П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 49
Текст из файла (страница 49)
й 55. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть Х, как обычно, локально компактное хаусдорфово пространство. Класс всех действительных непрерывных функций, каждая из которых тождественно равна нулю вне некоторого компактного множества, условимся обозначать .3'(Х) или просто,Я'. Таким образом, .3' представляет собой класс всех тех действительных непрерывных функций )', для которых множества А((у) = (х:у(х) чь 0) ГЛАВА Х.
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ограничены. В том случае, когда пространство Х не компактно и превращается в компактное пространство Хь присоединением одной точки х*, эта последняя называется иногда бесконечно удаленной точкой пространства Х. При этом .Я' можно определить как класс всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки.
Подкласс класса .2Р(Х), состоящий из всех неотрицательных функций, принадлежащих .Я', будем обозначать .3'+ (Х) или .Я'+. Следующая теорема устанавливает некоторый результат, неявно фигурировавший ранее во многих наших построениях. Т е о р е м а 1. Если С вЂ” произвольное компактное бэровское множество, то в.2'+ существует такая убывающая последоватпельность функций (Я, что 11шУ (х)=Х (х) в любой точке х из Х.
Доказательство. Пусть С=ПУ„, где ӄ— ограниченные в=1 открытые множества; тогда для любого целого положительного и существует такая функция ц„из ог (см. й 50), что П, если хо. С, 10, если х~ У„. Положим У'„й, П... П д„; тогда последовательность (Я вЂ” убывающая и Ищу„(~)=Хо( ) во всякой точке х из Х. Так как У„ ограничены, то у ~,я'+, и=12,...
оь Пусть р — бэровская мера, У' — какая-нибудь функция, принадлежащая классу 9; и (х: г(х) чь О) с=С~Со. Так как )ьо(С)(ОО и г ограничена и измерима в смысле Бэра (см. теорему 2 $51), то г интегрируема по ро и Это верно, в частности, тогда, когда имеется некоторая борелевская мера р, и ро определена на бэровских множествах Е равенством )ьо (Е) = 1ь (Е). Т е о р е м а 2. Если р — бэровская мера, принимающая положительные значеная на всех непустых открытых бэровсяих множествах, и Я~.Я'ь, то ) Уды=О тогда и только тогда, когда ,у(х) = 0 для всех х из Х, 1 зк нвкотогыв классы нвпевгывных еэнкций 236 Д о к а з а т е л ь с т в о.
Достаточность условия очевидна. Чтобы доказать его необходимость, предположим, что ) г'бр= О, и возьмем ограниченное открытое бэровское множество У, такое, что (х:У(х)~0)с= У. Пусть Е=(х:г(х)=0). Так как и-л и г' неотрицательна, то и(У вЂ” Е) = О. Множество У вЂ” Š— открытое бэровское, поэтому У вЂ” Е=О, т.е. Ус=Е. Теорема 3. Если р — бэровская мера и в)0, то, какова бы ни была интегрируемая простая бэровская функция У, существует интегрируемая простая функция б= ~ ее Хо с=1 такая, что С,— компактные бэровские множества, 3=1,..., и, и Доказательство. Пусть У=~и,у и с — такая положиг=г жг тельная постоянная, что ~ у(х) ! <с всюду на Х (т. е.
~аг ! <с, с =1,..., и). Мера 1ье регулярна, поэтому для любого 1= 1,..., и существует такое компактное бэровское множество С„что Сс с Еь " Но(Еь) <рь(Сг)+ „ Если д ~~~~а,)(о, то е ~К вЂ” а!4'ь=Х~ис!1 (Еь — С) <*. е=г э Теорема 4. Если и — бэровская мера, е — произвольное положительное число и д = ~~р~ и, уо — простая функция, причем ь все С,— компактные бэровские множества, 1=1,..., и, то существует такая функция й, принадлежащая классу .Х., что Доказательство. Так как (С„..., С„) — конечный класс непересекающихся компактных множеств, то существует конечный 286 ГЛАВА Х.
