П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Однако мы ограничиваемся случаем компактного у, во первых, потому, что это предположение достаточно для наших целей, а во-вторых, потому, что доказательства в этом случае, сравнительно с общим, несколько проще. Теорема 1. Если компактное множество С в Х представляет собой соединение произвольнозо класса смежных подмножеств по )', а (! — открытое множество, содержащее С, то в Х существует такое открытое множество У, что С~ я-' (У) 1= (). Доказательство.
Не нарушая общности, можно предположить, что (! — ограниченное множество. Если мы положим Хз=Ж; то множество Хз окажется компактным. Мы утверждаем, что Хе, так же как уу, является соединением некоторого класса смежных подмножеств относительно )Г. Для того чтобы это установить, допустим, что х1~Х и и(х1)=я(ха) (так что х 'х Е У); мы должны показать, что при этом ха~Хо. Если У вЂ” произвольная окрестность точки хее то Ух;1х, является окрестностью точки х, и, следовательно, И'П Ух 1хгФО.
Так как х гх,~ У, то ()УП У=()'г'х гх,П Ух х, х гх,= =(())Г() Ух-'х,)х ах ~ О; окрестность У точки хз была выбрана произвольно, поэтому ха~Ха. 1) См. Э. Хилл, Функциональный анализ и лолугруппы, Москва, 19б1, Гтр. 17.— Прим. ред, 5 ЕЗ. ФАКТОР-ГРУППЫ Так как С является соединением некоторого класса смежных подмножеств по У, то и (Хо — С) П я (С) = и ((Хе — У) П С) = О. Множества я(Х вЂ” С) и и(С) компактны, а и(И) представляет собой открытое множество, содержащее я(С), поэтому в Х существует такое открытое множество У, что я(С)~У= (и)с-я(Хо) и УП (Х,— и)=О.
Если х ~я-1(У), так что к(х)~ У, то и(х)~ к(Хо — У) и, следовательно, х~Хо — сГ. Однако к~Хо; отсюда следует, что х~У. Таким образом, Сс к — ' ( У) с К + Теорема 2. Если С вЂ” компактное множество в Х, то я '(С) представляет собой компактное множество в Х' если Š— бэровское (или борелевское) множество в Х, то я-1(Е) представляет собой бэровское (соотв, борелевское) множество в Х.
Доказательство. Предположим, что К вЂ” какое-нибудь открытое покрытие множества к '(С). При любом х из С множество я-1((х)) представляет собой смежное подмножество по У, следовательно, оно компактно; позтому К содержит конечный подкласс К(х), такой, что 11 1((х))~У(х) =ЦК(х). В силу теоремы 1, я-1((х))сУ(х) = г.
1(У(х))с=У(х), где У(х) — некоторое открыгое множество в Х. Так как С компактно, то С содержит такое конечное подмножество (х„..., х„), что С ЦУ(,); отсюда и Ф я-1(С)~ Ц У(х,)с= Ц Ц К(х,), 1=1 1=1 следовательно, к-1 (С) компактно. Утверждение теоремы, касающееся бэровских и борелевских множеств, вытекает из первого, только что доказанного утверждения, а также из следующих заиечаний: прообраз (при отображении к) множества типа О, является множествоч типа О,; класс всех тех множеств в Х, прообразы которых принадлежат какому-либо фиксированному а-кольцу, представляет собой а-кольцо. Ж Из теоремы 2 следует, что если измеримость множеств, как в Х, так и в Х, понимать в смысле Бара или в смысле Бореля, то преобразование я оказывается измеримым. Таким образом, по отношению к измеримым множествам я-1 ведет себя удовлетворительно.
А что ГЛАВА Хп. МВРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ 270 происходит с мерой множеств при таком отображении г Ответ на этот вопрос дает Теорема 3. Если р=рв ', то р является мерой Хвора в Х. Доказательство. Так квк прообразы (при отображении я) компактных множеств и иепустых открытых множеств соответственно компактны и открыты, то р конечна на компактных множествах и положительна иа непустых открытых борелевских множествах. Остается доказать, что мера р инвариантна слева. Пусть Š— какое-нибудь борелевское множество в Х и хе †так элемент из Х, что х (хе) = хе. Если х ~ хев †'(Е), то, так как я является гомоморфизмом, я(х) ~ хеЕ и хек-' (Е) ~в-'(хеЕ). Обратно, если х~в-'(х,Е), то я(х) ~ х,Е и я(хе 'х) =х;,'я(х) ~ Е. Отсюда следует, что х х~к-'(Е) и, следовательно, х~хя-'(Е).
