П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Фиксируем целое положительное 1=1, ...,л О, 1 — 1 у (х) —— = пу (х) — (1'— л 1, если г (х) ( — , л г — 1 1), если — ( У(х) ( —, л - л' если — ' (у (х). лед глава х. локально компактныв пвостванства Теорема 3. Пусть Л вЂ” положительный линейный функционал на К. Если Л(С) !п$(ЛЯ:Сг=У~,Я'+), где С~ С, и если р — борелевская мера, индуцированная обаемом ),, то для любого компактного множества С и для любого положительного числа е существует функция уо из .К+, такая, что С=Уз и Л(Л) ~.'-~Лй +' Доказательство. Выберем функцию ге из .3'ь таким образом, чтобы Сего и ЛУО)(Л(С)+а; при атом будут выполняться неравенства Л(ур) (р.(С)+в ( ) гейр+е.
Ф Теорема 4. Для всякого положительного линейного функционала А существует такая борелевская мера р, что Л Ч) = ) Уй для всех у из 9'. Доказательство. Для множеств С из С положим Л(С) =$п4(Л(г):С~у~ 9'+) и возьмем борелевскую меру р, индуцированную объемом Л. Пусть у †произвольн функция из .3'. Воаьмем компактное множество С, такое, что (х: г(х) чь 0)с=С, и положительное число е. Согласно теореме 3, существует функция Го из Я'+, обладающая следующими свойствами; С =Л и Л(уь) (~БА+'.
Заметим, что так как Сг=Д, то По)~У. Если с — такая положительная постоянная, что ~~(х)! (с для всех х из Х, то функция (~+с)уо принадлежит 3'+ и, в силу теоремы 2, Л(1)+сЛЮ=ЛЯ+с)И> ~ У+с)Бй - ~ У бр+ с ~ Уь йр. вьв. Линнйнын Функционалы гву Отсюда следует, что Л й)~ ~ 1 бр+ с ~ ~ Уо 4» — Л (1о) 1)~ ~ Уй(» — сэ. Так как е произвольно, то Л(~))~ ) ) йр (т. е. теорема 2 распространяется на все функции у из с.). Применив это неравенство к функции — у, мы получим обратное неравенство для у. ж Теорем а 5.
Луста р — регулярная борелевская мера. Если Л(у)= ) у йр, где У~„У, и Л(С)=1п((Л(у):С~~~.3' ), где С~С, то р(С) = Л(С) для любого С из С. Отсюда, в частности, следует, что представление положительного линейного функционала в виде интеграла по регулярной борелевской мере единственно. Доказательство. Очевидно, что р(С) <Л(С). Если С~С и е)0, то, так как р регулярна, существует такое содержащее С ограниченное открытое множество У, что (» ((») < р(С)+ е.
Пусть у — функция из У, равная единице на С и нулю на Х вЂ” У; тогда Сс~~ У+ и Л(С) <Л(У) = ~'Уйр <р(и) <р(С)+э; так как е произвольно, то теорема доказана. ж 1. Если хэ — точка нзХ Л (у) =у(хэ) лля любой/ из.3' и»» (Е) = йк(хэ) для борелевских множеств е, то л(г) = ~Уй»». 2. Если вэ — бэровская мера, Л(г) = ~уйяэ для у из К и если Н вЂ” борелевская мера, такая, что Л(Д = ~Уйг, то»»(Е) = па(Е) для любого бэровского множества Е.
3. пусть иэ — бэровская мера и л(у)= ~уй»»э для у из ~'. положим Л ((») = зпр (Л (Г): У:» у Е.Я'э.) для произвольного У нз») н Иэ(Е) = $п1 (Лэ(О):Е ~ 0443) для произвольного е-ограниченного множества Е. Тогда»»э(Е) = яя(Е) для любого баронского множества Е. 4. Пусть Х вЂ” компактное пространство, полученное путем присоединения символа оо к дискретному пространству целых положительных чисел. В этом йлг ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА случае функция у, принадлежащая .$~, представляет собой последовательность (у(л)) действительных чисел, сходящуюся к у(сс).