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА класс ((У„...,(У„) непересекающихся ограниченных открытых бэровских множеств, таких, что С, с= Ц, 1= 1,..., и. Мера рэ регулярна, поэтому мы вправе предположить, что р,((У,) <р,(С)+ — „',, 1=1,..., л, где с)0 таково, что ~Е(х)~ <с для всех х из Х. Для каждого 1=1,..., л существует функция Ь, из ег, равная нулю на Х вЂ” (уе и равная единице на С,. Положим Ь= ч'.,а,Ь,. Так как Ь1~,Я'+, еи1 1 =1,..., л, то Ь~.Д'; далее, ~Ь(х)) <с всюдуна Х, потому что (Уг не пересекаются.
Таким образом, и и ~~д — Ь(йр,= ч„~ ~Ь! йр,< ~Зеро(и,— С,) <.. 1 1 4 1 1 '1 1. Если р — регулярная борелевская мера, то совокупность всевозможных конечных линейных комбинаций характеристических функций компактных множеств плотна в .'.~Р (Р), 1<р <со. 2. Если Р— регулярная борелевская мера, то .5Р плотно в .Я'Р (Р), 1<р<со. 3. Если Р— регулярная борелевская мера, Š— борелевское множество конечной меры нУ вЂ” функция на Е, измеримая в смысле Бореля, то для вся- кого 1)0 существует компактное множество С в Е, такое, что р(Š— С)<э н У непрерывна на С.
(Указание. В том случае, когда У вЂ” простая функ- ция, этот результат можно получить тем же способом, каким была доказана теорема 3. В общем случае нужно взять последовательность простых функ- Ций (Уи), схоДЯщУюсЯ к У1 так как меРа Р РегУлЯРна, то, в силУ тео- ремы Егорова, существует компактное множество Сэ в Е, такое, что Р(Е) ~(Р(Сэ)+ — и (уи) сходится на Сэ равномерно. Выберем в Е под- 2 э множество С„так, чтобы Р (Е) < р (С„) + — прибыла непрерывна на С„. Тогда множество С=- П С„ и э будет обладать требуемыми свойствами.) Это — известная теорема Лузина.
й бб. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ Линейным функционалом на х' называется функция А, заданная на .3' и обладающая тем свойством, что А (а)'+ р й) = аА Я + рА (о) для любых двух функций У и д из,Я' и для любых действительных чисел а и р. Линейный функционал А на .Я' назовем иоложилгельным, если А(у))0 для любой функции У НВ,Я'+. Заметим, что положительный линейный функционал А обладает свойством монотонности, в том Смысле, что если Я~.Я', Л ~.Я' и ~)~ й, то А(г) )~ А(и), з аа. линвйныв еянкциьналы Легко видеть, что если ро — бзровская мера и ЛЯ=~ Уйр,>, где ~~,5', то Л представляет собой положительный линейный функцио- нал на Д'. Основная цель настоящего параграфа состоит в доказа- тельстве того, что любой положительный линейный функционал может быть представлен в таком виде.
Здесь удобно прибегнуть к следующему, несколько необычному, но весьма выразительному способу записи: условимся писать Е ~У (или Е ~У), где Š— множество в Х, а Г" — любая действительная функция на Х, если )(в(х) (у(х) (соотв. ул(х))~~(х)) во всех точ- ках х из Х. Теорема 1.
Если Л вЂ” положительный линейный функционал Л (С) = 1п1 (А(г): Сс-у ~.3'~), где С~ С, то Л лредстаеляет собой регулярный обеем. Если р — борелееская мера, индуцироеанная этим обаемом, то ~(()) (Л(г') для любого ограниченного открытого множества У и для любой функции )' иэ .3'+, таких, что Ус=г. Доказательство. Так как функционал А положителен, то Л(С))~ О, каково бы ни было С из С. Чтобы показать, что функция Л конечна, возьмем произвольное компактное множество С и любое ограниченное открытое множество У, содержащее С. Существует функция у из .3'+, равная единице на С и нуло на Х вЂ” У; при атом Сс~~.К+ и, следовательно, Л(С) (Лф(оо.
