П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Дальнейшее исследование измеримых групп имеет своей целью выяснение того, какие сведения о топологической группе можно извлечь, изучая ее лишь с точки зрения теории меры. Если Х вЂ люб измеримое пространство (в частности, если Х вЂ люб измеримая группа), то взаимно-однозначное отображение ес произведенияХ К Х самого на себя, определенное равенством 1т (х, у)= =(у, х), преобразует измеримые множества в измеримые; чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что если Š— нзмернмый прямоугольник, то Я(Е) и 1с-'(Е) (=1с(Е)) также являются измеримыми прямоугольниками.
Так как произведение двух отображений, переводящих измеримые множества в измеримые, обладает тем же свойством, то в нашем распоряжении оказывается значительный запас таких отображений — именно всевозможные произведения степеней 8 и 1с. Помимо преобразования 8 мы часто будем пользоваться еще его „отражением" Т=ее 'Ж; заметим, что Т(х, у) =(ух, у).
До конца этого параграфа мы будем предполагать, что (Х, 8, р) и (Х, 8, ч) — измеримые группы, и и ч — меры (вообще говоря, различные), 1Г, Я и Т вЂ” отображения, описанные в предыдущих абзацах. Теорема 1. Если Š— любое множество в Х>(Х, то (Я (Е))„= хЕ„и (Т (Е))" РЕ" для любых х и у из Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение, касающееся Я, следует из равенства Х,<,>(х, У) =ХЕ(х, -'У) а также из того факта, что у~(5(Е)) тогда и только тогда, когда (х, у) = 1, и х-'у ~ Е тогда и только тогда, когда ул(х, х-'у) 1. Утверждение, относящееся к Т, доказывается подобным же образом.
ж Теорема 2. Отображения Я и Т преобразуют (Хр',Х, 8;М.8, 1ч~(ч) само на себя с сохранением меры. Доказательство. Пусть Š— измеримое множество в ХКХ. Тогда, согласно теореме Фубини и теореме 1, (Г к ч)(8(Е)) = ') ч((8(Е))а)ф(х) = ) «(хЕ„)а1ч(х) = = ) ч (Е ) йр.
(х) = (р,'к', ч) (Е); таким образом, Ю сохраняет меру. Соответствующее свойство отображения Т устанавливается подобным же образом с помощью сечений (Т(Е))", З $59. ИЗМЕРИМЫЕ ГРУППЫ 2зг Теорема 3. Если г:)=В-ггтЯ, то ф(А )(В)) г=хАЙВ-' ( Ау, когда х~В, (д (А гс В))" О, когда х~В.
доказательство. Заметим, что я(х, у) =(ху,у-') игг ' ц. Мы имеем равенства Хц<лкн>(х У)=Хлки(х У У )=Хеа(у)Ув(У )' далее, у ~ (гС(А гг, В)) г в том и только том случае, если Хц „ ,(х-', У) = 1, а У ~ хА П В-' в том и только том слУчае, если У (У)Хн(У-')=1. Отсюда следУет пеРвое УтвеРждение теоРемы. Второе утверждение следует из равенств Хй(А к лг(х~ У ) Хл к н(хУ, У) Хлв(х)Хя(у) -1 и из того факта, что у~Я(А К В))" тогда и только тогда, когда Хц „(х, у-') =1, а к~Ау и УЕВ тогда и только тогда, когда Х„„(х)Х (у)=1.
Ф Теорема 4. Если А — измеримое множество в Х (положительной меры) и У~-Х, то Ау — измеримое множество (положительной меры) и А-' — измеримое множество(аоложительной меры). Если ) — измеримая функция, А — измеримое множество положительной меры и для любого х из Х у(х-') Р (Ах) ' то д — измеримая функция. До к а з а телье т в о. Множество Ау измеримо, так как если  — какое-нибудь измеримое множество, содержащее элемент у, то, согласно теореме 3, Ау представляет собой сечение измеримого множества гг(А 2( В), где ьг = Я-ГЮ. чтобы доказать остальные утверждения теоремы, воспольауемся тем, что Я отображает (Х2г, Х, 3 2с, Б, )ь,к', 9) само на себя с сохранением меры.