Наиболее общий положительный линейный функционал имеет в этом случае вид Л(У) = ~ У(п)Л„, ТСи~сю где ~И~~Лч — произвольный сходящийся ряд положительных чисел. 5. Линейный функционал Л на.Я' называется ограниченным, если существует такое постоянное число й, что ) Л(у) (~(йэир()у(х)):хель для любой функции у из К Всякий ограниченный линейный функционал пред. ставляется в виде разности двух положительных линейных функционалов. Доказательство этого предложения нетривиально; его можно получить, построив аналог жордаиовского разложения обобщенной меры.
6. Если Х вЂ” компактное пространство, то всякий положительный линейный функционал на .Я' ограничен. ГЛАВА Х! МЕРА ХААРА $57. ОТКРЫТЫЕ ПОДГРУППЫ Прежде чем излагать теорию меры в топологических группах, мы приведем в этом параграфе три топологические теоремы, находящие важное применение в теории меры. Эти теоремы касаются открытых подгрупп; подгруппа Х топологической группы Х называется открытой если е.
представляет собой открытое подмножество. Мы покажем, что все топологические свойства группы Х присущи всякой ее открытой подгруппе л; прочие свойства находят свое отражение в строении класса левых смежных подмножеств по Л, топология его оказывается дискретной. Мы покажем, кроме того, что всякая локально компактная топологическая группа обладает достаточно малой открытой подгруппой, т. е. такой открытой подгруппой, в которой не могут иметь места патологические явления, связанные с поведением меры „на бесконечности". Теорема П Для того чтобы подгруппа л топологической группы Х была открытой, необходимо и достаточно, чтобы ее открытое ядро ло было не пусто. До к а з а т е л ь с т в о.
Необходимость условия очевидна. Докажем его достаточность. Так как по условию Лоф О, то существует элемент «, входящий в лВ. Если « — произвольный элемент нз л, то ««е ~Х и, следовательно, ««, л =Л. Таким образом, ««, л =Я', откуда «=(««О )«ВЕЛВ. Так как элемент «из Х был выбран произвольно, то Х~ЯВ, т. е. л — открытое множество. Теорема 2. Если Х вЂ” огпкрытая подгруппа топологической группы Х, то соединение любого класса левых смежных подмножеств по л одновременно замкнуто и открыто в Х Доказательство. Так как дополнение соединения произвольного класса левых смежных множеств само является соединением такого рода, а всякое множество, обладающее открытым дополнением, замкнуто, то достаточно доказать, что любое соединение левых смежных подмножеств представляет собой открытое множество.
Далее, соединение открытых множеств непременно открыто, поэтому достаточно доказать, что всякое левое смеягное подмножество открыто, ГЛАВА хь мввл хлАРА а это, в свою очередь, непосредственно вытекает из того, что сама подгруппа Е является открытым множеством. Ж Теорема 3. Если Š— любое борелевское множество в локально компактной топологической группе Х, то в Х существует такая с-компактная открытая подгруппа Е, что Е~Х. До к азат ель с т во.
В силу теоремы 1 э 51, достаточно доказать, что если (Сп) — последовательность компактных множеств в Х, то все С„, и = 1,2,..., заключены в некоторой с-компактной открытой подгруппе Е. Пусть 0 †компактн множество, содержащее некоторую окрестность единичного элемента е. Положим 0е — — 0 и 0„„= 0„-'0„)) С„+, для и = 0,1,2,... Пусть Л = Ц 0„; тогда множество Е о-компактно, и-1 солержит внутренние точки и покрывает все С„. Доказательство теоремы будет завершено, если мы покажем. что Е-'Ес=Е. Прежде всего докажем, что если е ~-0„для всех п = О, 1, 2,..., то 0„~Оп+,. В самом деле, если е~0„, то с~0„; тогда, предположив, что х ~ 0„, получим х ~ 0„хс= 0„'0„с=0„ Так как е ~ 0о, то 0п~0п+, при любом и = О, 1, 2,...
