П. Халмош - Теория меры (1114647), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Теперь докажем необходимость условия; пусть С вЂ” компактное множество, содержащее А, а тл — какое-нибудь компактное множество положительной меры. Выберем бэровское множество Е конечной положительной меры так, чтобы Е =э С 'Е>() сэ. Так как Аэ с Е и, когда х ~ С, 1л схС ' О с хЕ, то О с хЕ П Е, когда х ~ С. Отсюда А с Сс (х:й с хЕП О) с (х:р(хЕ, Е) (э), где в=2(р(Е) — р,(Е1)). ж 1. Справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1, 2 и 3, если в этих последних вместо р (хЕ,Е) взять Р (хб П г), где Е и г" — баронские множества конечной положительной меры. 2. Если фиксировать борелевское множество Е конечной меры и положить у(х) = хЕ, то определенное таким образом отображение у группы Х в метрическое пространство множеств конечной меры непрерывно, убб ГЛАВА Хп.
МИРА И ТОПОЛОГИЯ П ГРУППАХ 3. Для любого борелевского множества Е конечной меры существует окрестность (7 единичного элемента е, такая, что (7 ~ ЕЕ 4. Группа Х сепарабельна тогда и только тогда, когда метрическое пространство ее измеримых подмножеств конечной меры сепарабельно. 5. Если для произвольного ограниченного борелевского множества Е положить ) „(ЕП(7 ) где (7 — любая ограниченная окрестность единичного элемента е, а х — произвольная точка, то, когда (7 + е, Уп сходится в среднем (н, следовательно, по мере) к Х . Другими словами, для всякого положительного числа в существует ограниченная окрестность У единичного элемента, такая, что если (Гь- У, то ~ )Уп — Хл ~йрч.в. Этот результат можно назвать теоремой о точках ллотности в топологнческих группах. [Указание.
Возьмем в качестве У такую окрестность единичного элемента, чтобы при любом выборе точки у из У выполнялось неравенство р(УЕ,Е)( —. Тогда если 2' (7~ У и г" — любое борелевское множество, то в 1 — ) —,","! Хл (Ух) — Хи (х) ~ бр (х) йр (У) ут 2 Р((7) 1 й >! ~ 31в (х) ~ ((Г) Хин г (У) йр (У) ~ Хи (х) бв (х) ~ — ( = = ( / (УП(х) — ХЛ(х)) йр(х) ). (Напоминаем, что — = —, каковы бы ни были борелевские мно,в (А) Р (Ах) Р. (В) Р (Вх) ' жества А и В н точка х из йы см. упр.б 0 60.) Теперь остается воспользоваться полученным неравенством, взяв в качестве г" сначала множество (х:у ~(х) — Хл(х) ) О), а затем — множество (х: ГП(х) — Хи(х) с.0).) 6.
Если ч — яюбая конечная обобщенная мера, заданная на бзровских множествах в Х, то существует такое бэровское множество ДГ„что ч(Е) = = ч(ЕГ)А7,), каково бы ни было бэровское множество Е (см. упр. 3 $17). Сверткой двух конечных обобщенных мер Л и ч называется функция Лжч, заданная на бэровских множествах Е равенством (Лвкч) (Е) = ~ уи(ху) й(Л )(ч) (х,у). И Хдг„ В том случае, когда Л и ч являются неопределенными интегралами (относительно меры Хаара Р) интегрируемых функций У и л, их свертка Лж« также представляет собой неопределенный интеграл функции Л, где А(у) = ~ У(х) я (х ~ у) йи(х).
7. Если Л и ч — конечные обобщенные меры, то (Лфч)(Е) = ~ ч(х ~ Е)йЛ(х). Кх Если группа Х вЂ” а 6 слева, то Л ф ч = «ф Л. $ ак вййлнвскяя топологий 8. Если Л и ч — конечные меры, заданные на бяровских множествах в локально компактной, а-компактной абеяевой группе Х, то Л(хЕ)ач(х)= / ч(хЕ )йЛ(х).
[Указание. Если (Е) ч(Е '), то ~ Л(хЕ)ач(х) = / Л(х 'Е) ач(х), ~ ч(хЕ )дЛ(х) = ~ «(х Е)аЛ(х), и требуемый результат следует из равенства Лжч = «КЛ[ 9. Если У и х — ограниченные непрерывные монотонные функции иа числовой прямой, то (см. упр. 4 625) ь Ь ~ улй+ ~ дну=у(ь) о(Ь) — у(а) е(а), О я т.
