П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 48
Текст из файла (страница 48)
% зь поствовнин Богвлнвских мвт Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Ле — внутренний объем, индуцированный объемом Л, А — произвольное о-ограниченное множество и У вЂ” какое- нибудь множество из»), содержащее А. Из соотношений л„(и)=р.*(и)>р.*(ипе)+р.*(ипе')) р,*(Апе)+р*(Апе') следует, что р* (А) =! п1 Лв (У) > р* (А П Е)+ ре (А П Е»).
обратное неравенство следует из полуадднтивности р*, а необходимость высказанного условия в нз определения р*-измеримости. 4 Теорема 5. Если р* — внешняя мера, индуцированная обвемом Л, то функция множества р, определенная на всевозможных борелевских множествах равенством р(Е) = р*(Е), представляет собой регулярную борелеескую меру. Будем называть р борелезской мерой, индуцированной объемом Л. Доказательство. Сначала мы покажем, что всякое компактное (а следовательно, и всякое борелевское) множество р*-измеримо; отсюда прямо будет следовать, что р представляет собой меру на борелевских множествах. Пусть С в компактное множество; в силу теоремы 4, достаточно доказать, что р* (У) > р* (У П С) + р»* (У П С') для любого и из»). Пусть О и Š— компактные множества, заключенные соответственно в и П С' и У П 1У; заметим, что как УПС', так и УПРУ принадлежат»).
Так как ДЕПЕ=О и ООЕ» »и, то р* (У) = Ле (У) > Л (О 0 Е) = Л (О) + Л (Е). где Ле — внутренний объем, индуцированный объемом Л. Отсюда вытекает, что р*(и)>Л(О)+впрл(Е) Л(О)+Л (УПРУ) = л (О)+р* (и и О) > л Ф) + р* (и и с) и, следовательно, р*(и)>р*(УПС)+впрЛ(О)=р,*(УПС)+Л,(УПС) = = р*(ип с)+ р*(ип с'). Для того чтобы доказать, что р(с) < оо, возьмем компактное множество Р, открытое ядро которого содержит С; тогда р.(С)=к (С) <р*(р) <Л(р)< Наконец, регулярность меры р следует из соотношений р (С) = ре (С) = !пав (Л е (С): С» У Е Щ = =!пХ ()»е (У): С»и~ Щ = 1пХ ()»(У); С» У~ Щ.
гг ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 280 В заключение этого параграфа приведем еще одну теорему, которая нам понадобится позднее. Теорема 6. Предположим, что Т вЂ” гомеоморфизм пространства Х самого на себя и Л вЂ” некоторый обеем. Для произвольного С из С положим Л(С) =Л(Т(С)). Если р и р — борелевские мары, индуцированные соответственно обвемами Л и Л, то р(Е) = =р(Т(Е)) для любого борелевского множества Е. Если, в частности, объем Л инвариантен относительно Т, то инвариантна и р..
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л„и Ль — внутренние объемы, индуцнрованные соответственно объемами Л и Л. Если У~[), то из соотношений (Л(С):У= СЕС) =(Л(Т(с)): У= СЕС) = = (Л ([)) ! П = Т (С), У=а С ~ С) = (Л (П): У=а Т ' (В) ~ С) =(Л(.0): Т(У)~[З~С) следует равенство Ла(У) =Ль (Т(Е)). Если р* и р* — внешние меры, индуцированные соответственно объемами Л и Л, то аналогичные соотношения приводят к равенству рь(Е)=[А*(Т(Е)); отсюда следует, что р(Е) =р(Т(Е)) для любого борелевского множества Е.
Последнее утверждение теоремы вытекает непосредственно из предыдущих. Ф 1. Здесь приведены примеры неотрицательных конечных функций множества, каждая из которых определена на всех компактных множествах какого-либо локально компактного хаусдорфова пространства.