Таким образом, мы показали, что л-' (хеЕ) ~хая-' (Е); отсюда р (хеЕ) = ря-'(хеЕ) р(хоп '(Е)) =ря-'(Е) = р(Е). е Теорема 4. Если ~~.3'+(Х) и если К(х) — ) Пху) й (у), У то д~.Я'+(Х), и существует (единственная) функция д из .3'+(Х) тания, что я=ля. Доказательство. Если г (у)=~(ху), то, в силу непрерывности ~, функция у„непрерывна и, следовательно, интегрируема на )е. Функция у равномерно непрерывна, т. е. для всякого положительного числа е существует окрестность (у единичного элемента, такая, что )У'(х,) — 1(ха) ~ (е для любых двух элементов х, и х, удовлетворяющих условию х,х-'~(у'. При х,х ~ гу имеем (хьр) (х У)-' = х,х ~ АУ', откуда !Е(Х,) — Я(ХВ)! ~( / !/(ХХУ) — Г (ХЯУ) ~йт(У)(е; итак, функция д непрерывна. Очевидно, что она неотрицательна; далее, так как (х: я(х)фО)с-(х: г (х) фО) У, то я~.Я.+(Х), а ак ФАктОР-ГРуппы Если л(х,) =я(х,), то х хг~ 1' и, так как «инвариантна слева, а (х,) = ( г'(х у) й«(у) = ~ г (х, (х х,у)) й«(у) = и (х,).
г У Таким образом, равенство я(х)=я(х), где х=я(х), однозначно определяет некоторую функцию я' на Х. Прн этом, очевидно, й =ап. Для любого открытого множества М на числовой прямой (х: К(х) Е Л4) = ((х: К (х) Е 34)) (см. теорему 1 й 39); поэтому, так как я — открытое отображение, функция й непрерывна. Так как я отображает ограниченное множество (х: а'(х) фО) на некоторое ограниченное множество в Х, то й~.Я'.«(Х); единственность и обеспечивается тем, что я отображает Х на все Х целиком.
Ф Теорема 5. Если С вЂ” компактное бэровское множество в Х и если и(х)=«(х 'СП У), то существует (единственная) иэмеримая в смысле Бэра интегрируемая функция я на Х, такая, что а = ая. Если С представляет собой соединение некоторого класса смежных подмножеств по г', то ~й йр=1с(С). До к азате л ь с та о. Пусть (Я вЂ” убывающая последовательность функций из .3'+(Х), такая, что Июу„(х)=у (х) для всех х из Х. Если а„(х)= ~ У'„(ху)й«(у), п=1,2, ..., то (й„) также представляет собой убывающую последовательность функций из 9'+ (Х) (см. теорему 4) н, котя бы в силу теоремы об ограниченно сходящихся последовательностях, для любого х нз Х Ию й' ( ) = Х Хо(ху) й'(у) = Х )( — Го(у) й'(у)- У г «(х ' С П У) = и (х). В силу теоремы 4, при любом целом положительном и существует функция к„ нз .3'+ (Х), такая, что д„= д„я.
Так как последовательность (и'„) — убывающая, то прн любом х существует д(х)=Ища„(х); при этом, очевидно, и=ля. Так как (см. теорему 3 $39) ~ йф.= / ий1с= / «(х "СП 1')йр(х) ГЛАВА хп. меРА и тОпОлОГиЯ В ГРУппАМ (х: «(х-'СП у) ц'0)<=(х: х-'СП 3') = Су, то, в силу того, что мера « конечна, функция я ннтегрируема. Пусть, наконец, С представляет собой соединение произвольного класса смежных подмножеств по г'; тогда 3', если хцС, х-1СП У = О, если хцС. Отсюда ( ябп= ~ А«ф.= ~ «(х 'СП У) сГВ(х) =Г«(СБ Теорема 6.
Если для любого бэровского множества Е в Х Ял(х) = «(х-'ЕП У), то существует (единственная) измеримая в смысле Бэра функция ал на Х, такая, что як=для. Доказательство. Заметим прежде всего, что (в силу определения топологии в У) х-'ЕП У всегда представляет собой бэровское множество в Г, так что ил(х) определено при любом х. Пусть Š— класс всех тех множеств Е, для которых справедливо утверждение теоремы. Тогда, согласно теореме 5, все компактные баронские множества будут принадлежать Е. В силу элементарных свойств (конечной) иеры «, класс Е замкнут относительно обрааовання собственных разностей, соединений конечного числа непересекающихся множеств, а также соединений и пересечений монотонных последовательностей множеств.
