П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Пусть С и Π— множества из С, причем С~ Р. Если С внешне регулярно, то, каково бы ни было а) О, найдется такое множество У из О, что СсУ и р(У)~(Р(с)+а. так как с — гг ~ У вЂ” й~ О, то, в силу соотношений р (У вЂ” и) — р (с —.о) = р((У вЂ” в) — (с — в)) =- =р(у — с) =р(у) — р(с) <., множество С вЂ” гг внешне регулярно.
Для того чтобы доказать утверждение теореиы, касающееся внутренней регулярности, предположим, что У вЂ” ограниченное множество из 11, такое, что СГ=У. Если ограниченное множество У вЂ” сг (из О) 220 ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫВ ПРОСТРАНСТВА внутренне регулярно, то, каково бы ни было е > О, найдется такое множество Е из С, что Е ~ У вЂ” У и р(У вЂ” У) (1»(Е) + е. Так как С вЂ” О=СП (У вЂ” й) ~ С() Е~ С, то, в силу соотношений 1» (С вЂ” »г) — р, (С () Е) = р. ((С вЂ” О) — (С () Е)) = = р((С вЂ” И) — Е) < р((У вЂ” И) — Е) = = р(У вЂ”.О) — »ь(Е) < а, множество С вЂ” У внутренне регулярно. Те о ре м а 2. Конечное соединение непересекающихся внутренне регулярных множеств конечной меры представляет собой внутренне регулярное множество. Доказательство.
Если (Ен...,Е„) — конечный класс непересекающихся внутренне регулярных множеств конечной меры, то для любого положительного е > О и для любого»= 1, ..., и существует множество С, из С, такое, что С»»= Е, и р(Е») (р.(С»)+ —. и и Если С=ЦС» и Е=ЦЕ„ТО Е~С~С и внутренняя регулярность »=1 »=1 множества Е .следует из соотношений р(Е) = ~»ь(Е») ( ~1»(С»)+ в = р(С)+е.
Нетрудно было бы доказать соответствующее предложение для внешне регулярных множеств, но надобности в этом нет, так как оно полностью покрывается следующей теоремой. Т е о р е м а 3. Соединение любой последовательности внешне регулярных множеств внешне регулярно; соединение возрастающей последовательности внутренне регулярных множеств внутренне регулярно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (Е») — последовательность внешне регулярных множеств; тогда для любого е > О и для любого »=1, 2,... существует множество У, из 11, такое, что Е»»=.У» и р(У») <р,(Е»)+ —. СО СО Положим У= ЦУ». Если Е= ЦЕ» и р(Е)=оо, то Е внешне »=1 »ьи 5 Ш. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕРЫ 221 регулярно; если же р(Е) ( оо, то СО ;(и) — „"(Е) =р((у — Е) <р(Ц(П,— Е,)) < 1=1 <,'~~р Я,— Е,) =,'Е(р.(У,) — р.(Е,)) (а. 1=1 4 1 Пусть теперь (Ег) — возрастающая последовательность внутренне регулярных множеств н Е= ЦЕР Мы должны доказать, что для 1=1 всякого действительного числа с, меньшего р(Е), существует множество С нз С, такое, что Сг= Е и с < р(С). Для этого воспользуемся равенством 11 (Е) = 1нв 11(Е1) и выберем 1' таким образом, чтобы с<р(Ег); далее, так как Е, внутренне регулярно, существует множество С из С, такое, что С г= Ег н с ( р (С).
Ф Теорема 4. Пересечение последовательности внутренне регулярных множеств конечной меры внутренне регулярно; пересечение убывающей последовательности внешне регулярных множеств конечной меры внешне регулярно. Доказательство. Пусть (Ег) — последовательность внутренне регулярных множеств конечной меры; тогда для любого в ) О и для любого г = 1, 2,...