Поэтому, если )ь(А))О, то, согласно теореме 3, О ( (р. (А))9 = ()ь Х 9) ф (А Х А)) = ~ р. (х-'А П А-') й)ь (х) и, следовательно, х 'А ПА ' хотя бы при одном х имеет положительную меру. Иначе говоря, мы доказали, что если А — измеримое множество положительной меры, то А ' содержит измеримое подмножество В положительной меры. (Отсюда, в частности,.когда мы установим измеримость А-', сразу будет следовать, что )ь(А ') ) О.) Так как у-ГВ~У 'А ', коль скоро В~А ' и 2.(у 'В)=)ь(В), то, ГЛАВА ХК МЕРА ХААРА 252 еще раз воспользовавшись полученным выводом, мы обнаружим существование измеримого множества С положительной меры, такого, что Сс(у — 'В)-'с=(у-'А ') — ' =Ау.
Все утверждения, касающиеся множества Ау, таким образом, доказаны. Для доказательства измеримости А — ' заметим, что если р(А))О, то, в силу теоремы 3 и только что установленных результатов, (у:й((О(А ХА))к) >О) =А-'. Итак, если 1ь(А) ) О, то множество А-' измеримо. Если же 1ь(А) = О то измеримость А ' следует из равенства А ' = (А () В) ' — В ', где  — измеримое множество, такое, что р,(В) > О н В ПА=О. Из уже установленных результатов вытекает, что если функция 1' измерима и ~(х) =~(х '), то функция у также измерима.
Если А и  — измеримые множества, Ур(у) = р (Я (А Х В))") и До (у) = Уо (у-'), то функции уо и ~о измеримы и, в силу теоремы 3, г'а(у) =р(Ау) Х (у) Иначе говоря, мы доказали, что если й(у)=1ь(Ау), то функция и 1 измерима на всяком измеримом множестве и, следовательно, †„ обладает тем же свойством. Ф Теорема б. Если А и  — измеримые множества положительной меры, то существуют измеримые множества С, и Са положительной меры и элементы х„уп ха и у, такие, что х,С,сА, у,С,сВ, Сзх сА, Су сВ. Доказательство. Если 1ь(В)) О, то 1ь(В-') > О, следовательно, (р Хр) (А ХВ ')=1А(А)1ь(В-') > О.
В силу теоремы 3, множество х-'А() В при любом х измеримо и хотя бы при одном х имеет положительную меру. Если элемент х, таков, что 1А (хг А П В) > О, и у,=е, то, положив С,=х1 АПВ, получим х|С,сА и у.,С,сВ. Применяя этот результат к множествам А-' и  — ', мы найдем множество Ср и точки х, у, такие, что х,СосА ' н у„СосВ теперь мы можем положить Се=Се', ха — — хь', уа=уо ж Теорема 6.
Если А и  — измеримые множества и 1(х)= =1ь(х 'А () В), то функция ~ измерима и ) 1й1ь=р(А)1ь(В '). Если е(х)=1ь (хА а В) и а < й (А) + 1ь (В), то множество (х: и(х) ( в) измеримо. Первая часть этого предложения называется иногда теоремой о среднем. э во. пдинствэнность мпэы хлэга Доказательство. К первому утверждению нас приведут следующие соображения: если, как и выше, (~=8-')?8, то (е отображает (Х)(Х, 8)(8, Р)(р) само на себя с сохранением меры и при у'(х) = Р [((ч (А )( В ')) ). Если у (х) =у (х '), то у — измеримая функция. Отсюда, а также из равенства [х: д (х) ( е) = ( х:~ (х) > — (Р (А) + р.
(В) — е) ~ следует второе утверждение. Ф 1. Является ли измеримой группой декартово произведение двух измеримых групп? 2. Если э — мера Хаара в компактной группе Х, причем мощность Х выше мощности континуума, то (Х, 8, э) не является измеримой группой. [Указание. Пусть Р=((х, у):х=у) = Б(Х?((е)). Если допустить, что Р принадлежит классу 8 )с 8, то существует счетный класс й измеримых прямоугольников, такой, что Рс8()4). Пусть Š— (счетный) класс сторон прямоугольников, принадлежащих )4. Так как Рс 8(Е) у(8(Е), то любое сечение множества Р принадлежит классу 8 (Е).
