П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. все о компактные, а вместе с ними н все борелевские множества принадлежат области определения пополнения меры [ьа), то мы будем называть борелевскую меру р регулярно пополнимоб. Если р регулярно пополнима, то для любого борелевского множества Е существуют такие бэровские множества А и В, что А с Е с В и ро( — А) =0; из теоремы 8 следует, что регулярно пополнимая мера регулярна. Е Всякая борелевская мера э-конечна. 2.
Если пространство Х компактно, то класс всех регулярных множеств в Х нормален (см. упр. 2 50). 3. Йсли Р— борелевская мера и если существует такое счетное множество У, что Р(Е) =Р(Е Д У) для любого борелевского множества Е, то мера Р регулярна. 4. Если Х вЂ” эвклидова плоскость и Р— лебеговская мера, определенная на всех борелевских множествах из Х, то Р представляет собой регулярную борелевскую меру в смысле, сформулированном в этом параграфе. Если же для любого борелевского множества Е определить Р(Е) как сумму мер (на прямой) всех горизонтальных сечений множества Е, то Р не будет борелевской мерой. 5. Предположим, что пространство Х компактно и х* — точка этого пространства, такая, что множество (лч) не есть 6 (см., например, упр. 3 й 50).
Тогда мера и на 8, определенная равенством Р (Е) = йп(лч), является регулярной борелевской мерой, но не обладает свойством регулярной пополнимости. 6. Если Рь Рэ, и Р— боРелевские меРы, пРичем и = Рг + Рэ, то, когДа регулярны две из этих трех мер, регулярна и третья. [У к а за н и е. Если СЕ С, идти, С~им Р(и)<Р(С)+., Р,(С)+Рэ(и)<Р((Г) <Р,(С) +Р,(С)+ ..) 7. Предположим, что Х и г' — компактные хаусдорфозы пространства, Т— непрерывное отображение Х на У ни — борелевская мера в Х. Если ч = РТ-', то компактное множество гэ в У регулярно по отношению к э тогда и только тогда, когда С= Т-г(В) регулярно по отношению к Р. [Указание.
Если С с:. (Г Р О, то Т(Х вЂ” ()) и )) представляют собой непересекающиеся компактные мйожествз в У. Если У вЂ” окрестность множества )У, не пересекающаяся с Т(Х вЂ” О), то С с: Т-1(У) с: О! 8. Если Р— регулярная борелевская мера, то для любого э-ограниченного множества Е Ря(Е) (п((Р(()):Е~УЕ()) и Рь(Е) =эпр(Р(С):Е:зСЙС). 9. Если Р и ч — борелевские меры, такие, что Р регулярна и э (( Р, то э также регулярна.
10. а) Пусть Я вЂ” наименьшее несчетное порядковое число и Х вЂ” множество всех порядковых чисел, меньших или равных Я. Положим Х = Х вЂ” (Я). Если в качестве базиса в Х взять класс всех «интервалов» вида (х: а (х ~ 5), присоединив к нему множество (О), то Х окажется компактным множеством. б) Класс всех неограниченных замкнутых множеств в Х замкнут относительно образования счетных пересечений. 15 зяс, Яэ.
и. Халммэ 22д ГЛАВА Х. ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА в) Если для любого борелевского множества Е в Х положить Р(Е) = 1 или О, з зависимости от того, содержит нли не содержит Е неограниченное замкнутое подмножество, то Р будет представлять собой бореаЕВСКУю меру. г) Борелевская мера Р, описанная з „з, не регулярна. (Указание. Всякий интервал, содержащий Я, имеет меру 1.) й 58. ПОСТРОЕНИВ ВОРЕЛЕВСКИХ МЕР Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, каким образом можно построить некоторые (регулярные) борелевскне меры, исходя из более простых функций множества.
Назовем обьемом неотрицательную конечную монотонную аддитнвную и полуаддитивную функцию множества, заданную на всевозможных компактных множествах. Итак, функция множества Л, заданная на С, представляет собой объем, если она обладает следующими свойствами: а) 0 а Л(С) < оо для любого С из С, б) если С и Π— компактные множества и Сг= О, то Л(С) (Л(О), в) если С и Π— непересекающиеся компактные множества, то Л(С() О) =Л(С)+Л(О), г) если С и Π— любые компактные множества, то Л (С 0 О) < Л (С) + Л (О).
Заметим, что Л должна обращаться в нуль на пустом множестве, так как Л (О) + Л (О) = Л (О () О) = Л (О) ( оо. Исходя из заданного объема Л, мы построим некоторую функцию множества Ле на всех борелевских множествах. С ее помощью мы зададим на всех е-ограниченных множествах внешнюю меру Ре. Мера Р, индуцированная этой внешней мерой, окажется, как мы увидим, регулярной борелевской, мерой. Внутренним обьемом, индуцированным обьемом Л, мы назовем функцию множества Ле, заданную на Л) равенством Ле(сУ) = зпр (Л(С): гУ=>С~С). Теорема 1. Внутренний обеем Ле, индуцированный каким- либо обьемом Л, представляет собой функцию множества, монотонную, счетно-иолуаддитивную, счетно-аддитивную и обращающуюсн в нуль на пустом множестве.