Из них одни представляют собой объемы, другие нарушают какое-нибудь одно из условий (монотонность, аддитивность н полуаддитивность), определяющих объем: а) Хь — компактное пространство, полученное из некоторого бесконечного дискретного пространства Х путем присоединения к Х одной точки х*; функция Л задана на компактных множествах С в Х* следующим образом: Л (С) = О, если С конечно, и Л(С) = 1, если С бесконечно. б) Х вЂ” дискретное пространство, состоящее из конечного числа точек; Л(С) = ! для любого компактного множества С. в) Х вЂ” замкнутый интервал [ — 1, + !); Л(С) = 1 или О, в зависимости от того О с Са или О б Са.
г) Х* =(Х, х*) — то же пространство, что в примере,а'! Л(С) = 1 или О, в зависимости от того, содержит С точку х* или нет. д) Х=(О, ~- —:и=1, 2, ...~. Если С содержит бесконечно много 1 отрицательных чисел, то Л(С) = О; в противном случае Л[С) = 1 или О в зависимости от того, Об С или О7С. е) В Х определена борелевская мера Ра!для любого С из С мы полагаем Л (С) = звР (Ра (Са): С~ Са б Сь). ж) В Х определена борелевская мера Р; Л(С) =Р(Са) для любого С нз С, % 64.
РЕГУЛЯРНЫЕ ОБЪЕМЫ 23( 2. Ланы два объема Л и Л; Ре и Ре — иидуцироваиные имн внешние меры. Если Л(С) (Л(С) (Ре(С) для любого С из С, то Ре = ре. (Указа. н и е. В силу первой части теоремы 3, достаточно доказать, что Р» (О) = = ацр(Л(С): (У:з СЕ С) для всех 0 из Н.) 3. Усилением результата упр, 2 является следующая теорема, обратная теореме 3: если Л и Л вЂ” объемы, Ре и р» — индуцированные имн внешние меры и если ре(Сэ) (Л(С) (Ре(С) для любого С из С, то Ре = ре.
(Ук аз а ни е. В силу теоремы 5, Р" (Е) = ацр (Р» (С): (у =э С Е С) лля любого (Г из Ей мы хотим доказать, что ре ((у) = зцр ( Л (С): (у =э С 4 С). Если»)0 и (уЕ(), то существуют множество С нз С, такое, что Сс:(у и Ре(0) (Ре(С) +», н множество 0 из С, такое, что Сс 0эс 0 с (Л) 4. Если объем Л таков, что Л(С))0, ноль скоро Сааб, то индуцированная этим объемом борелевская мера р положительна на любом непустом множестве из Л).
б. Независимо от каких бы то ии было объемов можно рассматривать внешние меры и из всевозможных э-ограниченных множествах, обладающие тем свойством, что для любого С из С Ре(С) =(я((ре(()):С~ и4Н)< Верны ли для таких внешних мер теоремы 4 и 57 3 54. РЕГУЛЯРНЫЕ ОБЪЕМЫ Выше было отмечено, что значения объема могут не совпадать (на компактных множествах, конечно) со значениями борелевской меры, индуцированной этим объемом.
Однако для некоторого важного класса объемов построение, описанное в % 53, приводит к функции множества, являющейся продолжением исходного объема. В этом параграфе мы исследуем такие объемы и, воспользовавшись полученными при этом результатами, докажем одну важную теорему, устанавливающую в определенных случаях существование борелевской меры; некоторая теорема единственности для борелевских мер была, как мы помним, доказана выше (см. теорему 8 3 52).
Объем Л назовем регулярным, если для любого С из С' Л(С) = (ЕХ( Л(0): С»=0э~0~ С ). Это определение представляет собой возможно более точную (с учетом того, что объем задан лишь на компактных множествах) имитацию определения (внешней) регулярности меры. Теорема 1. Если (» — борелееская мера, индуцироеанная некоторым регулярным обвемом Л, то 1»(С) =Л(С) для любого множества С из С. Доказательство. Если С~С, то, в силу регулярности Л, для произвольного е ) 0 существует такое принадлежащее С множество,0, ~~Сс=0о и Л(0) (Л(С)+е, 282 ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Согласно теореме 3 й 53, Л(С) <р(с) <р(По) <Л(П) <Л(С)+а' так как е ) О произвольно, то теорема доказана.