Если Си  — компактные множества, такие, что С.=г О и Сс=у Я.Я'+, то, очевидно, Ос=у и Л(О) (Л(у). Отсюда следует, что Л(О) ( ( $п1 Л Я = Л (С), т. е. функция Л монотонна. Пусть С и сг — компактные множества; если С~~~.3'+ и С() 1)<=у+д~.~+, так что Л(С() О) (Л(~+у) =ЛЯ+А(д). Отсюда следует, что Л (С (1 Е)) (1п1 Л(у) + 1п1 Л (а) = Л (С)+ Л (гг), т. е. Л полуаддитивна. Пусть теперь С и  — непересекающиеся компактные множества; возьмем непересекающиеся ограниченные открытые множества У и У, такие, что Сс=У и Ос=К Пусть у — функция из .3'+, равная единице на С и нулю на Х вЂ” У, а ц — функция из .3'+, равная единице на О и нулю на Х вЂ” К Если С 0 О<=й~,~'+, то Л (С)+ Л(О) <, Л (йд+Л (йй) = Л(й(у+й)) ц.
Л(й) йМ глАВА х. лОкАльнО компАктныв пвостФАнстВА Отсюда следует, что Л(С)+Л(Р) <1п1А(Ь) = Л(С() Р); Если Т вЂ” действительное число, О<Т<1, и Р=(х:~(х))~Т), то С а (х: У(х) ) 1 ) с (х: У (х) ) Т) г=Ре сР ~ С. Так как Рс — Я~.~'+, то 1 Л(Р) <ФАИ<-„'(Л(с)+ ) Выберем т так, чтобы выполнялось неравенство — (Л(СЭ+ — ) <Л(С)+в; Л(Р) ~(Л(С)+а тогда и, так как а произвольно, мы видим, что Л вЂ регулярн объем.
Последнее утверждение теоремы вытекает из регулярности меры р,. В самом деле, если С вЂ компактн множество, содержащееся в У, то С<= У и, следовательно, р(С) =Л(С) < А(У), откуда р(У) = апр 1А(С) (А(У). Теорема 2. Пусть А — положительный линейный функционал на 9'. Если Л(С) =Ы(А(1): С =У~.У,) для любого С из С, и если р — борелсвская мера, индуцированная обаелголс Л, то ) Уй <АФ для любой функции У из .У+. Доказательство. Так как ~ Уйр и А(г) зависят от у линейно, то достаточно доказать это неравенство для функций )', подчиненных для всех х из Х условию 0 (~(х)я,".1. так как полуаддитивность Л была установлена выше, то тем самым доказано, что Л адлитивна.
Итак, мы доказали, что Л есть объем; остается только установить его регулярность. Для любого С из С и для любого а)О в .Я'+ найдется такая функция ~, что Сг=г" АЯ <Л(С)+ —. % Ба. линвннын Функционалы число л и полагаем для У1(х) = Так как .У1 = Ж вЂ” (1 — 1)) и О) () 1 = ((ЛУ' — (1 в ») П 1) () О, то все уг принадлежат .я'+. Если в какой-либо точке х У вЂ” 1 — 4у(х) ( — „, то л 1 при 1 (1(1 — 1, О при /+1 С1(л, 1 мч откуда следует, что ~(х) = — р уг(х) всюду на Х. 1=1 Положим (У =~х:У(х)) — 1, 1'=О, 1, ..., и; тогда (У» — огРал1' ниченные открытые множества, такие, что 01с=уг и, в силу теоре- мы 1, р(У,) к; А()1), 1'=1, ..., п. Так как 11е=1У,~... ~У„О, то л® = — „'~', л(Л) > — ')', р,(и,) = 1 1 1=1 1=1 ч ч-1 ,)~~( — „— — „) 1"'%) = ~~ — „Ь((У1) — У (111,1)) = =,?> „11% — 11И ) — „11 Ж1) > %~ 1'+1 1 1=1 > ~ ~ Угр — — „' р (и,) = 1=1 ГГ;Н, 1 = ~14' — — „~'(111) > ~ у'4" — — „р Щ) 1 Так как р(Уе)(оо, а а произвольно, то теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