Если х и у — любые два элемента из Л, то х и у оба принадлежат некоторому 0п и, согласно выводу предыдущего абзаца, х-'у ~ 0„'0„с0„~, сЕ. $ бй. СУЩЕСТВОВАНИЕ МЕРЫ ХААРА Мерой Хаара называется борелевская мера н в локально компактной топологической группе Х, обладающая следующими свойствами: Р(У) >О для любого непустого борелевского открытого множества У и Р(хЕ) = Р(Е) для любого борелевского множества Е. В этом параграфе мы докажем, что во всякой локально компактной топологической группе существует хотя бы одна мера Хаарз. Второе условие, фигурирующее в определении меры Хаара, можно назвать левой инвариантностью (или инвариантностью относительно левых переносов).
Заметим, что первое условие равносильно требованию, чтобы Р не равнялась нулю тождественно. Можно, очевидно, предположить, что в~У. Если теперь Р(У)=0, гле У вЂ” некоторое непустое борелевское открытое множество, а С вЂ” любое компактное множество, то класс (хУ:х~С) образует открытое покрытие множества С. Так как С компактно, то в нем содержится такое а 58. СУЩЕСТВОВАНИЕ МЕРЫ ХААРА конечное подмножество (х„..., х„), что Сг= Цх1сь' и, в силу инва- 5-1 ьь риантности меры 15 слева, й(С) (~р (х,сь') =л~ь(У) =О.
Если же и 11 равна нулю на всех компактных множествах, то она равна нулю и на всех борелевских множествах. Таким образом, можно сказать, что мера Хаара есть инвариантная слева борелевская мера, не равная тождественно нулю. Прежде чем осуществить построение меры Хаара, отметим еще нзличие некоторой асимметрии в ее определении. Левые и правые переносы з группе совершенно симметричны, поэтому выделение именно левых переносов в нашем определении кажется неестественным. То, что мы здесь определили, лучше было бы назвать „левой мерой Хаара"; одновременно следовало бы ввести „правую меру Хаара" и подробно изучить связь между той и другой. Действительно, в дальнейшем мы иногда будем пользоваться этими более точными терминами.
Однако в большинстве случаев, в частности в вопросе существования, имеет место полная симметрия между правыми и левыми мерами Хаара, и именно это обстоятельство оправдывает „несимметричный" подход к ним. В самом деле, так как отображение группы Х самой на себя, переводящее л в х-ь, сохраняя все групповые и топо- логические свойства, преобразует все „левые" свойства в „прзвые" и наоборот, то из всякой „левой теоремы" следует соответстуюшая „прзвая теорема" и обратно. В частности, нетрудно убедиться в том, что если р †лев мера Хаара, то функция множества ч, определенная для любого борелевского множества Е равенством ч(Е) = = й(Е-1), представляет собой правую меру Хаара; обратно, если 55 †прав мера Хаара, то ч †лев. Пусть Š†произвольн ограниченное множество, а Š†произвольное множество, такое, что Ее ~ О; определим „отношение" Е: Е как наименьшее целое положительное число л, обладающее следующим свойством: в Х есть множество ~х1, ..., х„), состоящее из и элементов, такое, что Е~ Цх1Г.
Легко видеть, что, так как Е ограничено ь=1 и г'е ~ О, то такое конечное и существует; кроме того, если множество А ограничено и в то же время содержит внутренние точки, то Е: Е ( (Е 1 А)(А 1 Е). Наш подход к построению меры Хаара оправдывается следующими соображениями. Как было показано в предыдущей главе, для того чтобы в локально компактной топологической группе задать борелевскую меру, достаточно построить некоторый объем А, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
