П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. функцию множества на С, обладающую известными свойствами аддитивности. Для компактного множества С и непустого открытого множества сь' 24б ГЛАВА ХЬ МЕРА ХААРА отношение С: У служит мерой сравнения размеров С и У. Умножая С: У на некоторый множитель, зависящий от размеров множества У, и затем совершая в этом произведении некоторый предельный переход, в предположении, что У неограниченно уменьшается, мы получим в качестве предела значение А на множестве С.
Сказанное в предыдущем абзаце не вполне точно. Чтобы обнаружить это и заодно сделать последующее изложение более наглядным, рассмотрим такой пример. Пусть Х вЂ” эвклидова плоскость, р — лебеговская мера и С в произвольное компактное множество. Внутренность круга произвольного радиуса г) О обозначим У„и положим и !Г)=С: У„. При этом, очевидно, п(г) лга~~ !ь(С). Известно, что !пп п(г) лгз сущеу.+ 0 ствует, но равен не !А(С), а э !ь(С).
Иначе говоря, при заданной 2л Г'3 мере, принимающей значение лгз на У„, указанный процесс приводит к новой мере, отличающейся от исходной некоторым постоянным множителем. С целью исключить этот множитель мы будем рассматривать С:У вместо С: У частное двух отношений — ', где А — некоторое фн- А:У' ксированное компактное множество с внутренними точкамн. Теорема 1. Каковы бы ни были непустое огпкрытое множество У и компактное множесгпво А, имеющее внутренние точки, функция множества 1о, определенная на компактных множествах С равенством Л„(С) = С:У А:У' неотрицательна, конечна, монотонна, полуаддитивна и инвариантна слева; кроме того, она обладает тем свойством, что если С и 72 — любые компактные множества, для которых СУ- П77У-'=О, 1п(СО И) = Ло(С) +Ли(П). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Все перечисленные здесь свойства функции 1п, кроме, может быть, последнего, вытекают непосредственно из определения отношении С: У. Для доказательства последнего утверждения подвергнем У левому переносу с помощью некоторого элемента х; заметим, что если С П хУ ~ О, то х ~ СУ ', и если В П хУ + О, то х~ ггУ '. Следовательно, никакое хУ не может пересекаться одновременно с С и В, а отсюда и вытекает последнее указанное в теореме свойство функции 1гг.
Теорема 2. Во венной локально колтактной топологической группе Х существует хотя бы одна регулярная мера Хаара. Доказательство. В силу теорем 5 и 7 й 53, достаточно построить инвариантный слева объем, не равный тождественно нулю. В силу теоремы 3 й 53, мера, индуцнрованная таким объемом, не равна нулю тождественно. Это и будет искомая регулярная мера Хаара. % 58. СУЩЕСТВОВАНИЕ МЕРЫ ХААРА Пусть А — какое-нибудь фиксированное компактное множество и М вЂ” класс всех окрестностей единичного элемента. Для любой окрестности У из М возьмем соответствующую функцию Лп, определенную на компактных множествах С равенством С1 11 Лп= —, А:У Так как Сг У (1С: А)(А: 1)), то О (Лп(С) ~,'С: А для любого С из С. Согласно теореме 1, функция Лп отличается от объема только тем, что она может не быть аддитивной.
Сейчас, прибегнув к теореме Тихонова о компактности произведения пространств, мы выделим такую функцию, предельную для функций Лп, которая обладает всеми свойствами объема, в том числе свойством аддитивности. Каждому множеству С из С поставим в соответствие замкнутый интервал [О, С: А) и возьмем тихоновское произведение Ф всех таких интервалов. Ф представляет собой компактное хаусдорфово пространство, точками которого служат действительные функции м, определенные на С; при этом О (р(С) (С: А для любого С из С.
Функция Лп, при любом фиксированном У из М, представляет собой точку пространства Ф. Для любого У из М пусть А 10) означает множество всех тех функций ЛУ, для которых Ъ'~К т. е. Л1и) = 1Л,: и Р"ЕМ). Если )111, ..., У„) — любой конечный класс окрестностей единичного м элемента, т. е. любой конечный подкласс класса М, то йУ1 также 4=1 является окрестностью единичного элемента и йи,Сиь 1=1 Отсюда следует, что /=1, Л(йС,) Плат,) 4=1 1=1 и, так как всякое А10) содержит Лгг и, следовательно, непусто, то любой конечный подкласс класса множеств вида Л(1у), где СЕМ, имеет непустое пересечение.
В силу компактности пространства Ф, существует точка Л, принадлежа1цая пересечению замыканий всех 1Л (У): ЛЕй(Л~~~: ~ЕМ). 181ы покажем, что эта функция Л и есть искомый объем, 2эл Ясно, что О (Л(С) (С: У(со для любого С из С. Покажем; что функция Л монотонна; для этого заметим, что при любом фиксиг рованном С из С функция со, определенная на Ф равенством Ео(е)=сэ(С), непрерывна, а потому, каковы бы ни были компактные множества С Л = ( <р: ср (С) ( сэ (0) ) «Ф замкнуто.
Если С«0 н У~Х, то Ли~ Л и, следовательно, Л(У)Г=Л, а так как Л замкнуто, то Л~Л(У)«Л; таким образом, Л монотонна. Доказательство полуаддитивности функции Л проводится с помощью вполне аналогичного рассуждения; поэтому мы его опускаем и переходим к доказательству того, что Л аддитнвна. Пусть С и Π— непересекающиеся компактные множества; тогда существует окрестность У единичного.элемента е, такая, что СУ 'П1)У '=О.