Но мощность класса 8 (Е) не превосходит мощности континуума (см. утверждение,в* в упр. 9 б б), что противоречит предположению относительно мощности пространства Х.[ 3. Пусть э — мера Хаара в локально компактной группе Х, Š— произвольное бэровское множество в Х, х — произвольный элемент из Х; тогда если одно из чисел р. (Е), р (хЕ), р (Ех) и р (Е-1) равно нулю, то и остальные равны нулю. 4.
Пусть (Х, 8, э) †измерим группа, причем мера и вполне конечна; если А — измеримое множество, такое, что э (хА — А) = О при любом х из Х, то либо р(А) =О, либо р(Х вЂ” А) =О. [Указание. Примените к множествам А и Х вЂ” А теорему о среднем.) Этот результат, в соответствующей формулировке, справедлив и без предположения, что в конечна; на языке зргодической теории это означает, чго измеримая группа, если ее рассматривать как группу преобразований, сохраняющих неру, самой на себя, обладает свойством метрической транзитивности. б.
Если э — мера Хаара в компактной группе Х, то для любого бзровского множества Е и для любого х р(Е) = р (хЕ) = р(Ех) = э(Е-г), й 69. ЕДИНСТВЕННОСТЬ МЕРЫ ХААРА Е этом параграфе мы покажем, что мера Хаара, по существу говоря, единственна. Теорема 1. Если р, и ч — две меры, такие, что (Х, 8, р) и (Х,8,ч) представляют собой измеримые группа, и если мноэкество Е из 8 таково, что 0(ч(Е)(со, то, какова бы ни была неотрицательная измеримая функция у' на Х, [ у(х)бр(х)=Р(Е)~ .
бч(у). ГЛАВА Х«. МЕРА ХААРА Этот результат интересен для нас в данный момент своей качественной стороной: всякий интеграл относительно меры «ь выражается в виде некоторого интеграла относительно меры ч. Доказательство. Если д(у)= —, то, в силу резульу(у-') ( Е у ) г татов предыдущего параграфа, функция д, так же как Т, неотрицательна и измерима.
Положим, как и раньше, 5(х,у)=(х,ху) и Т(х,у)=(ух,у). 5 и Т отображают пространство с мерой (ХХХ, $Х8, «ьХ«г) само на себя с сохранением меры; поэтому так же ведет себя и отображение Я-'Т. Так как $ 'Т(х, у) = (ух,х '), то, согласно теореме Фубини, р (Е) / Е (у) бч (у) = /ул(х) б«ь (х) ~ д (у) бч (у) = — ) Тл(х)к (у)й(«ьХ«)(ху) = О )(л(ух)к (х-')бч(у) б«г(х) = = ~ я(х ')ч(Ех ')б«ь(х). Так как я(х-')ч(Ех ') =г(х), то теорема доказана. ч Теорема 2. Если р и ч — две меры, такие, что (Х,$,«ь) и (Х, $, ч) представляют собой измеримые группы, и если О < ч(Е)< со, где Š— некоторое множество из 8, то для любого Р из 8 «ь(Е) «(Р) = ч (Е) р (Р). Заметим, что это — настоящая теорема единственности. Она утверждает, что, каково бы ни было множество Р из $, «ь(Р) =сч(Р), где с= — — неотрицательная постоянная, т.
е. «ь и ч отличаются и (Е) ч (Е) лишь постоянным множителем. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Т вЂ” характеристическая функция множества Р. Так как теорема 1 верна, в частности, тогда, когда мера «ь совпадает с ч, то ХТ( ) ( ) ( ),) «(еу) (У) Умножив на «ь(Е) и применив теорему 1, получим отсюда равенство «А (е) ~ Т (х) йч (х) = ч (е) ~~ (х) й«ь (х). ч Теорема 3. Если «г и « — регулярные меры Хаара в локально компактной топологической группе Х, то существует конечная положительная постоянная с, такая, что «ь(Е) =сч(Е) для любого борелевского множества Е. $ аэ.
единственность миРы халва Доказательство. Если 8о — класс всех бэровских множеств Е в Х, то (Х,8о,)ь) и (Х,8о,ч) представляют собой измеримые группы, и, согласно теореме 2, (ь(Е) =сч(Е) для любого бэровского множества Е, где с — некоторая конечная неотрицательная постоянная. Взяв в качестве Е любое ограниченное открытое бэровское множество, мы обнаружим, что с > О. Если же две регулярные борелевские меры (в нашем случае (ь и сч) совпадают на бэровских множествах, то они совпадают и на всех борелевских множествах (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
