П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Следовательно, для любого Е из Е найдется счетный класс йл прямоугольников конечной меры, такой, что 8(ХХ Е) ~$(йл). Если То — о-кольцо, порожденное классом сторон всех прямоугольников из всевозможных йл, Е ~ Е, то, очевидно, Ю(ХХ Е) Е То Х То каково бы ни было Е из Е. Так как любое сечение множества из То Х То принадлежит То, то для произвольного Е из Е и произвольного х из Х хЕ=х(ХХЕ), =(8(ХХЕ)),~Т„ откуда, в силу теоремы 1, следует, что Т с= Тэ.
+ Теорема 3. Если Т вЂ” инвариантное о-кольцо, 1 — измеримая (Т) функция из .Д', ау — элемент из Х, такой, что р(УЕ, Е) =О для любого Е из Т, то У'(у-'х) =У'(х) при любом х из Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Š— произвольное множество конечной меры из Т. Тогда О=Р(уЕ1 Е)= ~ !Хвв(х) — Хв(х)~Ф(х)= ' = ~ 1ул(У х) — Хи(х)! й1'(х). Отсюда следует, что ) ( й (у-' х) — д (х) ( йр (х) = О для любой измеримой (Т) интегрируемой простой функции и.
Так как Г может быть аппроксимирована функциями такого рода, то ~ / У(у 'х) — У(х)~йй(х) =О. Подинтегральная функция в последнем равенстве принадлежит,Я' поэтому требуемое тождество следует из теоремы 2 $55. Теорема 4. Пусть Т вЂ” инвариантное а-кольцо, аорожденное принадлежащими ему множествами конечной меры и содержащее хотя бы одно множество положительной меры.
Если Š— класс множеств, плотный в метрическом пространстве множеств конечной меры из Т, и если У=(у Гр(УЕ,Е)=О, ЕЕЕ), то у представляет собой компактный нормальный делитель в Х. ге». внгэлягность мнгы хььгь Доказательство.
Если»о=(у:р(уЕ,Е)=О,Е~Т), то, очевидно, Уо с= 1'. С дРУгой стоРоны, если Ео — множество конечной меры, принадлежащее Т, то для произвольного положительного е существует множество Е из Е, такое, что р (Ез, Е) < —. Отсюда, если у~ Г, то 0<р(уЕь, Еь)<р(уЕо~уЕ)+р(уЕ Е)+р(Е Ео)<г Так как е произвольно, то у~ Уы т.
е. У= Уо. Если у, и уг — точки из 1', а Е принадлежит классу Т, то 0 <р(у — 'у Е,Е) < р(у 'у Е,у Е)+р(у Е, Е). Так как угЕ~сТ и р(у,'у,Е,у,Е)=р(у,Е,у,у,Е), то у уг~ У; таким образом, У является подгруппой группы Х. Пусть у ~- 1; х~Х и Е~Е, тогда хЕ~Т и р(х-'ухЕ,Е)= р(ухЕ,хЕ)=0; следовательно, г представляет собой нормальный делитель.
Если Ео — множество из Т, ограниченное н положительной меры, то равенство р(уЕ, Е ) =О, выполняющееся при любом у из 1; влечет за собой соотношение уЕоПЕофО. Таким образом, у~ЕоЕь н, следовательно, 1' заключено в ограниченном множестве ЕоЕ» '. Докажем, что г замкнуто (и, следовательно, компактно); для этого достаточно заметить, что У= П(у:р(уЕ,Е) =О), див и воспользоваться теоремой 1 $ 61. Теорема 5. Для любого бэровского множества Е в Х существует компактный нормальный делитель 1, являющийся бэровским множеством, такой, что Е представляет собой соединение некоторого класса смежных подмножеств по 1.
Доказательство. Пусть (С») — последовательность компактных бэровских множеств, такая, что Е~ 8((С»)) и хотя бы одно из С» имеет положительную меру. Для любого» возьмем убывающую последовательность функций (у ) из .$~ (Х), сходящуюся к у (х) » при любом х из Х. Каково бы ни было положительное рациональное число г, (х:» .(х) )~ г) представляет собой компактное бэровское множество; инвариантное о-кольцо, порожденное классом всех множеств такого вида, обозначим Т. Согласно теореме 2, метрическое пространство, образованное множествами конечной меры, принадлежащими Т, сепарабельно; возьмем последовательность (Е„), плотную в этом метрическом пространстве.
Если У = Д (у: р(уЕ„, Е„) = О), п=» 18в ГЛАВА Хп. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ 27б то, в силу теоремы 4, 'Г' будет компактным нормальным делителем группы Х и, по теореме 1 5 61, бэровским множеством. Так как все 7.. измеримы (Т), то, в силу теоремы 3, 7 (у 'х) »у 6 = 7 (х) прн любых у из Г и х из Х Отсюда следует, что уо (у — 'х)=)(о (А), т. е. уС» —— С» при любом у из У и любом » 1=1, 2, ... Так как, каков бы ни был у из У, класс всех тех множеств Р, для которыхуГ=-Г, представляет собой о-кольцо, то уЕ=Е. Следовательно, Е= ГЕ= Ц Ух, т. е.
Е является сое- еРЛ динением некоторого класса смежных подмножеств по нормальному делителю 1'. Теорема 6. Если (е) — бэровское множество, то группа Х сепарабельна. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (У„) — последовательность ограни- СО ченных открытых множеств, такая, что (е) ПУ„. Как мы видели 1 выше, можно, не нарушая общности, предположить, что У„„с У„, п=1,2, Существует последовательность компактных множеств (С»), такая, что Х=ЦС». Так как каждое С» компактно, то для любых» н и » 1 можно выделить в С» такое конечное подмножество (х»в ), что (е! С» ~ Цх»в~ У„.
