класс множеств вида (х: р(хЕ, Е) ( э) представляет собой базис в точке е, и, следовательно, мы действительно имеем возможность описзть все топологические свойства группы Х в терминах теории меры. В качестве примера такого описания мы сформулируем сейчас условие ограниченности.
Теорема 3. Множество А ограничено тогда и только тогда, когда существуют бэровское множество Е конечной положительной меры и число е, такие, что О (э ( 2р(Е) и А с (х1р(хЕ, Е) (э). Д о к а з а т е л ь с т з о. Чтобы установить достаточность высказанного здесь условия, покажем, что если Š— баронское множество конечной положительной меры и 0 ( э ( 2р (Е), то множество (х:р(хЕ, Е) ( е) ограничено. Возьмем положительное число й, такое, что 46 ( 2р(Е) — е, и выберем в Е компактное подмножество С, удовлетворяющее условию: р(Е) — э ( р(С). Тогда р(хС, С) (р(хС, хЕ)+р(хЕ, Е)+ р(Е, С) ( 2э+р(хЕ,Е), откуда (х:р(хЕ, Е) (е) с (х:р(хС, С) (а+ 2э). Так как а+ 2э ( 2р(С), то (х:р(хЕ, Е) (з) с (х 1р(хС() С) фО)сСС 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