Если У~Х и Ус=У, то СУ 'ПРУ ' =О, и (см. теорему 1) Л, (С1).У) = ЛР (С)+ Л, (И). Это означает, что при У«У функция Лт принадлежит замкнутому множеству Л'=(су:сэ(С() У) ф(С))-сэ(В)) и, следовательно, Л(У)с=Л'. Отсюда вытекает, что Л~Л(У)«Л', т. е. Л аддитивнз. Еще раз повторяя рассуждение такого типа, мы докажем, что Л (А) = 1 (в силу того, что Лп (А) = 1 при любом У из Х). Таким образом, функция Л, относительно которой мы уже знаем, что она является обьемом, не равна нулю тождественно. Инвариантность функции Л слева следует из соответствующего свойства всех Лгг. 1. Существование правой меры Хаара можно получить, опираясь на существование левой меры Хаара, если ввести группу Х, двойственную к Х в следующем смысле.
По определению, Х состоит из теь же элементов и обладает такой же топологией, что и Х, а произведение элементах на элемент у, т. е. ху, в Х определяется как произведение у на х, т. е. ух, в Х. 2. Мера Хаара, очевидно, не единственна, так как если Р— мера Хаара, то ср, где с — любое положительное число, также представляет собой меру Хаара.
8. Если функция Л , где У б 1Ч, определена так, как в теореме 1, то для любого компактного множествз С, содержащего хотя бы одну внутреннюю 1 точку, выполняются неравенства 0( — ~~„1п(С). Отсюда следует, что А:С Лгг(С)) О, коль скоро Сэ ~ О. 4. Приведем известный пример группы, в которой левые и правые меры Хаара существенно различны.
Пусть Х вЂ” множество всех матриц вида ( ) х у~ где 0(х(со и — со(у(со; легко видеть, что относительно 0 1,/ обычного матричного умножения Х является группой. Если Х топологизирована естественным образом как полуплоскость эвклидовой плоскости, то Х оказывается локально компактной топологической группой. Если мы положим для произвольного борелевского множества Е р(е) = ~ ~ — лхасу и э(Е) = ~ ~ — ахну 1 1 % аэ.
измеРимые ГРуппы (где интегралы берутся по лебеговской мере в плоскости), то Р и т будут представлять собой соответственно левую и правую меры Хаара. Так как Р(Е ) = т(Е), то на этом примере мы видим, что могут существовать изме- 1 римые множества е, для которых Р(е) с со и Р(е 1) = оо. 5. С и  — компактные множества; следует лн из Р(С) = Р (1)) = О, что Р(СВ) = ОУ 6. Пусть Р— мера Хаара в Х; для того чтобы группа Х была дискретной, необходимо и достаточно, чтобы Р((х)) ~ О хотя бы для одного х из Х.
7. Всякая локально компактная топологнческая группа Х удовлетворяет условию, сформулированному в упр. 10 5 31 (см. $57). 8. Если мера Хаара в Х конечна, то группа Х компактна. 9. Если Р— мера Хаара в Х, то следующие четыре условия взаимно- эквивалентны: а) группа Х е-компзктна, б) мера Р вполне а-конечна, в) всякий класс непересекающихся непустых открытых борелевских множеств конечен или счетен, г) для любого иепустого открытого борелевского множества (У существует последовательность (ха) элементов из Х, такая, что Х= Ох„и. и=1 5 59.
ИЗМЕРИМЫЕ ГРУППЫ Топологическая группа, по определению, представляет собой группу Х с топологией, удовлетворяющей некоторой аксиоме отделимости, и облздающую тем свойством, что отображение (произведения Х)( Хна Х), которое переводит (х, у) в х-'у, непрерывно.
Здесь для нас будет более полезно другое определение, содержащее требование, чтобы отображение Я (произведения Х1( Х самого на себя), заданное равенством 8 (х, у) = (х, ху), было гомеоморфизмом. Оба эти определения эквивалентны. В самом деле, если Х вЂ” топологическая группа в смысле первого определения, то отображение 8 непрерывно; а так как оно, очевидно, взаимно-однозначно и Я вЂ '(х, у) = = (х ', х 'у), то и 8 ' непрерывно, т. е.
5 представляет собой гомеоморфизм. Если, наоборот, дано, что 8 есть гомеоморфизм, то Я-1 непрерывно; непрерывным будет и отображение, состоящее из 8-1 с последующим проектированием ХХ Х на Х. (В том случае, когда Х вЂ” числовая прямая и групповой операцией служит сложение, отображение 8 имеет простой геометрический смысл: оно смещает любую точку (х, у) плоскости в вертикальном направлении на отрезок, равный х.) Назовем теперь измеримой группой пространство (Х, 8, Р) с а-конечной мерой, обладающее следующими свойствамн: а) р не равна тождественно нулю, б) Х есть группа, в) а-кольцо 8 и мера Р инвариантны относительно левых переносов в Х и г) отображение 8 произведения Х 1( Х самого на себя, определенное равенством 8 (х,у) = = (х, ху), переводит измеримые множества в измеримые. (Йнвариантность 8 относительно левых переносов означает, конечно, что хЕ ~ 8 при любых х. из Х и Е из 8; измеримыми множествами в ХКХ называются, как обычно, множества, принадлежащие о-кольцу 8 у(8.) 290 ГЛАВА ХЬ МЕРА ХААРА Если Х вЂ” локально компактная группа, 8 — класс всех бэровскнх! множеств в Х н 1ч — мера Хаара, то (Х, 8, 1А) представляет собой~ измеримую группу; это вытекает из того, что 8 есть гомеоморфнзм (следовательно, 5 преобразует бэровские множества в бэровскне множества), а класс всех бэровских множеств в ХКХ совпадает с 8К8 (в силу теоремы 5 й 51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