е. справедливо обычное правило интегрирования по частям. [Указ ание. Примените результат упр.8,положив Е (х: — со<х<0). к мерам Л и ч, нндуцированным соответственно функциями у н л.[ $62. ВЕИЛЕВСКАЯ ТОПОЛОГИЯ Мы убедились в том, что произвольная локально компактная группа Х представляет собой измеримую группу, если измеримость понимать в смысле Вэра„ и, более того, сама топология локально компактной группы однозначно определяется строением Х как измеримой группы. В этом параграфе мы рассмотрим обратную задачу: в заданной измеримой группе Х определить топологию так, чтобы Х стала локально компактной топологической группой.
Мы увидим, что эта задача раврешима. Всюду в этом параграфе рассматривается фиксированная измеримая группа (Х, $, р); как обычно, мы полагаем р(Е, Р)=)ь(ЕЬР), где Еи Р— измеримые множества. Пусть, далее, А обозначает класс всех множеств вида ЕЕ-', где Š— произвольное Иэмеримое множество конечной положительной меры, а М вЂ” класс всех множеств вида [х: р(хЕ, Е) < а), где Š— произвольное измеримое множество конечной положительной меры и я — положительное число, такое, что 0 < а < 2р, (Е). Теорема 1. Если М=[х: р(хЕ, Е) <я) ~8[, то всякое измеримое множество Р положительной меры содержит измеримое подмножество 0 конечной положителзной меры, такое, что 00 'с№ Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай, когда Р имеет конечную меру. Если Т(х, у) =(ух, у), то Т(Еус, Р) — измеримое множество конечной меры в Х;н,Х; следовательно, в Х)с,Х существует множество А, представляющее собой соединение конечного ГЛАВА Х11. МЕРА И ТОПОЛОГИЯ В ГРУППАХ числа измеримых прямоугольников, для которого — р4Е) > р (т (Е ~ Е), А) = = Ц! Х 1и ят (л, У) — Х„(к, У) ! 4 (х) Ф~ (У) > > Ц ~ .в(у-'х) — . (л, »И Кл) Г (у). Положим С= ~У ~ ~ Х (У 'л) — Х„ (л, У)~ 4 (л) > — ~, 1 тогда р (Г 11 С) ~< — р.
(Г) и, следовательно, р.(Š— С)> —,' р(Е)>О. Если У~Š— С, то у(УЕ, А ) = ~ ~Хл(» ~л) Хл(к, У)14" (А)< 2 Так как А представляет собой соединение конечного числа измеримых прямоугольников, то существует лишь конечное число различных множеств вида А"; обозначим их А,,..., А„. То, что мы доказали, можно теперь записать в виде Е С О(»: р(УЕ, А)< — ',~ 1=1 Так как — <р(Е) =1А(УЕ), то, согласно теореме 7 959, множества (: у:р(УЕ, А,)< — ~ измеримы и, в силу неравенства р(Š— С)>0, хотя бы одно из них пересекается с Š— С по множеству положительной меры. Положим Оа =(à — С) й'(У: р(»Е, Аг)< 2~ и фиксируем значение 1 так, чтобы р(Ое)>0.
Множество Ое, очевидно, измеримо, имеет конечную меру и О г=Е. Если Р,ЕО и уз~О;,', то р (у,уя 'Е, Е) = р (уа 'Е, у 'Е) < <р(у 'Е, А1)+р(У-'Е, Аг)<а, так что Ое О,г=пГ. Таким образом, мы установили существование множества Оц, обладающего всеми свойствами, указанными в теореме, а за Ввйлвяская топология 2вЗ стой лишь разницей, что вместо 00 '~М имеет место соотношение 0 'О (=.М.
Если теперь вместо Е взять множество Е ', а соответствующее его подмножество записать в виде 0-', то 0 будет обладать всеми требуемыми сяойствами. Теорема 1 утверждает, в частности, что всякое множество из класса И содержит некоторое подмножество, принадлежащее классу А. Следующая теорема содержит обратный результат. Теорема 2. Если А= ЕЕ-'~А, 0<е<2р(Е) и М= (х: р(хЕ, Е) <е), то М~1ь) и Мс=А. Локазательство. Первое утверждение тривиально; чтобы доказать второе, достаточно заметить, что М~ (х: хЕ П Е =,Ю О) = = ЕЕ-'. ж Теорема 3. Если М=(х:р(хЕ, Е)<е)~)ч, то М вЂ” измеримое множество положительной меры.