Доказательство. Очевидно, что Ле(0)=0. Пусть У н У принадлежат классу $3, причем Ус=У, и С вЂ” компактное множество, заключенное в 1)1 тогда Сг= У и, следовательно, Л (С)К„Ле (У). Поэтому Л,„(11)=зпрЛ(С) (Л (У). Если (У и У вЂ” множества из 1) и С вЂ” компактное множество, заключенное в У Д У, то, в силу теоремы 1$50, существуют компактные множества .О и Е, такие, что Ос(У, Е~У н С=О() Е.
Так как Л (С) ( Л (О) + Л (Е) ( Ле (сУ) + Ле (У), то Л,(О() У)=зпрЛ(С) <Л,(и)+Л,(У), а аз. постРовннв воРвлйвских мвР т. е. фУнкциЯ Ле полУаддитивна. КонечнаЯ полУаддитивность Ле Устанавливается без труда методом индукции. Если( ие) †последовательнос множеств из Ц, а С в компактное множество, заключенное в Ц Уо «ец то, так как С компактно, существует такое целое положительное число н, что Сг=Ц Уо Отсюда вытекает, что 4=1 ю и СО л(с) <л,(Ц и,) <~л,(и,) <',Ел,(и,) и, следовательно, Ш СО Л„( Ц и ) = анр Л (С) < ч~, 'Л (и,); таким образом, Л„ счетно-полуаддитивна. Пусть теперь У и ь' — непересекающиеся множества из Ц, а С и Π— компактные множества, такие, что Сси и Ось'. Так как С и У не пересекаются и СЦЙ сиЦ Ъ", то л(с) +л<.О) =л(сцу) <л,(иц и) и, следовательно, Л,(и)+Л,()~) =зпрЛ(С)+зпрЛ(О) <Л,(иц р).
Отсюда и из полуаддитивности функции Ле вытекает, что Ле аддитивна; конечная аддитивность доказывается по индукции. Если (Уе) †последовательность непересекающихся множеств из ц, то л.(ЦУ,) > л, (Ци) = ~ л„(и). Так как эти неравенства верны при любом и = 1, 2,..., то л, ( Ц и,) > 5', л, (и,), и счетная аддитнвность функции Л„следует из ее счетной полуаддитивности, уже доказанной выше. Пусть Л вЂ” какой-либо объем и Ле — индуцированный им внутренний объем; на наследственном а-кольце всех о-ограниченных множеств определим функцию мнонества йю положив Р,(Е)=ы~л,(и):Е хитц).
Будем называть и* внешней мерой, индуцироеанной обаемом Л; зто название оправдывается следующей теоремой. глАва х. локАльнб компактный пвбст>>анс16А Теорема 2. Внешняя мера >ьь, порожденная обьемом Л, обладает всеми свойствами внешней меры, сформулированными в 210. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как 0 ~ 0 ~ С н ЛО (0) = О, то р* (0) = О. Пусть Е и Р— о-ограниченные множества, причем ЕсР.
Возьмем такое множество У иа 11, что Рг=У; тогда Ес:.У и рь(Е) (ЛО(У). Отсюда следует, что !с* (Е) ( !и! Ль (У) = Р." (Р). Пусть теперь (Ег) — некоторая последовательность о-ограниченных множеств. Для любого в ) 0 и для любого ! = 1, 2, ... существуют такие множества Уг иэ 11, что ЕгШ, и Л„(У) (рь(Ег)+ —. 2~ Отсюда следует, что ОО О> СО СО р*(ЦЕ,) <Л,(ЦУ,) <ч;Л.(У,) <~р (Е,)+.. Так как а произвольно> то из этих неравенств следует, что рь счетнополуаддитивна. Ф От описанных здесь функций Л и >сь можно было бы ожидать, что Л служит продолжением функции Л, а 1сь †продолжени функции Л , так что, например, ь>О (С) = Л(С) для любого компактного множества С.
Однако, вообще говоря, это неверно; все, что можно утверждать в этом направлении, высказано в следующей теореме. Теорема 3. Если Л вЂ” внутренний обьем и Льь — внешняя мера, индуиированные обьемом Л, то 1сь(У)=Ле(У) для любого У из 1) и рь(Со) (Л(С) (ь>О(С) для любого С из С. (Напоминаем, что Сз обозначает открытое ядро множества С.) Доказательство. Если У~(1, то из соотношений У~У~11 следует, что !с" (У) (Ль(У). Если 1>~11 н У~ 1', то Л (У)~(А~(О) и, следовательно, Л. (У) <1и!Л,(Р) =рь (У). Если С~С, У~11 и Сс=У, то Л(С) <ЛО(У), откуда Л (С) (1п! Л (У) = 1сь (С). Если С~С, !)~С н Ос=Со(~С), то Л(Е>) (Л(С) н, следовательно, >ьь (Сз) = Л (Сь) = ззр Л (У) ~', Л (С). Ф Теорема 4. Если >сь — внешняя мера, индуиированная обьемом Л, то о-ограниченное множество Е !Оь-измеримо тогда и только тогда, когда р* (У) )~ р" (У () Е) + рь (У П Е') лри любом У из 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