Ч' Следующая теорема содержит утверждение обратного характера. Т е о р е м а 2. Пусть р — регулярная борелевская мера. Если для любого С из С положить Л(С) = р(С), то так определенная функяия множества Л представляет собой регулярный обеем» и борелевская мера, индуцированная обаемом Л, совпадает с р.. Доказательство.
функция Л, очевидно, является объемом. Так как мера р регулярна, то для любого С из С и для любого а) О в с» найдется такое множество (г, что С»=(г' и р,(0) (р. (С)+ е. Если компактное множество,0 таково, что С»=По»=П»=У, то Л(П) = р(П) < „(П) < р(С)+ а = Л(С)+ а, и регулярность Л таким образом доказана. Пусть р — борелевская мера, индуцированная объемом Л; тогда, согласно теореме 1, р (С) Л (С)=р(С) для любого С из С н, следовательно, р=р.
Теорема 3. Если р — бзровская мера и если для любого множества С из С Л(с) =»п1(ро((Уо): С»=Пабло! то Л представляет собой регулярный обеем. Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что Л конечна, неотрицательна и монотонна. Пусть С и П вЂ” множества из С, а По и Уо — множества из Ц>, такие, что С»=По и П»=Ус; тогда СОВ»=(го() УоЕЦ, и, следовательно, Л(С() П) <р,(П,О У,) <р,(и,)+р,(У,), откуда Л(СЦП) (!П2ро((»о)+1зИро(Уо)=Л(С)+Л(0); таким образом, полуаддитивность Л доказана. Пусть С н П вЂ” непересекающиеся множества из С; тогда в а»о существуют такие непересекающиеся множества Уо и У, что С»=П и П~Уо.
Если С0П»=%оЕ»»о, то Л(С)+Л(П) <Ро(С.ПЮ;)+Ро(УоПЮ;) <Р,(Ю;) и, следовательно, Л(с)+Л(П) (МВ1р (Ю~)=Л(С0 П). Аддитнвность Л вытекает из этого неравенства и из доказанной выше полуалдитивности. х аа. некотОРые классы непРВРыВных ФункциЙ 233 Для того чтобы доказать, что объем Л регулярен, возьмем произвольное компактное множество С и произвольное положительное число е. Согласно опРеделению Л, найдетсЯ такое множество (Уе из ()а, что и Р ((у ) (Л(С)+ Если Сс=с)ег=0с(УВ, где Π— компактное множество, то Л(В) <Ре(ие) <Л(С)+..
Теорема 4. Если Ре — бэровская мера, то существует единственная рехулярная борелевская мера Р, такая, что р. (Е) = ра(Е) для любохо бэровского множества Е. Доказательство. Положим, для любого С из С, тогда, в силу теоремы 3, Л будет представлять собой регулярный объем. Рассмотрим индуцированную этим объемом борелевскую меру 1ь. Согласно теореме 1, Р(С) = Л(С) для любого С из С. Так как всякая бэровская мера регулярна (см.
теорему 7 и 52), то Л(С) =Ре(С) н, следовательно, Р(С) = Ре(С) для любого С из С. Существование меры Р, обладающей требуемыми свойствами, доказано; единственность ее вытекает из теоремы 8 й 52. Ф 1. Какие нз функций, заданных в упр. 1 $53, представляют собой регулярные объемы2 2. Егля, в обозначениях теоремы 6 5 53, Л представляет собой регулярный объем, то Л вЂ так регулярный объем.
3. Если Р— борелевская мера и Л(С) ацр (Р(Са):С~СесСР) для всякого С из С, то мера Р регулярно пополнима тогда я только тогда, когда Л является регулярным объемом (см. пример .е' з упр. 1 $53). 4. Назовем объем Л внутренне регулярным, если Л(С) =ацр(Л(с1): Се~(УЕС) для любого С иа С. Справедливы следующие теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2: а) Если Р— борелевская мера, индуцироваяяая внутренне регулярным объемом Л, то Р(Се) = Л(С) для любого множества С из С. б) Если Р— регулярная борелевская мера и Л(С) =*и(Се), где С6С, то Л представляет собой внутренне регулярный объем, и индуцированная им борелевская мера совпадает с Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