Если р(М-')<со, то и р(М) < Доказательство. Так как М=~х:р(хЕПЕ)>р(Е) — ~1, то нзмеримость М следует из теоремы 7 9 59. Неравенство р(М)>0 следует из теоремы 1: пусть 0 — измеримое множество положительной меры, такое, что 00-'с=М; тогда, в частности, Оу-'~М при любом у из О.
Последнее утверждение теоремы следует из неравенств (р(Е) — ~)р(М) < ~ р.(хЕЙ Е)ар(х) 4, У < 1 р (хЕ П Е) й (х) = р (Е) р (Е '). ж Теорема 4. Для любых двух множеств А и В из А существует множество С, также принадлежащее классу А, такое, что Сс=А ПВ. Доказательство. Пусть А=ЕЕ ' н В=ГЕ-', где Е и Š— измеримые множества конечной положительной меры. В силу теоремы 5 $59, можно выбрать измеримое множество О конечной положительной меры и два элемента х и у таким образом, что Охс=.Е и Оус=Р'.
Если С=00 ', то С~А и С=(Ох)(Ох)-'~А, С=(Оу)(Оу) 'с=В. Прежде чем ввести в Х обещанную топологию, нам придется определить еще одно понятие. Мы помним, что в определении измеримой группы вовсе не фигурировали свойства отделимости, играющие существенную роль в определении топологической группы. Аксиому отделимости в топологической группе можно сфориулировать так; ГЛАВА хп.
меРА и тополОГия В ГРуппАх для любого отличного от е элемента х существует окрестность ГУ элемента е, такая, что хе У. Руководствуясь этими соображениями, а также результатами ф 61, мы дадим следующее определение: будем говорить, что измеримая группа обладает свойством отделимости, если для любого отличного от е элемента х существует такое измеримое множество Е конечной положительной меры, что р(хЕ, Е)'>О. Теорема 5.
Если в измеримой группе Х, обладающей свойством отделимости, взять класс Х в качестве базиса в точке е, то, с заданной таким образом топологией, Х оказывается топологической группой. Такую топологию в измеримой группе мы условимся называть вейлевской топологией. Доказательство. Мы проверим, что Х обладает свойствами „а" — „д", определяющими базис в точке е, которые перечислены на стр.
13. Пусть хь~Х, хо~в и Š— измеримое множество конечной положительной меры, такое, что р(х, Е,,Е)) О. Если в удовлетворяет неравенствам О < е < р(хьЕ, Е), то е < 2р. (Е). Если мы положим ОГ= (х: р(хЕ, Е)<е), то Ф~Х и, очевидно, хьсАГ. Если АГ~ Х и М~ Х, то, согласно теореме 1, существуют множества А и В из А, содержащиеся соответственно в АГ и М. В силу теоремы 4, класс А содержит такое множество С, что СсАПВ. Воспользовавшись теоремой 2, мы найдем множество К, обладающее такими свойствами: КР Х и Кс Сс А ПВ с АГПМ.
Если АГ=(х: р(хЕ,Е) <в), то возьмем М=~х:р(хЕ, Е) < — ~. Для любых двух элементов хо и уо из М будем иметь р (хоуь ~ Е Е) < р Гуо ' Е Е) + р (хь ~ Е' Е) = =р(уоЕ Е)+ р(хоЕ Е)<е откуда следует, что ММ ' с АГ. Если АГ~ Х и х ~ Х, то, в силу теоремы 1, существует измери- мое множество Е конечной положительной меры, такое, что ЕЕ 'с АГ. Применив к множеству (хЕ)(хЕ)-', принадлежащему классу А, тео- рему 2, мы обнаружим существование множества М из Х, которое удовлетворяет условию М с (хЕ)(хЕ)-' =хЕЕ-'х ' с хАГх-'. Наконеп, если АГ= ( х:Р(хЕ,Е)<е) ~ Х и хо~ АГ, то Р(хоЕ,Е)<е. Так как а<2р(Е), то е — р(хоЕ, Е)<2р,(х„Е); отсюда, если М = (х: р (ххо Е, хо Е) < е — р (хо Е, Е)), то М~ Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