Докажем теперь, что счетный класс (х»!.!У„) представляет собой базис группы Х. Покажем сначала, что если У вЂ” произвольная окрестность е, то е ~ У„ »=. У при некотором значении и. В самом деле, так как (.) =ПУ„=ПУ„ и е~У, то П(ӄ— У)=Пӄ— У=О. Так как (У„ — У) †убывающ последовательность компактных множеств с пустым пересечением, то при некотором значении и множество У„ — У (содержащееся в У„ — У) оказывается;-пустым.
Предположим, что х †произвольн элемент изеХ, а У вЂ люб его окрестность. Так как х ' У является окрестностью е, то существует такая окрестность У элемента е, что У 1 У с= х У. Как по- $ в». Регглягность мены хллгл 277 казано в предыдущем абзаце, е~ у„— у при некотором и. Так как хЕЦС», то х~ С» при некотором» и, следовательно, хаак»»»~У„при »-с некотором 7. Отсюда следует, что х»»»~ хУ„~ и х~хй» У„с= хУ„» У„с хУ У с хх ь'= $г. Теоремы 5 и 6 дают нам следующий замечательный и весьма полезный результат.
Теорема 7. Для любого бэровского множества Е в Х существует такой компактный нормальный делитель 1; что Е представляет собой соединение некоторого класса смежных подмножеств по У, а фактор-группа Х»'У сепарабельна. Дои а з а т ель с т во. В силу теоремы 5, существует компактный нормальный делитель у, являющийся одновременно бэровским множеством, такой, что Е представляет собой соединение некоторого класса смежных подмножеств по г'.
Пусть У=ПУ„, где (У„)— п=» последовательность открытых множеств. Тогда для любого целого положительного и в фактор-группе Х=Х/У существует такое открытое множество У„, что 1' с= и (У„) ~ У„, где и — проекция Хна Х(см.
теорему 1 $63). Отсюда 1'= Пп '(У„) и, следовательно, (В) = Д У„; сепарабельность группы Х следует из и=с теоремы 6. Теорема 6. Всякая мера Хаара регулярно пополнима. Доказательство. Достаточно показать, что в любом ограниченном открытом множестве У содержится такое бэровское множество Е, что У вЂ” Е может быть покрыто бэровским множеством меры нуль. Для заданного У выберем баронское множество Е(с=У) таким образом, чтобы значение 1»(Е) было наибольшим. Согласно теореме 7, в Х содержится компактный нормальный делитель У, такой, что Е представляет собой соединение некоторого класса смежных подмножеств по 1; и фактор-группа Х( = Х/У) сепарабельна.
Положим Р= »с »я(У в Е), где я †проекц Х на Х; покажем, что Р является бэровским множеством меры нуль. В силу того, что Е есть соединение смежных подмножеств по у, имеет меСто равенство я(У вЂ” Е)=я(У) — пЩ; будучи открытым множеством в сепарабельном пространстве, я (У) является бэровским множеством в Х глАВА хп. меРА и топология В ГРуппАх (см. теорему 5 й 50). Из равенства Е=я 'к٠— Е вытекает, что и Е представляет собой бэровское множество.
Так как открытые бэровские множества в Х образуют базис, то для всякой точки х из ~У вЂ” Е существует открытое бэровское множество У(х), такое, что хЕУ(х)с=О. Класс множеств (я(У(х)): хй У вЂ” Е) образует открытое покрытие множества к(У вЂ” Е), поэтому, в силу сепарабельности Х, существует такая последовательность точек (х~) из (7 — Е, что Так как к(У вЂ” Е) =я٠— к(Е), то Отсюда следует, что для доказательства теоремы достаточно теперь установить равенство р(к (я(У вЂ” Е)) = 0 для любого открытого бэровского множества У, заключенного в (У. Для того чтобы это доказать, заметим прежде всего, что проведенное нами рассуждение, относившееся к (7, применимо н к У. Если У вЂ” открытое бэровское множество, содержащееся в О, то, в силу выбора Е, р(У вЂ” Е)=0.
Пусть т — мера Хаара в У, причем «(У)=1; положим р,=рк ' и Е(х) =т(х '(У вЂ” Е) П У). Тогда (см. теорему 7 э 63) существует (неотрицательная) измеримая в смысле Бара функция и на Х, такая, что и= па и О=й(У вЂ” Е)=~ХОР=~ д4~)~ ~ч(х '(У вЂ” Е) П У)ф~в(х)) О. 'я(г к) Из равенства х '(У вЂ” Е)П У=(х УП У) — (х аЕПУ) следует,чтоеслихй у, то ейх уП у, н еслихйЕ,тох 'ЕП Г О. Таким образом, если хйУ вЂ” Е, то х '(У вЂ” Е)ПУ представляет собой непустое открытое множество в у.
Отсюда если хйк п(У вЂ” Е), так что к(х) =л(хс) при некотором хз из У вЂ” Е, то Е(х)=н(п(х))=й(к(хз))=н(хо)) 0 и, в силу теоремы 4 $25, р(н я(У вЂ” Е)) О. Й аь. Рйгулягность мнгы аааел Теорема 9. Любая инвариантная слева борелевская мера р в произвольной локально компактной (не обязательно е-компактной) топологической группе Х регулярно пополнима, Д о к а а а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