найдется такое множество С, из С, что Сг г: Ег и Р(Е4) < Р(сг)+ — ° Положим С= ПСР Если Е =ПЕо то Е =1 С~ С н 1=1 4=1 „"(Е) — р(С)=р(Š— С) <р(Ц(Е,— С,)) < 4=1 ( )~~~ 11(Е,— Сг) = ~(р(Е1) — 11(С1)) (е. 1=1 1=1 Пусть теперь (Ег) — убывающая последовательность внешне регулярных множеств и Е ПЕо Мы должны показать, что для всякого 1=1 действительного числа с, большего 11(Е), существует множество 1У' г2г ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА нз 11, такоег что Е с У и с ) р(У).
Для этого воспользуемся равенством р (Е) = И ш р. (Ег) и выберем 1 таким образом, чтобы с) р(Е,); далее, так как Е, внешне регулярно, существует множество У из 1), такое, что Ег <= У и р1У) -'с. К Двойственность между свойствами внешней н внутренней регулярности, проявившаяся в сходстве двух последних доказательств, в действительности весьма глубока.
Эта двойственность может быть точно сформулирозанз в виде следующей теоремы. Теорем а 5. Для того чтобы все множества; принадлежащие С, были,'внешне регулярны, необходимо и достаточно, чтобы все множества, принадлежащие К были внутренне регулярны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что все множества нз С внешне регулярны, и возьмем любое огрзннченное множество У из О; пусть е — произвольное положительное число. У содержится в некотором множестве С нз С; так как С вЂ” У компактно и принадлежит классу $, то, согласно теореме 4 и 51, С в У~ С и, следовательно, существует множество 1г из 11, такое, что С вЂ” У~= Р и (Р) <раас — У)+.. Так как У=С вЂ” (С вЂ” У) =з С вЂ” $~~ С, то внутренняя регулярность множества У вытекает из соотношений р (У) — 1.1С вЂ” )г) = ~(У вЂ” (С вЂ” р)) = ~ГУП 1) < < р ( Ъ' — (С вЂ” У)) = р ( ь') — р.
(С вЂ” У) < а. Теперь предположим, что все множества из б внутренне регулярны; возьмем какое-нибудь множество С из С и произвольное положительное число е, С содержится в некотором ограниченном множестве У из 0; так как У в С ограничено и принадлежит О, то существует множество й нз С, такое, что в~ У вЂ” С и Р(У вЂ” С) <Р(п)+ . Так как С=У вЂ” (У вЂ” С) ~ У вЂ” й~ б, то внешняя регулярность множества С вытекает нз соотношений р1У вЂ” и) — р1С) =р11У вЂ” У) — С)=р(<У вЂ” С) — в)= = ~(У вЂ” С) — р(.У).к .. 9 аг. Рвгулявныв мейы Теорема 6.
Для того чтобы„мера р была регулярна, необходимо и достаточно любое ив двух следующих условий: все множества, принадлежащие С, внешне регулярны; все ограниченные множества, принадлежащие 1), внутренне регулярны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость обоих условий очевидна. Для того чтобы доказать достаточность, нужно только установить, в силу теоремы 3, регулярность всех ограниченных множеств, прннадлежащих 8, так как любое множество из 8 может быть представлено в виде соединения возрастающей последовательности ограниченных множеств из 8. Пусть Еа — ограниченное множество из 8 и С вЂ” множество из С, содержащее Ео.
Согласно теореме 5 ф 5, класс всех множеств вида СПСе, где С~ С, порождает о-кольцо 8ПСа, а, в силу теоремы 6 ф 51, это о-кольцо порождается кольцом всех множеств вида Е П Сз, где Š— конечное соединение непересекающихся собственных разностей иножеств из С. Исходим ли мы из условия, наложенного на С, илн нз условия, наложенного на 11, мы получим, в силу теорем 1, 2 и 3, что любое множество, принадлежащее о-кольцу 8 ПСа, внешне или внутренне регулярно.