Отсюда следует, что Е охватывает все бэровские множества. Ф Те о р ем а 7. Пусть Š— любое бэровское множество в Х. Если ил — (единственная) измеримая в смысле Бэра функция на Х, такая, что ул(л(х)) =«(х 'ЕП У) =цл(х) ири любом х из Х, то Доказательство. Для произвольного бэровского множества Е положим Л (Е) = ~ Ел «Гп ~«(х ' Е П т ) др (х). Так как функция Л, очевидно, неотрицательна и конечна на любом компактном бэровском множестве (см. теорему 5), то Л представляет Э ак РЕГУЛЯРНОСТЬ МЕРЫ ХААРА собой бэровскую меру в Х. Пусть хе~ Х; тогда Л (хо Е) = / Е .и (х) бР (х) = «» (х — ' хо Е 0 у) бр (х) = ~» Ихь 1 х) 1 Е П У) бР (х) = / йл (хь г х) бР (х) = = ~ ал(х)бР(х) =Л(Е), т. е.
Л инвариантна слева. Согласно теореме единственности, Л(Е) = сР(Е), где с в некоторая постоянная. Если С вЂ компактн множество, являющееся соединением какого-нибудь класса смежных подмножеств по У, то, в силу теоремы 5, Л(С) = Р(С), а так как существуют такого рода множества С, для которых Р (С) > О, то с = 1.
Ф й 64. РЕГУЛЯРНОСТЬ МЕРЫ ХААРА Пель этого параграфа состоит в доказательстве того, что всякая мера Хаара регулярна. Здесь всюду (кроме последней теоремы) предполагается, что Х вЂ” локально компактная и в-компактная топологическая группа, а Р— инвариантная слева бэровская мера в Х, не равная тождественно нулю (и, следовательно, принимающая положи. тельные значения на всех непустых открытых бэровских множествах). Полезно ввести следующее вспомогательное понятие: в-кольцо Т бэровскнх мновгеств назовем инвариантным в-кольцом, если хЕ~ Т тогда, когда Е~ Т и х~Х, Так как класс всех бэровских множеств представляет собой инвариантное о-кольцо и пересечение любой системы инвариантных в-колец также является инвариантным в-кольцом, то, каков бы ни был класс Е бэровских множеств, существует инвариантное в-кольцо, порожденное классом Е (пересечение всех инвариантных в-колец, содержащих Е).
Теорема 1. Если Š— какой-нибудь класс бэровских множеств, а Т вЂ” порожденное им инвариантное а-кольцо, то Т совпадает с в-кольцом Т, порожденным классом «хЕ: к~Х, Е~Е). Доказательство. Так как хЕ~Т при любых х из Х и Е из Т, то Тв ~ Т; достаточно поэтому доказать, что в-кольцо Ть инвариантно. Пусть хв — какой-нибудь фиксированный элемент группы Х. Класс всех тех бэРовских множеств Р, дла котоРых хэР~Тв, пРедставляет собой о-кольцо; так как хв(хЕ) = (хвх) Е ~ Тв, каковы бы нн были х из Х и Е .из Е, то это в-кольцо содержит Тв.
Иначе говоРЯ, мы доказали, что если Р~ Тв, то хэ Р ~ Т . Т е о р е и а 2. Если Š— какой-нибудь счетный класс бэровских множеств конечной меры и Т вЂ” инвариантное а-кольцо, порожденное классом Е, то метрическое пространство Я всех множеств, принадлежа»них Т «с метрикой Р(Е, Р) =Р(ЕАР)1, сепарабельно. Доказательство. Так как всякое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно, то достаточно ГЛАВА хп.
меРА и топология В ГРуппАх доказать, что существует о-кольцо Те, содержащее Т и обладающее счетным числом производящих элементов конечной меры (см. теорему 2 $40). Х представляет собой бэровское множество, поэтому ХХ Е есть бэровское множество в ХХХ, каково бы ни было бэровское множество Е из Е. Если мы положим Я(х,у) =(х, ху), тоЬ'(ХХЕ) также будет баронским множеством при любом Е из Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