Согласно теоремам 3 и 4, внешне регулярные подмножества множества Са н внутренне регулярные подмножества множества Са образуют монотонные классы; поэтому, согласно теореме 2 ф 6 и теореме 5, прн том или другом условии, высказанном в теореме, если какое-нибудь подмножество множества Со принадлежит 8, то оно регулярно; в частности, регулярно само Еа. 4 Т е о р е м а 7. Всякая бвровская мера ч регулярна; если С~ С, то "(С)=Ы(.(Ц,):С и,Е 11.), и если суЕ 11, то чч(Й = з"р (ч(Со): сг:гСа Е Со). Доказательство. Так как любое множество нз Са может быть представлено в виде пересечения последовательности множеств конечной меры, принадлежащих 11, то регулярность меры ч следует из теоремы 6.
Далее, в силу определения внешней меры, чч (С) = 1п1(ч (Еа): С' <= Ео Е 8о) < 1пЦ' (17о): С г= (7е Е 11о); для любого е > 0 существует множество Еа из 8а, такое, что Сг=.Ее н ч(Еа) (ч(С)+ —. Но множество Ео внешне регулярно, поэтому найдется такое множество с7с из Ц, что Е г:(Лг и (У~) ч . (Ео)+ 2 Отсюда следует, что С~(7а и ч(1гр) ~ те (С)+а. Утверждение, касающееся внутренней меры, доказывается совершенно так же, только г24 ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫВ ПРОСТРАНСТВА при этом используется внутренняя регулярность бэровских множеств Еь.
Теорема 8. Пусть 1ь — борелевская мера, а ч — мера, определенная на бэровских множествах Е равенством ч(Е) =1ь(Е). Для того чтобы мера 1ь дыло регулярна, необходимо и достаточно любое из следующих двух условий: р,(С) = «*(С) для всех С из С; р(У) =«„(У) для всех ограниченных открытых У из 1). Если две регулярные борелевские меры совпадают на всех бэровских множествах, то они совпадают и на всех борелевских множествах. Доказательство. Если р(С)=«*(С) для некоторого С из С, то, согласно теореме 7, для всякого е ) 0 существует множество Уе из Вы такое, что С ~ Уа н 1ь(УВ) = «(Уе) ~<«*(С)+е= 1«(С)+е; таким образом, множество С внешне регулярно и, следовательно, меРа 1ь РегУлЯРна. Достаточность УсловиЯ, относищегосЯ к «е, Устанавливается совершенно так же, но с использованием последнего утверждения теоремы 7.
Предположим теперь, что 1ь регулярна. Каково бы ни было поло-( жительное число е, для любого С из С существует такое множество У из 1), что С~ У и р. (У) ч,. 1« (С)+е; точно так же для любого ограниченного множества У из 1) существует такое С из С, что С г= У и 1«(У) < р(С)+ е. В обоих случаях существуют множества Се из Се и Уа нз 11е, такие, что С г= Уе г= Се ~ У (см, теорему 5 й 50). Из теоремы 7 следует, что .*(С) <.(У,) =р(У,) <р(У) <р(С)+е и че (У) )~ «(Са) 1ь(Са) )~ 1ь(С) )~ 1ь(У) — е. Так как е произвольно, то .*(С) <р,(С) н .,(У)) р(У); обратные неравенства в обоих случаях очевидны.
Мы показали, что значения регулярной меры на произвольных компактных множествах однозначно определяются ее значениями на бэровскнх множествах. Отсюда, в силу теоремы 6 й 51, вытекает последнее утверждение доказываемой теоремы. В. заключение этого параграфа мы введем одно понятие, с помощью которого иногда удается упростить доказательства регулярности. Пусть 1ь †произвольн борелевская мера, 1ьа — бэровская мера, определенная равенством 1ьь(Е) = 1ь(Е), где Е ~ Зе. Если любое множество из С или любое множество нз 11 и, следовательно, в обоих слу- $ ах РИГуляРный меРы чаях любое множество из 8 оказывается р'-измеримым (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
